已知二次函数f=ax2+bx+c，设x1，x2∈R且x1＜x2，f≠f．求证：方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实

题文

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，设x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）．求证：方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x1，x2）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：令g（x）=f（x）-12[f（x1）+f（x2）]=ax2+bx+c-12[f（x1）+f（x2），因为△=b2-4a[c-f(x1)+f(x2)2]=b2-4ac+2a[f（x1）+f（x2）]=b2-4ac+2a[ax12+bx1+c+ax22+bx2+c]=[b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2，又x1＜x2，所以△＞0，所以g（x）=0有两个不等实根，即方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根；而g（x1）=f（x1）-12[f（x1）+f（x2）]=-f(x2)-f(x1)2，g（x2）=f（x2）-12[f（x1）+f（x2）]=f(x2)-f(x1)2，∴g（x1）•g（x2）=-14[f（x2）-f（x1）]2＜0．再由g（x）的图象是连续的，可得g（x）在区间（x1，x2） 内必有零点，即 f（x）-f(x1)+f(x2)2=0在区间（x1，x2） 内必有实数根．综上可得，方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x1，x2）．

点击查看二次函数的性质及应用知识点讲解,巩固学习

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax2+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。

p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像： 图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)  值域a>0a<0  奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a0a<0 图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为 ;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数 在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令 ．① ② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论： 特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。