lg和log

§2.6对数与对数函数

最新考纲考情考向分析

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转

化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特

殊点，会画底数为2,10，

1

2

的对数函数的图象．

3.体会对数函数是一类重要的函数模型．

4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log

a

x(a>0，

且a≠1)互为反函数.

以比较对数函数值大小

的形式考查函数的单调

性；以复合函数的形式考

查对数函数的图象与性

质，题型一般为选择、填

空题，中低档难度.

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log

a

N，其

中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

①log

a

(MN)＝log

a

M＋log

a

N；

②log

a

M

N

＝log

a

M－log

a

N；

③log

a

Mn＝nlog

a

M(n∈R)．

(2)对数的性质

①log

a

Na＝N；②log

a

aN＝N(a>0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式

log

a

b＝

log

c

b

log

c

a

(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

3．对数函数的图象与性质

y＝log

a

x

a>10

图象

定义域(1)(0，＋∞)

值域

(2)R

性质

(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

(4)当x>1时，y>0；当0

时，y<0

(5)当x>1时，y<0；当0

时，y>0

(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log

a

x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于

直线y＝x对称．

概念方法微思考

1．根据对数换底公式：①说出log

a

b，log

b

a的关系？

②化简log

m

n

a

b.

提示①log

a

b·log

b

a＝1；②log

m

n

a

b＝

n

m

log

a

b.

2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．

提示0

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若MN>0，则log

a

(MN)＝log

a

M＋log

a

N.(×)

(2)对数函数y＝log

a

x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)

(3)函数y＝ln

1＋x

1－x

与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)

(4)对数函数y＝log

a

x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，









1

a

，－1

，函数图象只在

第一、四象限．(√)

题组二教材改编

2．[P68T4]log

2

9·log

3

4·log

4

5·log

5

2＝.

答案2

3．[P82A组T6]已知a＝2

1

3

－

，b＝log

2

1

3

，c＝

1

2

log

1

3

，则a，b，c的大小关系为．

答案c>a>b

解析∵0

1

2

log

1

3

＝log

2

3>1.

∴c>a>b.

4．[P74A组T7]函数y＝

2

3

log

2x－1的定义域是．

答案









1

2

，1

解析由

2

3

log

(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.

∴

1

2

∴函数y＝

2

3

log

2x－1的定义域是









1

2

，1

.

题组三易错自纠

5．已知b>0，log

5

b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是()

A．d＝acB．a＝cd

C．c＝adD．d＝a＋c

答案B

6．已知函数y＝log

a

(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是

()

A．a>1，c>1B．a>1,0

C．01D．0

答案D

解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0

的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝log

a

x的图象向左平移不到1个单位后

得到的，∴0

7．若log

a

3

4

<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是．

答案









0，

3

4

∪(1，＋∞)

解析当0

a

3

4

a

a＝1，∴0

3

4

；

当a>1时，log

a

3

4

a

a＝1，∴a>1.

∴实数a的取值范围是









0，

3

4

∪(1，＋∞).

题型一对数的运算

1．设2a＝5b＝m，且

1

a

＋

1

b

＝2，则m等于()

A.10B．10C．20D．100

答案A

解析由已知，得a＝log

2

m，b＝log

5

m，

则

1

a

＋

1

b

＝

1

log

2

m

＋

1

log

5

m

＝log

m

2＋log

m

5＝log

m

10＝2.

解得m＝10.

2．计算：









lg

1

4

－lg25

÷100

1

2

－

＝.

答案－20

解析原式＝(lg2－

2－lg52)×100

1

2＝lg









1

22×52×10

＝lg10－

2×10＝－2×10＝－20.

3．计算：

1－log

6

32＋log

6

2·log

6

18

log

6

4

＝.

答案1

解析原式＝

1－2log

6

3＋log

6

32＋log

6

6

3

·log

6

6×3

log

6

4

＝

1－2log

6

3＋log

6

32＋1－log

6

32

log

6

4

＝

21－log

6

3

2log

6

2

＝

log

6

6－log

6

3

log

6

2

＝

log

6

2

log

6

2

＝1.

4．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log

3

2)＝.

答案6

解析∵函数f(x)＝3x＋9x，

∴f(log

3

2)＝339

log2log2log43929＋＝＋＝2＋4＝6.

思维升华对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最

简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底

对数真数的积、商、幂的运算．

题型二对数函数的图象及应用

例1(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大

致图象为()

答案C

解析先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y

轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．

(2)函数f(x)＝2x|log

0.5

x|－1的零点个数为()

A．1B．2C．3D．4

答案B

解析函数f(x)＝2x|log

0.5

x|－1的零点个数即方程|log

0.5

x|＝









1

2

x的解的个数，即函数y＝

|log

0.5

x|与函数y＝









1

2

x图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点．

(3)当0

1

2

时，4x

a

x，则a的取值范围是()

A.









0，

2

2

B.







2

2

，1

C．(1，2)D．(2，2)

答案B

解析由题意得，当0

a

x









0

1

2

，

即当0

1

2

时，函数y＝4x的图象在函数y＝log

a

x图象的下方．又当x＝

1

2

时，

1

24＝2，即函

数y＝4x的图象过点









1

2

，2

.把点









1

2

，2

代入y＝log

a

x，得a＝

2

2

.若函数y＝4x的图象在函数y

＝log

a

x图象的下方，则需

2

2

当a>1时，不符合题意，舍去．

所以实数a的取值范围是







2

2

，1

.

引申探究

若本例(3)变为方程4x＝log

a

x在









0，

1

2

上有解，则实数a的取值范围为．

答案









0，

2

2

解析若方程4x＝log

a

x在









0，

1

2

上有解，则函数y＝4x和函数y＝log

a

x在









0，

1

2

上有交点，

由图象知









0

log

a

1

2

≤2，

解得0

2

2

.

思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调

区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

跟踪训练1(1)函数y＝2log

4

(1－x)的图象大致是()

答案C

解析函数y＝2log

4

(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log

4

(1－x)在定义

域内单调递减，排除D.故选C.

(2)已知函数f(x)＝









log

2

x，x>0，

3x，x≤0，

且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数

a的取值范围是．

答案(1，＋∞)

解析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y

轴上的截距．

由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．

题型三对数函数的性质及应用

命题点1比较对数值的大小

例2(2018·河南信阳高中考试)设a＝log

4

12，b＝log

5

15，c＝log

6

18，则()

A．a>b>cB．b>c>aC．a>c>bD．c>b>a

答案A

解析a＝1＋log

4

3，b＝1＋log

5

3，c＝1＋log

6

3，

∵log

4

3>log

5

3>log

6

3，∴a>b>c.

命题点2解对数方程、不等式

例3(1)方程log

2

(x－1)＝2－log

2

(x＋1)的解为．

答案x＝5

解析原方程变形为log

2

(x－1)＋log

2

(x＋1)＝log

2

(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5，

又x>1，所以x＝5.

(2)已知不等式log

x

(2x2＋1)

x

(3x)<0成立，则实数x的取值范围是．

答案









1

3

，

1

2

解析原不等式⇔①











0

2x2＋1>3x>1，

或②











x>1，

2x2＋1<3x<1，

解不等式组①得

1

3

1

2

，不等式组②无解．

所以实数x的取值范围为









1

3

，

1

2

.

命题点3对数函数性质的综合应用

例4(1)若函数f(x)＝log

2

(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是

()

A．(－∞，4)

B．(－4,4]

C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)

D．[－4,4)

答案D

解析由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，

－2]上单调递减，则

a

2

≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故

选D.

(2)函数f(x)＝log

2

x·

2

log(2x)的最小值为．

答案－

1

4

解析依题意得f(x)＝

1

2

log

2

x·(2＋2log

2

x)＝(log

2

x)2＋log

2

x＝









log

2

x＋

1

2

2－

1

4

≥－

1

4

，当log

2

x＝

－

1

2

，即x＝

2

2

时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－

1

4

.

(3)已知函数f(x)＝









a－1x＋4－2a，x<1，

1＋log

2

x，x≥1，

若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围

是．

答案(1,2]

解析当x≥1时，f(x)＝1＋log

2

x≥1，当x<1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a必须是增函数，且

最大值大于或等于1才能满足f(x)的值域为R，可得











a－1>0，

a－1＋4－2a≥1，

解得a∈(1,2]．

思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，

必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大

小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注

意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．

跟踪训练2(1)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若log

a

b>1，则()

A．(a－1)(b－1)<0B．(a－1)(a－b)>0

C．(b－1)(b－a)<0D．(b－1)(b－a)>0

答案D

解析由a，b>0且a≠1，b≠1，及log

a

b>1＝log

a

a可得，当a>1时，b>a>1，当0

0

代入验证只有D满足题意．

(2)已知函数f(x)＝log

a

(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取

值范围是．

答案









1，

8

3

解析当a>1时，f(x)＝log

a

(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，

则f(x)

min

＝f(2)＝log

a

(8－2a)>1，且8－2a>0，

解得1

8

3

.

当0

由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，

知f(x)

min

＝f(1)＝log

a

(8－a)>1，且8－2a>0.

∴a>4，且a<4，故不存在．

综上可知，实数a的取值范围是









1，

8

3

.

比较指数式、对数式的大小

比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：

(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数

形结合的方法．

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相

同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一

般选0或1.

例(1)已知a＝log

2

3＋log

2

3，b＝log

2

9－log

2

3，c＝log

3

2，则a，b，c的大小关系是()

A．a＝bc

C．ab>c

答案B

解析因为a＝log

2

3＋log

2

3＝log

2

33＝

3

2

log

2

3>1，b＝log

2

9－log

2

3＝log

2

33＝a，c＝

log

3

2

3

3＝1，所以a＝b>c.

(2)(2018·全国Ⅲ)设a＝log

0.2

0.3，b＝log

2

0.3，则()

A．a＋b

C．a＋b<0

答案B

解析∵a＝log

0.2

0.3>log

0.2

1＝0，

b＝log

2

0.3

2

1＝0，∴ab<0.

∵

a＋b

ab

＝

1

a

＋

1

b

＝log

0.3

0.2＋log

0.3

2＝log

0.3

0.4，

∴1＝log

0.3

0.3>log

0.3

0.4>log

0.3

1＝0，

∴0<

a＋b

ab

<1，∴ab

(3)设a＝log

3

π，b＝log

2

3，c＝log

3

2，则a，b，c的大小关系是．

答案a>b>c

解析因为a＝log

3

π>log

3

3＝1，b＝log

2

3

2

2＝1，所以a>b，又

b

c

＝

1

2

log

2

3

1

2

log

3

2

＝(log

2

3)2>1，

c>0，

所以b>c，故a>b>c.

(4)若实数a，b，c满足log

a

2

b

2

c

2，则下列关系中不可能成立的是．(填序号)

①a

答案①

解析由log

a

2

b

2

c

2的大小关系，可知a，b，c有如下可能：1

0

(5)已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log

2

x|，若

a＝f(－3)，b＝f









1

4

，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是．

答案b>a>c

解析易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f









1

x

＝|log

2

x|，且当x∈[1，＋∞)时，

f(x)＝log

2

x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f









1

4

＝f(4)，所以b>a>c.

1．log

2

9·log

3

4等于()

A.

1

4

B.

1

2

C．2D．4

答案D

解析方法一原式＝

lg9

lg2

·

lg4

lg3

＝

2lg3·2lg2

lg2·lg3

＝4.

方法二原式＝2log

2

3·

log

2

4

log

2

3

＝2×2＝4.

2．(2018·宁夏银川一中模拟)设a＝0.50.4，b＝log

0.4

0.3，c＝log

8

0.4，则a，b，c的大小关系

是()

A．a

C．c

答案C

解析∵0

b＝log

0.4

0.3>log

0.4

0.4＝1，c＝log

8

0.4

8

1＝0，

∴a，b，c的大小关系是c

3．已知函数f(x)＝









log

2

x，x>0，

3－x＋1，x≤0，

则f(f(1))＋f









log

3

1

2

的值是()

A．5B．3C．－1D.

7

2

答案A

解析由题意可知f(1)＝log

2

1＝0，

f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，

f









log

3

1

2

＝3

3

1

log

log2

2313－＋＝

＋1＝2＋1＝3，

所以f(f(1))＋f









log

3

1

2

＝5.

4．函数f(x)＝

xlog

a

|x|

|x|

(0

答案C

解析当x>0时，f(x)＝log

a

x单调递减，排除A，B；当x<0时，f(x)＝－log

a

(－x)单调递减，

排除D.故选C.

5．已知函数f(x)＝ln

ex

e－x

，若f









e

2019

＋f









2e

2019

＋…＋f









2018e

2019

＝1009(a＋b)，则a2＋b2

的最小值为()

A．1B．2C．3D．4

答案B

解析∵f(x)＋f(e－x)＝2，

∴f









e

2019

＋f









2e

2019

＋…＋f









2018e

2019

＝2018，

∴1009(a＋b)＝2018，∴a＋b＝2.

∴a2＋b2≥

a＋b2

2

＝2，

当且仅当a＝b＝1时取等号．

6．若函数f(x)＝log

a







x2＋

3

2

x

(a>0，a≠1)在区间









1

2

，＋∞

内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增

区间为()

A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)

C．(1，＋∞)D.









1

2

，＋∞

答案A

解析令M＝x2＋

3

2

x，当x∈









1

2

，＋∞

时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y

＝log

a

M为增函数，又M＝









x＋

3

4

2－

9

16

，

因此M的单调递增区间为









－

3

4

，＋∞

.

又x2＋

3

2

x>0，所以x>0或x<－

3

2

，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

7．已知a>b>1.若log

a

b＋log

b

a＝

5

2

，ab＝ba，则a＝，b＝.

答案42

解析令log

a

b＝t，∵a>b>1，∴0

a

b＋log

b

a＝

5

2

，得t＋

1

t

＝

5

2

，解得t＝

1

2

或t＝2(舍

去)，即log

a

b＝

1

2

，∴b＝a，又ab＝ba，∴aa

＝(a)a，即aa

＝2

a

a，即a＝

a

2

，解得a

＝4，∴b＝2.

8．设函数f(x)＝









21－x，x≤1，

1－log

2

x，x>1，

则满足f(x)≤2的x的取值范围是．

答案[0，＋∞)

解析当x≤1时，由21

－

x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；

当x>1时，由1－log

2

x≤2，解得x≥

1

2

，所以x>1.

综上可知x≥0.

9．设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且a

是．

答案(0,1)

解析由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c有两个不同交点，∴ab＝

1,0

10．已知函数f(x)＝ln

x

1－x

，若f(a)＋f(b)＝0，且0

答案









0，

1

4

解析由题意可知ln

a

1－a

＋ln

b

1－b

＝0，

即ln













a

1－a

×

b

1－b

＝0，从而

a

1－a

×

b

1－b

＝1，

化简得a＋b＝1，

故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－









a－

1

2

2＋

1

4

，

又0

∴0

1

2

，故0<－









a－

1

2

2＋

1

4

<

1

4

.

11．设f(x)＝log

a

(1＋x)＋log

a

(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求实数a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间









0，

3

2

上的最大值．

解(1)∵f(1)＝2，∴log

a

4＝2(a>0，且a≠1)，

∴a＝2.由











1＋x>0，

3－x>0，

得－1

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log

2

(1＋x)＋log

2

(3－x)

＝log

2

[(1＋x)(3－x)]＝log

2

[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在









0，

3

2

上的最大值是f(1)＝log

2

4＝2.

12．(2018·长沙模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝

1

2

log

x.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解(1)当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝

1

2

log

(－x)．

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以x<0时，f(x)＝

1

2

log

(－x)，

所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝









1

2

log

x，x>0，

0，x＝0，

1

2

log

－x，x<0.

(2)因为f(4)＝log

1

2

4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x2－1|<4，解得－5

而x2－1＝0时，f(0)＝0>－2，所以x＝1或x＝－1.

所以－5

所以不等式的解集为{x|－5

13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的

原子总数N约为1080.则下列各数中与

M

N

最接近的是()

(参考数据：lg3≈0.48)

A．1033B．1053C．1073D．1093

答案D

解析由题意，lg

M

N

＝lg

3361

1080＝lg3361－lg1080

＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28.

又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，

故与

M

N

最接近的是1093.故选D.

14．已知函数f(x)＝log

a

(2x－a)在区间









1

2

，

2

3

上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是()

A.









1

3

，1

B.









1

3

，1

C.









2

3

，1

D.









2

3

，1

答案A

解析当0









1

2

，

2

3

上是减函数，所以log

a







4

3

－a

>0，即0<

4

3

－a<1，

解得

1

3

4

3

，故

1

3

1时，函数f(x)在区间









1

2

，

2

3

上是增函数，所以log

a

(1－a)>0，

即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是









1

3

，1

.

15．若函数f(x)＝log

a

(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝.

答案2

解析令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)

max

＝4，最小值u(x)

min

＝

7

4

.

当a>1时，y＝log

a

u是增函数，f(x)

max

＝log

a

4＝2，得a＝2；

当0

a

u是减函数，f(x)

max

＝log

a

7

4

＝2，得a＝

7

2

(舍去)．故a＝2.

16．已知函数f(x)＝lg

x－1

x＋1

.

(1)计算：f(2020)＋f(－2020)；

(2)对于x∈[2,6]，f(x)

m

x＋17－x

恒成立，求实数m的取值范围．

解(1)由

x－1

x＋1

>0，得x>1或x<－1.

∴函数的定义域为{x|x>1或x<－1}．

又f(x)＋f(－x)＝lg













1－x

1＋x

·

1＋x

1－x

＝0，

∴f(x)为奇函数．故f(2020)＋f(－2020)＝0.

(2)当x∈[2,6]时，f(x)

m

x＋17－x

恒成立可化为

x－1

1＋x

<

m

x＋17－x

恒成立．

即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．

又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.

∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]

max

＝9，∴m>9.

即实数m的取值范围是(9，＋∞)．