数学排列组合公式

排列组合公式排列组合计算公式高中数学

排列组合公式/排列组合计算公式

公式P就是指排列,从N个元素取R个进行排列。

公式C就是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。

N-元素的总个数

R参与选择的元素个数

！-阶乘,如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)、、(n-r+1);

因为从n到(n-r+1)个数为n－(n-r+1)＝r

举例:

Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数？

A1:123与213就是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属

于“排列P”计算范畴。

上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之

类的组合,我们可以这么瞧,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,

个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P(3,9)

＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积)

Q2:有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联

盟”,可以组合成多少个“三国联盟”？

A2:213组合与312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起

即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。

上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数

即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念与公式典型例题分析

例1设有3名学生与4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生

都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？

排列组合公式排列组合计算公式高中数学

解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组

的人数,因此共有种不同方法.

(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此

共有种不同方法.

点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.

例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少

种？

解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同

排法可采用画“树图”的方式逐一排出:

∴符合题意的不同排法共有9种.

点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”就

是一种具有直观形象的有效做法,也就是解决计数问题的一种数学模型.

例３判断下列问题就是排列问题还就是组合问题？并计算出结果.

(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信？②每两人互握了一次

手,共握了多少次手？

(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长与一名副组长,共有多少种不同的

选法？②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法？

(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的

商？②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积？

(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法？②从中选出

2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信就是不同的两封信,所以与顺

序有关就是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手就是同一次握手,与顺序无

关,所以就是组合问题.其她类似分析.

(1)①就是排列问题,共用了封信;②就是组合问题,共需握手(次).

(2)①就是排列问题,共有(种)不同的选法;②就是组合问题,共有种不同的选法.

(3)①就是排列问题,共有种不同的商;②就是组合问题,共有种不同的积.

(4)①就是排列问题,共有种不同的选法;②就是组合问题,共有种不同的选法.

例４证明.

证明左式

右式.

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∴等式成立.

点评这就是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使

变形过程得以简化.

例5化简.

解法一原式

解法二原式

点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数

的两个性质,都使变形过程得以简化.

例6解方程:(1);(2).

解(1)原方程

解得.

(2)原方程可变为

∵,,

∴原方程可化为.

即,解得

第六章排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1、掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题、

2、理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式与组合数的性质,

并能用它们解决一些简单的问题、

3、掌握二项式定理与二项式系数的性质,并能用它们计算与论证一些简单问题、

二、知识结构

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三、知识点、能力点提示

(一)加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理就是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排

列、组合中有关问题提供了理论根据、

例15位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报

名方法共有多少种?

解:5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生

都有3种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=35(种)

(二)排列、排列数公式

说明排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研究

的对象以及研究问题的方法都与前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比

较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都就是选择题或填空题考查、

例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000

的偶数共有()

A、60个B、48个C、36

个D、24个

解因为要求就是偶数,个位数只能就是2或4的排法有P1

2

;小于50000的

五位数,万位只能就是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P1

3

;在首末两位数排

定后,中间3个位数的排法有P3

3

,得P1

3

P3

3

P1

2

＝36(个)

由此可知此题应选C、

例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个

数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解:将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填

法有3种,即2143,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;

将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为

3P1

3

=9(种)、

例四例五可能有问题,等思考

三)组合、组合数公式、组合数的两个性质

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说明历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本

上都就是由选择题或填空题考查、

例4从4台甲型与5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型

电视机各1台,则不同的取法共有()

A、140种B、84种C、70种D、35种

解:抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C1

4

·C2

5

种;甲型2台乙

型1台的取法有C2

4

·C1

5

种

根据加法原理可得总的取法有

C2

4

·C2

5

+C2

4

·C1

5

=40+30=70(种)

可知此题应选C、

例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1项,

丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式?

解:甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C3

8

种;

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C1

5

种;

丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C2

4

种;

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有

C2

2

种、

根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C1

5

×C2

4

×C2

2

=×1=1680(种)、

(四)二项式定理、二项展开式的性质

说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它就是常

用的基础知识,从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查

二项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空题、

例6在(x-)10的展开式中,x6的系数就是()

A、-27C6

10

B、27C4

10

C、

-9C6

10

D、9C4

10

解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6,

因Tγ+1=Cγ

10

x10-γ(-)γ,10-γ=6,γ=4

排列组合公式排列组合计算公式高中数学

于就是展开式中第5项含x6,第5项系数就是C4

10

(-)4=9C4

10

故此题应选D、

例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等

于

解:此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项的与,则其与为

在(x-1)6中含x3的项就是C3

6

x3(-1)3=-20x3,因此展开式中x2的系数就是-20、

(五)综合例题赏析

例8若(2x+)4=a

0

+a

1

x+a

2

x2+a

3

x3+a

4

x4,则(a

0

+a

2

+a

4

)2-(a

1

+a

3

)2的值为()

A、1B、

-1C、0D、2

解:A、

例92名医生与4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生与

2名护士,不同的分配方法共有()

A、6种B、12种C、18

种D、24种

解分医生的方法有P2

2

＝2种,分护士方法有C2

4

=6种,所以共有6×2＝12种不

同的分配方法。

应选B、

例10从4台甲型与5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与

乙型电视机各1台,则不同取法共有()、

A、140种B、84种C、70

种D、35种

解:取出的3台电视机中,甲型电视机分为恰有一台与恰有二台两种情形、

∵C2

4

·+C2

5

·C1

4

=5×6+10×4=70、

∴应选C、

例11某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女

生当选的不同选法有()

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A、27种B、48种C、21种D、24种

解:分恰有1名女生与恰有2名女生代表两类:

∵C1

3

·C17+C2

3

=3×7+3=24,

∴应选D、

例12由数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于

十位数字的共有()、

A、210个B、300个

C、464个D、600个

解:先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P1

5

·P5

5

=600个、

由对称性,个位数小于十位数的六位数与个位数大于十位数的六位数各占一半、

∴有×600=300个符合题设的六位数、

应选B、

例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()、

A、70个B、64个

C、58个D、52个

解:如图,正方体有8个顶点,任取4个的组合数为C4

8

=70个、

其中共面四点分3类:构成侧面的有6组;构成垂直底面的对角面的有2组;形如

(ADB

1

C

1

)的有4组、

∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)

应选C、

例14如果把两条异面直线瞧成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线

中,异面直线共有()、

A、12对B、24对

C、36对D、48对

解:设正六棱锥为O—ABCDEF、

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任取一侧棱OA(C1

6

)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对、

∴共有C16×4=24对异面直线、

应选B、

例15正六边形的中心与顶点共7个点,以其中三个点为顶点的三角形

共个(以数字作答)、

解:7点中任取3个则有C3

7

=35组、

其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径)、

∴三角形个数为35-3=32个、

例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集

数为T,则的值为。

解10个元素的集合的全部子集数有:

S＝C0

10

+C1

10

+C2

10

+C3

10

+C4

10

+C5

10

+C6

10

+C7

10

+C8

10

+C9

10

+C10

10

=210=1024

其中,含3个元素的子集数有T=C3

10

=120

故=

例17例17在50件产品n中有4件就是次品,从中任意抽

了5件,至少有3件就是次品的抽法共

种(用数字作答)、

解:“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”、

∴C3

4

·C2

46

+C4

4

·C1

46

=4186(种)

例18有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人

中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有()、

A、1260种B、2025种

C、2520种D、5040种

解:先从10人中选2个承担任务甲(C2

10

)

再从剩余8人中选1人承担任务乙(C18)

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又从剩余7人中选1人承担任务乙(C17)

∴有C2

10

·C18C17=2520(种)、

应选C、

例19集合｛1,2,3｝子集总共有()、

A、7个B、8个C、6个D、5个

解三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成

的子集数

C1

3

,由二个元素组成的子集数C2

3

。

由3个元素组成的子集数C3

3

。由加法原理可得集合子集的总个数就是

C1

3

+C2

3

+C3

3

+1=3+3+1+1＝8

故此题应选B、

例20假设在200件产品中有3件就是次品,现在从中任意抽取5件,其中至

少有两件次品的抽法有()、

A、C2

3

C3

197

种B、C2

3

C3

197

+C3

3

C2

197

C、C5

200

-C5

197

D、C5

200

-C1

3

C4

197

解:5件中恰有二件为次品的抽法为C2

3

C3

197

,

5件中恰三件为次品的抽法为C3

3

C2

197

,

∴至少有两件次品的抽法为C2

3

C3

197

+C3

3

C2

197

、

应选B、

例21两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每

人一个座位),则不同座法的总数就是()、

A、C5

8

C3

8

B、P1

2

C5

8

C3

8

C、P5

8

P3

8