a∩b

离散数学考试试题(A卷及答案）

一、证明题（10分）

1)(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)(A∧(PQ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）

证明:(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)

(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)

((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律

((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))∨C

(A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))∨C再反用分配律

(A∧(PQ))∨C

(A∧(PQ))C

2)(PQ)PQ。

证明：(PQ)((P∧Q))(P∨Q))PQ。

二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(QR))的主析取范式与主合取

范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。

主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。

主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。

证明：

公式法：因为(P(Q∨R))∧(P∨(QR))

(P∨Q∨R)∧(P∨(Q∧R)∨(Q∧R))

(P∨Q∨R)∧(((P∨Q)∧(P∨R))∨(Q∧R))分配律

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R)∧(P∨R∨Q)∧(P

∨R∨R)

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)



4

M∧

5

M∧

6

M使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制

为4



0

m∨

1

m∨

2

m∨

3

m∨

7

m

所以，公式(P(Q∨R))∧(P∨(QR))为可满足式，其相应的成真赋值为000、

001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。

真值表法：

PQR

QR

P(Q∨R)P∨(QR)(P(Q∨R))∧(P∨(QR))

000

001

010

011

100

101

110

111

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

由真值表可知，公式(P(Q∨R))∧(P∨(QR))为可满足式，其相应的成真赋值

为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。

三、推理证明题（10分）

1）P∨Q，Q∨R，RSPS。

证明：

(1)P附加前提

(2)P∨QP

(3)QT(1)(2)，I（析取三段论）

(4)Q∨RP

(5)RT(3)(4)，I（析取三段论）

(6)RSP

(7)ST(5)(6)，I（假言推理）

(8)PSCP

2)x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))

证明（1）xP(x)

(2)P(a)

(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))

(4)P(a)Q(y)∧R(a)

(5)Q(y)∧R(a)

(6)Q(y)

(7)R(a)

(8)P(a)

(9)P(a)∧R(a)

(10)x(P(x)∧R(x))

(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))

五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)（10分）

证明：因为

x

∈(A∪B)－C

x

∈(A∪B)－C



x

∈(A∪B)∧

x

C

(

x

∈A∨

x

∈B)∧

x

C

(

x

∈A∧

x

C)∨(

x

∈B∧

x

C)



x

∈(A－C)∨

x

∈(B－C)



x

∈(A－C)∪(B－C)

所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xy(modm)}是等价关系。其中，xy(mod

m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。X(modm)=y(modm)

证明：1）x∈I，因为（x-x）/m=0，所以xx(modm)，即xRx。

2）x,y∈I，若xRy，则xy(modm)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y-x）/m=-k∈I，

所以yx(modm)，即yRx。

3）x,y,z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=

（x-y+y-z）/m=u+v∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。

证明：

因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理

可推f-1g-1：C→A是双射。

因为∈f-1g-1存在z（∈g-1∈f-1）存在z（∈f∈g）

∈gf∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。

离散数学考试试题(B卷及答案）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T

证明:左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)

((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)

((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(等幂律)

T(代入)

2)xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))

证明：xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y))

x(P(x)∨yQ(y))

xP(x)∨yQ(y)

xP(x)∨yQ(y)

(xP(x)yQ(y))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式（10分）

解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)

(P∨Q)∨(P∨Q)

(P∧Q)∨(P∨Q)

(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)

(P∨Q)

M1析取要使之为假，即赋真值001，即M1

m0∨m2∨m3使之为真

三、推理证明题（10分）

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS

证明：(1)R

(2)R∨Pp

(3)PT（1）（2）析取三段论

(4)P(QS)p

(5)QST（3）（4）I假言推理

(6)QP

(7)ST（5）（6）I假言推理

(8)RSCP

2)x(A(x)yB(y))，x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。

证明：(1)x(A(x)yB(y))P

(2)A(a)yB(y)T(1)ES

(3)x(B(x)yC(y))P

(4)x(B(x)C(c))T(3)ES

(5)B(

b

)C(c)T(4）US

(6)A(a)B(

b

)T(2)US

(7)A(a)C(c)T(5)(6)I假言三段论

(8)xA(x)C(c)T(7)UG

(9)xA(x)yC(y)T(8)EG

四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入

考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。

解：

设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集

合，则命题可符号化为：PxA(x)，xA(x)QQP。

(1)PxA(x)P

(2)PxA(x)T(1)E

(3)xA(x)PT(2)E

(4)xA(x)QP

(5)(xA(x)Q)∧(QxA(x))T(4)E

(6)QxA(x)T(5)I

(7)QPT(6)(3)I

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（10分）

证明：

∵xA∩（B∪C）xA∧x（B∪C）xA∧（xB∨xC）（xA∧

xB）∨（xA∧xC）x（A∩B）∨xA∩Cx（A∩B）∪（A∩C）∴A

∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

六、A={x1,x2,x3}，B={y1,y2}，R={,,}，求其关系矩阵及关系

图（10分）。有就是1，没就是0

七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它

们及R的关系图（15分）。

r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3><5,5>}（自反闭包）

s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}（对称闭包）

t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}（传递

闭包）

九、设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hgf＝I

A

，fhg＝I

B

，gfh＝I

C

，

则f、g、h均为双射，并求出f－1、g－1和h－1（10分）。

解因I

A

恒等函数，由hgf＝I

A

可得f是单射，h是满射；因I

B

恒等函数，由fhg

＝I

B

可得g是单射，f是满射；因I

C

恒等函数，由gfh＝I

C

可得h是单射，g是满射。

从而f、g、h均为双射。

由hgf＝I

A

，得f－1＝hg；由fhg＝I

B

，得g－1＝fh；由gfh＝I

C

，得h－1＝gf。

五.(12分)令X={x1,x2,...,xm},Y={y1,y2,...,yn},问:

(1)有多少不同的由X到Y的关系?

(2)有多少不同的由X到Y的影射?

(3)有多少不同的由X到Y的单射，双射?

（12分）是个群，u∈G，定义G中的运算“”为ab=a*u-1*b，对任意a,b∈G，

求证：也是个群。

证明：1）a,b∈G，ab=a*u-1*b∈G，运算是封闭的。

2）a,b,c∈G，（ab）c=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=a（bc），运

算是可结合的。

3）a∈G，设E为的单位元，则aE=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元。

4）a∈G，ax=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则xa=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都

有逆元。

所以也是个群。

六.