设函数f(x)＝x

题文

设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0. 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明见试题解析.

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解析

充要条件的证明要分别证明充分性和必要性，.本题充分性是由证明为奇函数，必要性是由为奇函数证明.试题解析：证明充分性：∵a2＋b2＝0，∴a＝b＝0，       2∴f(x)＝x|x|                  3∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，           4∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数        6必要性：若f(x)为奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立     7即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立           8令x＝0，则b＝－b，∴b＝0，            10令x＝a，则2a|a|＝0，∴a＝0                11即a2＋b2＝0       12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。