等比数列前n项和ppt

等比数列及其前n项和

1.等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个

数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母

q表示(q≠0).

2.等比数列的通项公式

n－1

(a

1

≠0，q≠0).设等比数列{a

n

}的首项为a

1

，公比为q，则它的通项a

n

＝a

1

·q

3.等比中项

如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，

G

＝

b

，

aG

G

2

＝ab，G＝±ab，称G为a，b的等比中项.

4.等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a

n

＝a

m

·q

n－m

(n，m∈N＋).

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，

1

，{a

n

2

}，{a

n

·b

n

}，

a

n

仍是等比数

anbn

列.

5.等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，

当q＝1时，S

n

＝na

1

；

a11－q

n

a1－anq

当q≠1时，S

n

＝

1－q

＝

1－q.

6.等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{a

n

}的前n项和为S

n

，则S

n

，S

2n

－S

n

，S

3n

－S

2n

仍成等比数列，其

公比为q

n

.

概念方法微思考

1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列

的公比有何关系？

提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数.

2.任意两个实数都有等比中项吗？

提示不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.

3.“b

2

＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？

提示

必要不充分条件.因为b

2

＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如

a＝0，b＝0，c＝

1.但a，b，c成等比数列一定有b

2

＝ac.

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列.(

×

)

(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.(×

)

(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.(

×

)

(4)数列{a

n

}的通项公式是a

n

＝a

n

，则其前n项和为S

n

＝

a

1－a

n

.(

×)

1－a

(5)数列{an}为等比数列，则

S

4

，S

8

－S

4

，S

12

－S

8

成等比数列.(

×

)

题组二教材改编

2.已知{a

n

}是等比数列，a

2

＝2，a

5

＝

1

，则公比q＝______.

4

答案

1

2

解析

由题意知q

3

＝

a

5

＝

1

，∴q＝

1

.

a282

3.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(

)

A.8B.9C.10D.11

答案

C

解析由题意得，

2a

5

a

6

＝18，a

5

a

6

＝9，∴a

1

a

m

＝a

5

a

6

＝9，∴m＝10.

题组三易错自纠

4.若1，a

1

，a

2

,4成等差数列，1，b

1

，b

2

，b

3

,4成等比数列，则

a

1

－a

2的值为________.

b2

答案

－

1

2

解析

∵1，a1，a2,4成等差数列，

∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.

又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，

则b

2

2

＝1×4＝4，且b

2

＝1×q

2

>0，∴b

2

＝2，

a1－a2－a2－a11

∴＝＝－.

b2b22

5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5

＝0，则

S

5

＝________.

S2

答案

－11

解析

设等比数列{an}的公比为q，

∵8a

2

＋a

5

＝0，∴8a

1

q＋a

1

q

4

＝0.

∴q

3

＋8＝0，∴q＝－2，

5

a11－q

5

1－q

∴

S

＝·

1－q

2

S21－qa1

55

＝

1－q

2

＝1－－2＝－11.

1－q1－4

6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后

所占内存是原来的

2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存

8GB.(1GB＝2

10

MB)

答案

39

解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列

{a

n

}，且a

1

＝2，q＝2，

∴a

n

＝2

n

，

则2

n

＝8×2

10

＝2

13

，∴n＝13.

即病毒共复制了13次.

∴所需时间为13×3＝39(秒).

题型一等比数列基本量的运算

1.(2019宿·州模拟)已知等比数列{an}满足

1

a1＝4，a3a5＝4(a4－1)，则

a2等于()

11

A.8B.2C.1D.2

答案B

解析设等比数列{a

n

}的公比为q，

由题意知a

3

a

5

＝4(a

4

－1)＝a

2

4

，

则a

2

4

－4a

4

＋4＝0，解得a

4

＝2，

又a

1

＝

1

，所以q

3

＝

a

4

＝8，

4a1

1

即q＝2，所以a2＝a1q＝2.

2.(2018全·国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.

解(1)设{a

n

}的公比为q，由题设得a

n

＝q

n－1

.

由已知得q

4

＝4q

2

，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故a

n

＝(－2)

n－1

或a

n

＝2

n－1

(n∈N＋).

n

n－11－－2

(2)若a

n

＝(－2)，则S

n

＝.

由S

m

＝63得(－2)

m

＝－188，此方程没有正整数解.

若a

n

＝2

n－1

，则S

n

＝2

n

－1.

由S

m

＝63得2

m

＝64，解得m＝6.

综上，m＝6.

思维升华(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其

中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).

(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论

.

题型二等比数列的判定与证明

例

1

已知数列{an}满足对任意的正整数

n，均有

an＋1＝5an－2·3n，且

a1＝8.

(1)证明：数列

{an－3n}为等比数列，并求数列

{an}的通项公式；

(2)记

an

bn＝3n，求数列

{bn}的前n项和

Tn.

解(1)因为a

n＋1

＝5a

n

－2·3

n

，

所以a

n＋1

－3

n＋1

＝5a

n

－2·3

n

－3

n＋1

＝5(a

n

－3

n

)，

又a

1

＝8，所以a

1

－3＝5≠0，

所以数列{an－3

n

}是首项为5、公比为5的等比数列.

所以a

n

－3

n

＝5

n

，

所以a

n

＝3

n

＋5

n

.

an3n＋5n5

n

(2)由(1)知，bn＝3n＝3n＝1＋

3

，

5

5

n

51

＋1＋

5

2

5

n

3

1－

35n

＋

15

.则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋＋＋1＋＝n＋＝n＋n－

333

1－

52·32

3

思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法

(1)定义法：若

a

n＋1

＝q(q是不为零的常数)，则数列{a

n

}是等比数列；

an

(2)等比中项法：若

2

an＋1＝anan＋2(n∈N＋，an≠0)，则数列{an}是等比数列；

(3)通项公式法：若

an＝Aq

n

(A，q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列.

跟踪训练1

(2018·黄山模拟)设数列{a

n

}的前n项和为S

n

，已知a

1

＝1，S

n＋1

＝4a

n

＋2.

(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明

由a

1

＝1及S

n＋1

＝4a

n

＋2，

有a

1

＋a

2

＝S

2

＝4a

1

＋2.

∴a

2

＝5，

∴b

1

＝a

2

－2a

1

＝3.

又

Sn＋1＝4an＋2，

①

S

n

＝4a

n－1

＋2n≥2，

②

①

－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，

∴a

n＋1

－2a

n

＝2(a

n

－2a

n－1

)(n≥2).

∵b

n

＝a

n＋1

－2a

n

，

∴b

n

＝2b

n－1

(n≥2)，

故{b

n

}是首项b

1

＝3，公比为2的等比数列.

(2)解

由(1)知bn

＝a

n＋1

－2a

n

＝3·2

n－1

，

an

＋

1an3

∴

2n

＋

1－2n

＝4，

故

an13

n是首项为，公差为的等差数列.

224

∴

an13

3n－1

，

n＋(n－1)·＝

4

2

＝

24

故a

n

＝(3n－1)·2

n－2

.

题型三等比数列性质的应用

例

2

(1)已知数列{an}是等比数列，若

a2＝1，a5＝1，则

8

a1a2＋a2a3＋＋anan＋1(n∈N＋)的最

小值为()

8

A.3

B.1C.2D.3

答案C

3

a

5

1

解析由已知得数列{an}的公比满足q＝＝，

解得q＝

1

2，

∴a

1

＝2，a

3

＝

1

，

2

a2a31

故数列{anan＋1}是以2为首项，公比为

a1a2＝

4的等比数列，

1

n

21－4

∴a

1

a

2

＋a

2

a

3

＋＋a

n

a

n＋1

＝

1

1－4

＝

8

1－

1

n

∈2，

8

，故选C.

343

(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于()

A.－9B.－21C.－25D.－63

答案

B

解析因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得

2

即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)，所以S6＝－21，故选B.

S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，

思维升华等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类：

(1)通项公式的变形.

(2)等比中项的变形.

(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的

突破口.

跟踪训练

2(1)等比数列{a

n

}各项均为正数，

a3a8＋a4a7＝18，则log

3

a

1

＋log

3

a2＋＋

log

3

a

10

＝________.

答案

20

解析由a

3

a

8

＋a

4

a

7

＝18，得a

4

a

7

＝9

所以log

a

1

＋loga

2

＋＋log

3

a10

33

＝log

3

(a1a2a10)＝log

3

(a1a10)5

＝log

3

(a

4

a

7

)5

＝log

3

9

5

＝2log

3

3

10

＝20.

(2)(2018新·乡模拟)已知等比数列

，且

S

3

＝

8

，则

an

＋

1＝________(n≥2，

n1S9na

且n∈N).

答案

－

1

2

解析很明显等比数列的公比

q≠1，

a

1

(1－q

3)

S31－q

18

则由题意可得，

S6

＝

a

1

(1－q

6)

＝

1＋q

3

＝

9

，

1－q

解得q＝

1

，

2

a

n－1

q

2

＝

q

2

1

则

an

＋

1＝＝

4

＝－

1

.

an－an－1an－1q－an－1q－11

－12

2

等差数列与等比数列

关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需

要认真计算，灵活处理已知条件.

例1

已知等差数列

{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则

a3＋a6＋a11

a1＋a8＋a10

的值为(

)

1312111

A.14B.13C.12D.3

答案

A

解析

已知等差数列{an}的首项和公差均不为

0，且满足a

2

，a

5

，a

7

成等比数列，

∴a

2

5

＝a

2

a

7

，∴(a

1

＋4d)

2

＝(a

1

＋d)(a

1

＋6d)，∴10d

2

＝－a

1

d，∵d≠0，∴－10d＝a

1

，∴

a

3

＋a

6

＋a

11

a1＋a8＋a10

3a1＋17d－30d＋17d13

＝

3a

1

＋16d

＝

－30d＋16d

＝

14

.

例2已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}

的前n项和为()

A.3n＋1B.3n－1

2

＋n

2

－n

3n

D.

3n

C.

22

答案

C

解析∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，

∴a

1

(b

2

－b

1

)＝a

2

，即a

2

＝3a

1

，

又数列{an}为等比数列，

∴数列{an}的公比为q＝3，

a

n

＋

1

∴b

n＋1

－b

n

＝＝3，

∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，

2

∴数列{b

n

}的前n项和为S

n

＝2n＋

nn－1

×3＝

3n＋n

.故选C.

22

1.(2018重·庆巴蜀中学月考)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为(

)

A.±2

B.

2C.±2

D.2

答案

A

解析根据等比数列的性质可得

a

3

·a

7

＝a

5

2

＝a

1

2

·q

8

＝q

8

＝16＝2

4

，所以q

2

＝2，即q＝±2，故

选A.

2.已知递增的等比数列

{a

n

}中，a

2

＝6，a

1

＋1，a

2

＋2，a

3

成等差数列，则该数列的前6

项和

S6等于(

)

189

A.93B.189

C.16D.378

答案

B

解析

设数列{an}的公比为q，由题意可知，q>1，

且2(a2＋2)＝a

1

＋1＋a

3

，

即2×(6＋2)＝

6

q＋1＋6q，

整理可得2q

2

－5q＋2＝0，

1

则q＝2q＝2舍去，

6

则a1＝2＝3，

6

3×(

1－2

)

∴数列{a

n

}的前6项和S

6

＝＝189.

1－2

3.(2018马·鞍山质检)等比数列{a

n

}的前n项和为S

n

＝3

2n－1

＋r，则r的值为()

1111

A.3B.－

3

C.9D.－

9

答案

B

解析当n＝1时，a

1

＝S

1

＝3＋r，

当n≥2时，a

n

＝S

n

－S

n－1

＝3

2n－1

－3

2n－3

＝3

2n

－

3

(3

2

－1)＝8·3

2n3

＝8·3

2n

－

2

·3

1

－－

＝

8

·9

n－1

，

3

所以3＋r＝

8

，即r＝－

1

，故选B.

33

4.已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则

S

4

等于()

S2

A.－5B.－3C.5D.3

答案

C

解析由题意可得，

a1[1－－2

4

]

S41－－2

2

S2

＝

a

1

[1－－2

2

]

＝

1＋(－2)＝5.

1－－2

5.(2019郑·州模拟)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日

织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的

2倍，已知

她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总

尺数不少于30，该女子所需的天数至少为()

A.10B.9C.8D.7

答案C

解析设该女子第一天织布x尺，

5

＝5，解得x＝

5

，

则

x1－2

1－2

31

所以前n天织布的尺数为

5

(2

n

－1)，

31

由31

5

(2

n

－1)≥30，得2

n

≥187，解得n的最小值为8.

6.若正项等比数列{an}满足anan＋1＝2

2n

(n∈N＋)，则a6－a5的值是()

A.2

B.－162

C.2D.162

答案

D

解析设正项等比数列

{an}的公比为q>0，

∵a

n

a

n＋1

＝2

2n

(n∈N＋)，

an

＋

1an

＋

22

2n

＋

1

∴

2

，解得q＝2，

anan＋1

＝

22n

＝4＝q

2n1

∴a

n

2

×2＝2

2n

，a

n

>0，解得a

n

＝2

2

，

119

则a

6

－a

5

＝2

222

＝16

2，故选D.

7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2018，a2＋a4＝－2a3，则S2019＝________.

答案2018

解析

∵a2＋a4＝－2a3，

∴a

2

＋a

4

＋2a

3

＝0，a

2

＋2a

2

q＋a

2

q

2

＝0，

∴q

2

＋2q＋1＝0，解得q＝－1.

∵a

1

＝2018，

20192019

∴S

2019

＝

a

1

1－q

＝

2018×[1－－1]

1－q

2

＝2018.

8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，，如

此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形，且其最大

的正方形的边长为

2，则其最小正方形的边长为

________.

2

答案

1

32

22

解析由题意，得正方形的边长构成以

2

为首项，以

2为公比的等比数列，现已知共得到1023

个正方形，则有1＋2＋＋2

n－1

＝1023

，∴n＝10，∴最小正方形的边长为

2

×29＝

1

22

32

.

9.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝

1

，且a

2

a

8

＝2a

5

＋3，则a

9

＝________.

2

答案

18

解析∵a

2

a

8

＝2a

5

＋3，∴a

5

2

＝2a

5

＋3，

解得a

5

＝3(舍负)，即a

1

q

4

＝3，

则q

4

＝6，a

9

＝a

1

q

8

＝

1

×36＝

18.2

10.设等比数列{an}的前n项和为

，若a

＝2a

2

，且S＋S＝λS，则λ＝________.

Sn

3a115

4128

答案

8

3

解析∵a

3

a

11

＝2a

5

2

，∴a

7

2

＝2a

5

2

，∴q

4

＝2，

∵S

4

＋S

12

＝λS，

8

∴

a11－q412

＝

λa

8

＋a11－q11－q，

1－q1－q1－q

1－q

4

＋1－q

12

＝λ(1－q

8

)，

将q

4

＝2代入计算可得

λ＝

8

.

3

11.(2018全·国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝

a

n

.

n

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{an}的通项公式.

解(1)由条件可得a

n＋1

＝

2n＋1

a

n

，

n

将n＝1代入得，a

2

＝4a

1

，而a

1

＝1，所以a

2

＝4.

将n＝2代入得，a

3

＝3a

2

，

所以a

3

＝12.

从而b

1

＝1，b

2

＝2，b

3

＝4.

(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

由条件可得

an

＋

1＝

2an，

n＋1

n

即b

n＋1

＝2b

n

，

又b

1

＝1，所以{b

n

}是首项为

1，公比为2的等比数列.

an＝2n－1，

(3)由(2)可得n

n

－

1

.

所以a

n

＝n·2

a

n

＋a

n

＋

1

12.已知数列{a

n

}满足a

1

＝1，a

2

＝2，a

n＋2

＝，n∈N＋.

(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明b1＝a2－a1＝1.

当n≥2时，b

n

＝a

n＋1

－a

n

＝

a

n－1

＋a

n

－

a

n

2

＝－

1

(a

n

－a

n－1

)＝－

1

b

n－1

，

22

∴{bn}是以1为首项，－

1

为公比的等比数列.2

(2)解

由(1)知bn＝an＋1－an＝

－1n

－

1

2

，

当n≥2时，

an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋＋(an－an－1)

＝1＋1＋－

1

＋＋－

1

n－2

22

1－－

1

n

－

1

2

＝1＋

1－－1

2

＝1＋

2

1－－

1

n－1

32

52

－

1n

－

1

＝3－32.

当n＝1时，

5

－

2

×－

1

1－1

＝1＝a

1

，

332

52

－

1n

－

1

(n∈N＋).∴a

n

＝－

323

311

13.等比数列{an}的首项为

2

，公比为－

2

，前n项和为Sn，则当n∈N

＋

时，Sn－

S

n

的最大值与

最小值的比值为(

)

12101012

A.－

5

B.－

7

C.9D.5

答案

B

解析

∵等比数列{a

n

}的首项为

3

，公比为－

1

，

22

3

1

n－1

∴a

n

＝×－

2

，

2

3

1－－

1n

22

1

n

＝1－－∴Sn＝1－－1

2

.

2

①当n为奇数时，S＝1＋

1n随着n

的增大而减小，则

315

；

1

n2n12nSn6

②当n为偶数时，S

n

＝

1－

1

n

随着n

的增大而增大，则

37

≤S

n

－

1

2＝S2≤Sn<1，故－

12

n

<0.

4S

5

1610

∴Sn－Sn的最大值与最小值的比值为

－

7＝－7.

12

14.(2018

n

＋

1

2a

皖·南八校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2

－2，bn＝log2(an·2n)，数列{bn}

的前n项和为Tn，则满足Tn>1024的最小n的值为________.

答案

9

解析

n

＋

1

－2，由数列{an}的前n项和为Sn＝2

则当n≥

n

＋

1nn

2时，a

n

＝S

n

－S

n－1

＝2

－2－2＋2＝2，

a

1

＝S

1

＝2，满足上式，

所以b

n

＝log

2

(a

2

n

·2a

n)＝log

2

a

2

n

＋log

2

2a

n＝2n＋2

n

，

所以数列{b

n

}的前n和为T

n

＝

n2＋2n

＋

21－2

n

21－2

＝n(n＋1)＋2

n＋1

－2，

当n＝9时，T

9

＝9×10＋2

10

－2＝1112>1024，

当n＝8时，T

8

＝8×9＋2

9

－2＝582<1024，

所以满足Tn>1024的最小n的值为9.

15.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1

的n的最小值为(

)

A.4B.5C.6D.7

答案

C

解析

∵{an}是各项均为正数的等比数列，且

a

2

a

4

＝a

3

，∴a

3

2

＝a

3

，∴a

3

＝1.又∵q>1，

∴a11(n>3)，∴Tn>Tn－1(n≥4，n∈N＋)，T1<1，T2＝a1·a2<1，T3＝a1·a2·a3＝a1a2＝

T2<1，T4＝a1a2a3a4＝a1<1，T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝a3

5

＝1，T6＝T5·a6＝a6>1，故n的最小值为

6，

故选C.

16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，

形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次

“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；.

设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，，xt,2，并记an＝log2(1·x1·x2··xt·2)，其中

t＝2

n

－1，n∈N＋，求数列{a

n

}的通项公式.

解an＝log2(1·x1·x2··xt·2)，

所以an＋1＝log2[1·(1x·1)·x1·(x1·x2)··xt·(xt·2)·2]

＝log

2

(1

2

·x

3

1

·x

3

2

·x

3

3

··x

3

t

·2

2

)＝3a

n

－1，

所以a

n＋1

－

1

＝3a

n

－

1

，

22

所以数列an－2

1

是一个以

3

2为首项，以3为公比的等比数列，

13－1

3

n

＋1

×3.所以a

n

－＝，所以a

n

＝

222