某羊皮手套生产厂计划投入适当的广告费，对生产的手套进行促销．在一年内，据测算销售量S与广告费x之间的函数关系是S=5

题文

某羊皮手套生产厂计划投入适当的广告费，对生产的手套进行促销．在一年内，据测算销售量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系是S=5-2x．已知羊皮手套的固定投入为6万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入25万元．（年销售收入=年生产成本的120%+年广告费的50%）．（I）将羊皮手套的年利润L（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；（II）当年广告费投入为多少万元时，此厂的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年生产成本-年广告费）．（结果保留两位小数）（参考数据：3=1.732，5=2.236，6=2.449） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意知，羊皮手套的年成本为（25S+6）万元，年销售收入为（25S+6）×120%+x•50%，年利润为L=（25S+6）×120%+x•50%-（25S+6）-x，即L=15(25S+6)-12x．又S=5-2x，所以L=5S+65-12x=5(5-2x)+65-12x=1315-10x-12x(x＞0)．（II）由（I）知，L=1315-10x-12x=26.2-(10x+x2)≤26.2-210x•x2．26.2-25=26.2-2×2.236=21.728≈21.73．当且仅当10x=x2，即x=25=2×2.236≈4.47时，L有最大值21.73．因此，当年广告费投入约为4.47万元时，此厂的年利润最大，最大年利润约为21.73万元．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“某羊皮手套生产厂计划投入适当的广告费，对.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.