抛物线的通径

第五讲抛物线

教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．

2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际

问题中的作用．

3.理解数形结合的思想.

一、知识回顾课前热身

知识点1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离相等；

(3)定点不在定直线上．

知识点2．抛物线的标准方程和几何性质

标准方程

y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O(0,0)

对称轴y＝0x＝0

焦点

F









p

2

，0

F









－

p

2

，0

F









0，

p

2

F









0，－

p

2

离心率e＝1

准线方程x＝－

p

2

x＝

p

2

y＝－

p

2

y＝

p

2

范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R

开口方向向右向左向上向下

焦半径(其中

P(x

0

，y

0

)

|PF|＝x

0

＋

p

2

|PF|＝－x

0

＋

p

2

|PF|＝y

0

＋

p

2

|PF|＝－y

0

＋

p

2

例题辨析推陈出新

例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．

于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．

显然，连接AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为5.

(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P

1

，则|P

1

Q|＝|P

1

F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P

1

B|＋|P

1

Q|＝|BQ|＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

变式练习1．(1)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程

是________．

(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于

________．

解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为

焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.

(2)抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.

答案：(1)x2＝12y(2)8

例2(1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物

线的方程为()

A．y2＝8xB．y2＝12x

C．y2＝16xD．y2＝20x

(2)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准

线的距离为________．

[自主解答](1)由题意知，3＋6a＝5，a＝

1

3

，则抛物线方程为y2＝8x.

(2)抛物线的焦点F的坐标为









p

2

，0

，线段FA的中点B的坐标为









p

4

，1

，代入抛物线方程得1＝2p×

p

4

，

解得p＝2，故点B的坐标为







2

4

，1

，故点B到该抛物线准线的距离为

2

4

＋

2

2

＝

32

4

.

[答案](1)A(2)

32

4

变式练习2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，

|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()

A．18B．24

C．36D．48

解析：选C设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为









p

2

，0

，将x＝

p

2

代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|

＝12，即2p＝12，得p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以△PAB的面积为

1

2

×6×12＝36.

例3已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，

y

2

)(x

1

1

)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．

[自主解答](1)直线AB的方程是y＝22









x－

p

2

，与y2＝2px联立，

从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x

1

＋x

2

＝

5p

4

.

由抛物线定义得|AB|＝x

1

＋x

2

＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x

1

＝1，x

2

＝4，y

1

＝－22，y

2

＝42，

从而A(1，－22)，B(4,42)．

设OC＝(x

3

，y

3

)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，

又y2

3

＝8x

3

，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，

解得λ＝0或λ＝2.

变式练习3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦

点，若|FA|＝2|FB|，求k的值．

解：设A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，由











y＝kx＋2，

y2＝8x，

得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x

1

＋x

2

＝

8

k2－4，

x

1

x

2

＝4.

又由抛物线的定义可知|FA|＝x

1

＋2，|FB|＝x

2

＋2，

所以x

1

＋2＝2(x

2

＋2)，即x

1

＝2(x

2

＋1)，代入x

1

x

2

＝4

得2(x

2

＋1)x

2

＝4，解得x

2

＝1(x

2

＝－2舍去)，

将x

2

＝1，x

1

＝4代入x

1

＋x

1

＝

8

k2－4得k2＝

8

9

，由已知k>0，所以k＝

22

3

.

三、归纳总结方法在握

归纳

4个结论——直线与抛物线相交的四个结论

已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，则有以下

结论：

(1)|AB|＝x

1

＋x

2

＋p或|AB|＝

2p

sin2α

(α为AB所在直线的倾斜角)；

(2)x

1

x

2

＝

p2

4

；

(3)y

1

y

2

＝－p2；

(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.

3个注意点——抛物线问题的三个注意点

(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是

标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．

(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．

(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直

线与抛物线也只有一个交点.

1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教

材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现．

2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，

根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．

四、拓展延伸能力升华

例1(2012·陕西高考)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，

水位下降1米后，水面宽____________米．

[解析]以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线

过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为x2＝－2y，当水面下降1米时，为y＝－3，代入抛物

线方程得x＝±6，所以此时水面宽为26米．

[答案]26

变式练习1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向

为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，

如图所示．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y＝

12

49

x2；②定位后救

援船即刻沿

直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.

(1)当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速

度的大小；

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

解：(1)t＝0.5时，P的横坐标x

P

＝7t＝

7

2

，代入抛物线方程y＝

12

49

x2，得P的纵坐标y

P

＝3.

由|AP|＝

949

2

，得救援船速度的大小为949海里/时．

(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)．

由vt＝7t2＋12t2＋122，

整理得v2＝144









t2＋

1

t2＋337.

因为t2＋

1

t2≥2，当且仅当t＝1时等号成立．

所以v2≥144×2＋337＝252，即v≥25.

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．

五、课后作业巩固提高

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝()

A.

5

2

B.

3

2

C．－

1

2

D．－

3

2

解析：选D把抛物线方程化为x2＝－2









1

2

－a

y，则p＝

1

2

－a，故抛物线的准线方程是y＝

p

2

＝

1

2

－a

2

，

则

1

2

－a

2

＝1，解得a＝－

3

2

.

2．已知抛物线y2＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，

则△OAB的面积是()

A．1B．2

C．4D．6

解析：选B焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B(1，－2)，|AB|＝4，故△OAB的面积S＝

1

2

|AB||OF|＝

1

2

×4×1

＝2.

3．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为26，此抛物线方程为()

A．y2＝2xB．y2＝6x

C．y2＝－2x或y2＝6xD．以上都不对

解析：选C由











y＝x＋1，

y2＝2px，

得x2＋(2－2p)x＋1＝0.

x

1

＋x

2

＝2p－2，x

1

x

2

＝1.

则26＝1＋12·x

1

＋x

2

2－4x

1

x

2

＝2·2p－22－4.

解得p＝－1或p＝3，

故抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.

4．已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直

平分线交于点P，则点P的轨迹是()

A．抛物线B．椭圆

C．双曲线的一支D．直线

解析：选A由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于点

P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．

5．(2013·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程

是()

A．y＝3x2或y＝－3x2B．y＝3x2

C．y2＝－9x或y＝3x2D．y＝－3x2或y2＝9x

解析：选D圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y2＝2p

1

x

或x2＝－2p

2

y，则(－3)2＝2p

1

或1＝6p

2

，得2p

1

＝9或2p

2

＝

1

3

，故抛物线方程为y2＝9x或x2＝－

1

3

y，则y2

＝9x或y＝－3x2.

6．(2013·衡水模拟)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O

为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()

A．y2＝±4xB．y2＝±8x

C．y2＝4xD．y2＝8x

解析：选B由题可知抛物线焦点坐标为









a

4

，0

，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2









x－

a

4

，

令x＝0，可得A点坐标为









0，－

a

2

，所以S

△

OAF

＝

1

2

·

|a|

4

·

|a|

2

＝4.

得a＝±8故抛物线方程为y＝±8x.

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．以抛物线x2＝－4y的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．

解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x2＋y2＝4.

答案：x2＋y2＝4

8．(2013·厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定

点________．

解析：因为动圆的圆心在抛物线y2＝4x上，且x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，所以由抛物线的定义

知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．

答案：(1,0)

9．(2012·安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝

________.

解析：如图，设A(x

0

，y

0

)(y

0

<0)，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，抛物线的准

线方程为x＝－1，故由抛物线的定义得|AF|＝x

0

－(－1)＝3，解得x

0

＝2，所以y

0

＝

－22.故点A(2，－22)．则直线AB的斜率为k＝

－22－0

2－1

＝－22，直线AB的方

程为y＝－22x＋22，联立











y＝－22x＋22，

y2＝4x，

消去y得2x2－5x＋2＝0，由x

1

x

2

＝1，得A，B两点横

坐标之积为1，所以点B的横坐标为

1

2

.再由抛物线的定义得|BF|＝

1

2

－(－1)＝

3

2

.

答案：

3

2

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10．已知圆C过定点F









－

1

4

，0

，且与直线x＝

1

4

相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x

＋1)(k∈R)相交于A，B两点．

(1)求曲线E的方程；

(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．

解：(1)由题意，点C到定点F









－

1

4

，0

和直线x＝

1

4

的距离相等，

故点C的轨迹E的方程为y2＝－x.

(2)由方程组











y2＝－x，

y＝kx＋1

消去x后，

整理得ky2＋y－k＝0.

设A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，

由韦达定理有y

1

＋y

2

＝－

1

k

，y

1

y

2

＝－1.

设直线l与x轴交于点N，则N(－1,0)．

∵S

△

OAB

＝S

△

OAN

＋S

△

OBN

＝

1

2

|ON||y

1

|＋

1

2

|ON||y

2

|，

＝

1

2

|ON||y

1

－y

2

|＝

1

2

·1·y

1

＋y

2

2－4y

1

y

2

＝

1

2







1

k

2＋4.

∵S

△

OAB

＝10，所以

1

2







1

k

2＋4＝10，

解得k＝±

1

6

.

11．若椭圆C

1

：

x2

4

＋

y2

b2＝1(0

3

2

，抛物线C

2

：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C

1

的上顶

点．

(1)求抛物线C

2

的方程；

(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C

2

交于E，F两点，又过E，F作抛物线C

2

的切线l

1

，l

2

，当l

1

⊥l

2

时，求直线l的方程．

解：(1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝4－b2，

由离心率e＝

c

a

＝

4－b2

2

＝

3

2

得，b2＝1.

则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，

所以p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.

(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x

1

，y

1

)，F(x

2

，y

2

)，

∵y＝

1

4

x2，∴y′＝

1

2

x.

∴切线l

1

，l

2

的斜率分别为

1

2

x

1

，

1

2

x

2

，

当l

1

⊥l

2

时，

1

2

x

1

·

1

2

x

2

＝－1，即x

1

·x

2

＝－4，

由











y＝kx＋1，

x2＝4y，

得x2－4kx－4k＝0，

则Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.又x

1

·x

2

＝－4k＝－4，得k＝1.

∴直线l的方程为y＝x＋1.

12．(2013·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F









1

2

，0

，直线l：x＝－

1

2

，点P在直线l上移动，

R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.

(1)求动点Q的轨迹方程C；

(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|

是否为定值？请说明理由．

解：(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，

∴RQ是线段FP的垂直平分线．

∵|PQ|是点Q到直线l的距离．

点Q在线段FP的垂直平分线上，

∴|PQ|＝|QF|.

故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，

其方程为y2＝2x(x>0)．

(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x

0

，y

0

)，

M到y轴的距离为d＝|x

0

|＝x

0

，

圆的半径r＝|MA|＝x

0

－12＋y2

0

，

则|TS|＝2r2－d2＝2y2

0

－2x

0

＋1，

因为点M在曲线C上，所以x

0

＝

y2

0

2

，

所以|TS|＝2y2

0

－y2

0

＋1＝2，是定值．