数学简报

数学信息简报

第173期

数学学院信息工作小组编2016年3月19日

编者按:《数学信息简报》于2009年创办，本刊以国内外各大

媒体网站为主要信息来源摘取有关数学学科教学、科研、学科建设、

人才培养、党建和学生思想政治教育等网络信息，采取定期出刊和专

题分析解读相结合的方式，为院（所、中心）领导了解数学学科网络

舆情信息提供服务。

本期导读:

1密码学先驱获得2015年国际计算机学会图灵奖

2进击的复数

3如何从拓扑学上理解哲学的性质

本期内容：

密码学先驱获得2015年国际计算机学会图灵奖

升阳微系统前任首席安全官WhitfieldDiffie和斯坦福大学电气工程名誉

教授n凭借对现代密码学中的杰出贡献荣膺2015国际计算机

学会(ACM)图灵奖。如今，通过安全渠道实现双方秘密沟通的能力已经根本性地

影响到了全球数十亿人的生活和工作。比如，日常生活中的银行，电子商务网站，

电邮和云计算平台等等，都是建立在加密基础之上的。而这一切都源于Diffie

和Hellman在1976年发表的《密码学新动向》，他们在这篇文章中开创性地介

绍了一种公钥加密和数字签名技术。目前，这项技术已经发展成为互联网上经常

使用的基础加密算法，Diffie-Hellman设计的协议保护着互联网的日常通信和

数以万亿计的金融交易。用正则表达式并不擅长解决数学问题。对一个正则表达

式系统，字符从0到9,和其他的一样，并没有什么特殊的地方。

密码学是通过保持私密和认证的方式避免第三方窃取和篡改信息，从而促进

通信双方的交流。古时，人们将可读的信息转化为乱码实现加密，而这种加密方

式只有少数人才能破译。在最早期，人们可能是通过将信息中的一个字母替换成

另外一个字母的方式来实现加密。1903年无线电的发展以及十年后爆发的第一

次世界大战让密码学得到了前所未有的关注和发展。同时，电子技术以及机械技

术的进步使机器加密成为可能，加密安全性也远远超出了以往人工加密效果。一

战结束后的二十年间，加密机器技术日臻成熟，并逐渐成为第二次世界大战的核

心加密技术。二战后，随着电子计算机的发展，加密技术已经变得更加快速和安

全。

在密码学领域，“密钥”是一个能将不可读的加密文本转换为可读文本的一

种信息数据。加密就像使用一个特制的钥匙将信息锁起来，而解密则是使用钥匙

来打开这把锁。过去，当两个人使用加密来进行通信的时候，他们需要使用相同

的密钥，而如何管理这些密钥则是对加密通信的灵活性的主要限制。

对称密码体制有着两个显著的缺点，其一是需要一个安全的密钥传输机制，

由于双方使用相同的密钥，如果其中一人忘记了自己的密钥，就需要从另外一人

那里得到密钥。此外，大量使用相同的密码加密可能导致第三方破解该密码系统

（例如破译出密钥），为了限制通信双方共享同一个密钥的数量，密钥管理系统

需要分配独立的密钥给通信双方，这给密钥管理系统带来了挑战。

非对称加密的逆过程提供了一种数字签名机制，信息提供者使用自己的私钥

来对信息签名，接收这可以使用公钥来验证信息的有效性。这种签名技术要比手

写签名安全得多，因为哪怕是一个字节的改变也会导致信息的签名验证失败，相

反，一个手写签名的支票上10美元与1,000,000美元的签名是完全的一样。

互联网的用户可能会熟悉使用这种公钥加密系统来建立安全的连接，一种典

型的统一资源定位器(URL)是以“https”开头，这里的“s”意味着将在协议的

安全传输层使用加密来通信，这种安全连接被设计成使用非对称公钥加密系统来

进行通信。

巩固今日的网络安全产业和建立健全密码体系，这是当今计算机科学界的首

要准则，另外，Diffie和Hellman的工作也让个人和企业都有机会运用加密技

术。

进击的复数

虚数，是数系中最伟大的发现之一，但是就像无理数的发现过程是坎坷的一

样，引入虚数的路途也不是一帆风顺的。在虚数刚出现之时，曾引起数学界的一

片困惑，认为虚数是没有意义的，想象的，虚无缥缈的，很多大数学家都不承认

虚数。

莱布尼茨曾说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在和

虚妄两界中的两栖物。”

然而虚数并不是偶然引入的一种虚无缥缈的东西。三次方程求根问题是历史

上一个著名的数学问题，一直有数学家尝试给出这个问题的解。直到十六世纪，

意大利数学家塔塔里亚才发现三次方程的求根公式。在这之后，虚数的引入就成

了一个实际的数学问题，而不再是单纯的一个符号演算。不承认虚数的存在，就

意味着无法求解三次方程的根。

虚数出现之后，法国数学家棣莫佛发现著名的棣莫佛公式，欧拉用i表示-1

的平方根，将i作为虚数的单位，挪威测量学家韦塞尔试图给虚数以直观的几何

解释，高斯对于复素数进行了一系列的研究。再加上柯西及阿贝尔的努力，以及

复变函数论的创立，复数理论才比较完整和系统地建立起来，逐渐为数学家所接

受。

复数z被定义为二元有序实数对(x,y)，记为z=x+yi，其中i是虚根单位。

在复数z=x+yi中，x=Re(z)称为实部，y=Im(z)称为虚部。当虚部b=0时，z可

视为实数；当虚部b≠0而实部a=0时，z称为虚数，或者纯虚数。

定义两虚数a+bi与c+di的加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i

根据乘法的定义可得i²=-1，容易验证复数运算和实数运算的运算法则基本

相同，只不过是在运算过程中带上符号i而已。

记r=|z|，t为z与x轴正方向的夹角，称为z的幅角，那么有x=rcost，

y=rsint，于是有z=r(cost+isint)，称为复数z的三角表示。欧拉证明了

e^(it)=cost+isint，所以也有z=re^(it)(x^y表示x的y次方)，称为z的指

数表示。

复数的乘法用三角表示或者指数表示是简单的。通过三角函数的运算可以简

单证明若z=re^(it)，w=pe^(is)，那么zw=rpe^(i(t+s))。也就是说，两个复数

相乘所得到的复数，其模是两个复数模的乘积，其幅角是两个复数幅角的和。因

此w乘以z，即为w的长度伸缩为原来的r倍，并将w逆时针旋转角度t。

利用e^(πi/2)=cos(π/2)+isin(π/2)=i，可得一个复数z乘以i所得

复数iz可以由复数z逆时针旋转90°得到，这说明复数的确是有几何意义的。

闽南师范大学90后的本科生经历十个月的自主研发，成功打造了首款国内版

Matlab——Numbit数学软件，从而轻松解决了高等数学，线性代数，概率统计

等等的数学问题。

如何从拓扑学上理解哲学的性质

从性质上看，拓扑学是一门关于拓扑空间变化的学问，讨论的是空间变化中

图形具有的不变性质。这与哲学研究的性质具有很大的契合。我认为，这种契合

主要体现在这样几个方面：第一，哲学讨论的思想观念是在概念空间的时间流变

中展开的，哲学关注的不是这些流变中的特殊性质，而是能够持有这些流变的概

念空间的一般性质，这与拓扑学的空间概念研究有共同之处；第二，哲学强调的

是概念的连续性和普遍性，在不同历史发展过程中概念的恒常性以及思想的永久

生命始终是哲学研究追求的目标，这也是与拓扑学研究的目标契合的；第三，如

果把概念研究看做是哲学研究的重要内容，那么由概念组成的思想空间则规定着

哲学观念的形成和变化，也决定了哲学作为一门科学的独特地位，这也可以从拓

扑学的研究思路中得到理解。

我们知道，人类的认识结果往往是以概念的形式加以确定和传播的，因此，

概念本身就成为我们讨论人类认识的主要对象，哲学的反思正是我们对概念本身

的研究活动。然而，我们以往对概念的研究，主要关注的是概念的历史发展，或

者是讨论某一位哲学家提出某个哲学概念的历史过程，或者是某个哲学概念形成

和发展的历史进程。这种研究的目的是为了说明，哲学概念的思想内涵在不同的

历史时期是如何演变发展的。它的长处在于，这的确可以帮助我们理解某个哲学

概念的发展历史以及它的思想内容，但主要缺陷则是，我们无法理解某个哲学概

念与其他的概念之间的共时关系，也就是说不同哲学概念之间的空间关系。这就

要求我们在说明哲学概念的历史演变的同时，更要关注哲学概念的空间关系，由

此才能构成我们对哲学概念的完整理解。而且，每个哲学家都试图用自己的理解

表明，这个概念必须增加这些共同内容。虽然哲学的发展历史在很大程度上正是

由不同的哲学家对相同概念的不同理解构成的，但他们的理解之所以能够为后人

不断讨论，也正是因为这些理解本身就包含了后人能够对这个概念作出进一步解

释的共同内容。所以，哲学概念的发展是以概念的共同内容为基本前提的。

应当说，正是哲学概念具有的连续性和普遍性，才使得哲学研究与拓扑学有

了契合之处。拓扑学强调的连续性是以图形的不变性质为标志的，由于图形具有

这样的性质才使得表面上产生变形的图形能够被看做是具有连续的性质；而拓扑

学适用的普遍性也是由于拓扑空间的高度抽象性，因此在许多领域可以运用我们

对拓扑空间的理解去完成在平面空间中无法完成的任务。这些正是哲学研究的根

本要求。当然，换一个角度说，哲学对连续性和普遍性的要求也反映了哲学的学

科性质，也就是要在哲学研究中追求不同历史发展过程中概念的恒常性以及思想

的永久生命。这些要求使得哲学成为人类的一门恒久科学，并在自然科学高度发

展的今天仍然能够作为一门独立的学问坐拥科学的殿堂。

报：数学学院（所、中心）各系、教研室、研究室主任以上领导

签发人：赵任主编：赵任责任编辑：孙晶

协助编辑：学生会秘书处电子邮箱sjing@

（共发32份）