点的投影

19

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影

基本要求：

建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出

点、线、面的关系。

主要内容：

1、投影的基本知识；

2、点的投影；

3、直线的投影；

4、平面的投影。

2.1投影的基本知识

一、内容：

1、投影的基本概念；

2、投影的类型；

3、工程中常用的投影图。

二、要求及重点：

要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

三、教学方式：

通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

20

2.1投影的基本知识

一、投影的概念

1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影

子”称为投影。

2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称

为投影线。形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。

(a)(b)

图2-1中心投影法图2-2平行投影法

二、投影的类型

投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。

1、中心投影法

光线由光源点发出，投射线成束线状。

投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。光源距形体越近，形体投影越大，它不反

映形体的真实大小。

2、平行投影法

光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。

平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。

(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。

(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。用正投影法得到的投影叫正投影。

三、工程上常用的投影图

1、透视图

用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。透视图与人的视觉

习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，

常用于绘制建筑效果图。

21

图2-3透视图图2-4轴测图

2、轴测图

将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。如图2-4所

示，形体上互相平行且长度相等的线段，在轴测图上仍互相平行、长度相等。轴测图虽不符合近大远小的

视觉习惯，但仍具有很强的直观性，所以在工程上得到广泛应用。

3、标高投影图

用正投影法将局部地面的等高线投射在水平的投影面上，并标注出各等高线的高程，从而表达该局部

的地形。这种用标高来表示地面形状的正投影图，称为标高投影图，如图2-5所示。

图2-5标高投影图图2-6正投影图

4.正投影图

根据正投影法所得到的图形称为正投影图。如图2-6所示为房屋（模型）的正投影图。正投影图直观

性不强，但能正确反映物体的形状和大小，并且作图方便，度量性好，所以工程上应用最广。绘制房屋建

筑图主要用正投影，今后不作特别说明，“投影”即指“正投影”。

22

2.2点的投影

一、内容：

1、点在三投影面体系中第一分角的投影；

2、两点的相对位置。

二、要求及重点：

1、要求了解三投影面体系；

2、掌握投影的特性；

3、根据点的坐标，判定点的类型。

4、掌握点的相对位置关系；

5、了解重影点概念，判断重影点的可见性。

三、教学方式：

1、利用教具、模型使学生在头脑中形成空间印象，做到平面投影与实际空间中的对应关

系；

2、利用例题使学生掌握并知道如何利用这些原理、概念；

3、通过课上实际绘制，使学生更加深理解绘图过程及技巧。

四、作业：

布置点投影的作业。

23

2.2点的投影

一、投影的形成与特性

1、三个互相垂直的投影面V、H、W，组成一个三投影面体系，将空间划分为八个分角。

V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧

面。规定三个投影轴OX、OY、OZ向左、向前、向上为正，在三条投影轴都是正相的投影面之间的空间

第一分角。

图2-7三投影面体系以及八个分角的划分

第一分角内的空间点A分别向三个投影面H、V、W作水平投影（H面投影）、正面投影（V面投影）、

侧面投影（W面投影），用相应的小写字母a、小写字母加一撇aˊ、小写字母加两撇a″作为投影符号。

（a）轴测图（b）展开投影图（c）投影图

图2-8点的三面投影

2、点的投影（例如A点）具有下述投影特性：

（1）点的投影连线垂直于投影轴。

（2）点的投影与投影轴的距离，反映该点的坐标，也就是该点与相应的投影面的距离。

（a）轴测图（b）投影图

图2-9点的投影特性

24

[例2-1]已知空间点B的坐标为X=12，Y=10，Z=15，也可以写成B（12、10、15）。单位为mm（下

同）。求作B点的三投影。

1、分析

已知空间点的三点坐标，便可作出该点的两个投影，从而作出另一投影。

（a）（b）（c）

图2-10由点的坐标作三面投影

2、作图

①画投影轴，在OX轴上由O点向左量取12，定出bX，过b

X

作OX轴的垂线，如图2-10（a）。

②在OZ轴上由O点向上量取15，定出b

Z

，过b

Z

作OZ轴垂线，两条线交点即为bˊ，如图2-10（b）。

③在bˊb

X

的延长线上，从b

X

向下量取10得b；在bˊb

Z

的延长线上，从b

Z

向右量取10得b″。或

者由bˊ和b用图2-10（c）所示的方法作出b″。

点与投影面的相对位置有四类：空间点；投影面上的点；投影轴上的点；与原点O重合的点。

二、两点的相对位置

1、两点的相对位置是指空间两个点的上下、左右、前后关系，在投影图中，是以它们的坐标差来

确定的。

2、两点的V面投影反映上下、左右关系；两点的H面投影反映左右、前后关系；两点的W面投影反

映上下、前后关系。

[例2-2]已知空间点C（15，8，12），D点在C点的右方7，前方5，下方6。求作D点的三投影。

分析

D点在C点的右方和下方，说明D点的X、Z坐标小于C点的X、Z坐标；D点在C点的前方，说

明D点的Y坐标大于C点的Y坐标。可根据两点的坐标差作出D点的三投影。

作图：如图2-11。

（a）（b）（c）（d）

图2-11求作D点的三投影

25

3、重影点：

若两个点处于垂直于某一投影面的同一投影线上，则两个点在这个投影面上的投影便互相重合，这两

个点就称为对这个投影面的重影点。

图2-12重影点的投影

26

2.3直线的投影

一、内容：

1、直线的类型；

2、直线的投影特性；

3、求一般位置直线的实长与倾角；

4、直线上点的投影；

5、两直线的相对位置；

6、一边平行与投影面的直角的投影。

二、要求及重点：

掌握上述几部分内容的基本概念、原理，并应用。

三、教学方式：

1、通过教具、模型使学生在头脑中形成空间概念，做到平面投影与空间的转换；

2、利用例题，使学生掌握、运用这些原理、方法、技巧；

3、通过绘制，使学生对点的投影有更加深刻的理解。

四、作业：

布置相关直线投影的作业，巩固知识，灵活运用。

27

2.3直线的投影

空间直线与投影面的相对位置有三种：

投影面平行线特殊位置直线

投影面垂直线

一般位置直线

一、特殊位置直线及其投影特性

1、投影面平行线

只平行于一个投影面，而对另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。

投影面平行线又有三种位置：

水平线：平行于水平面

正平线：平行于正平面

侧平线；平行于侧面

投影面平行线的投影特性见表2-1。直线对投影面所夹的角即直线对投影面的倾角，α、β、γ分别

表示直线对H面、V面和W面的倾角。

表2-1投影面平行线的投影特性

名

称

轴测图投影图投影特性

正

平

线

1、ɑ/b/

反映真长和

α、γ角。

2、ɑb//OX，ɑ//

b////

OZ，且长度缩短。

水

平

线

1、cd反映真长和β、

γ角。

2、c/d/

//OX，c//

d////

OY

W

，且长度缩短。

28

侧

平

线

1、e//f//

反映真长和

α、β角。

2、ef//OY

H

，e/

f///

OZ，且长度缩短。

2、投影面垂直线

垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。

投影面垂直线也有三种位置：

铅垂线：垂直于水平面的直线

正垂线：垂直于正面的直线

侧垂线：垂直于侧面的直线

投影面垂直线的投影特性见表2-2。

表2-2投影面垂直线的投影特性

名

称

轴测图投影图投影特性

正

垂

线

1、ɑ/b/积聚成一点。

2、ɑb//OY

H

，ɑ//

b//

//OY

W

，且反映真长。

铅

垂

线

1、cd积聚成一点。

2、c/d/

//OZ，c//

d////

OZ，且反映真长。

侧

垂

线

1、e//f//

积聚成一点。

2、ef//OX，e/

f///

OX，且反映真长。

29

二、一般位置直线及其真长与倾角

1、一般位置直线既不平行也不垂直于任何一个投影面，即与三个投影面都处于倾斜位置的直线。

2、一般位置直线的投影特性：三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线与投影面的

真实倾角。

（a）（b）

图2-13一般位置直线

求作一般位置直线的真长和倾角，可用图2-14所示的直角三角形法。

（a）作图原理（b）求真长和α角（c）求真长和β角

图2-14用直角三角形法求直线的真长和倾角

三、直线上的点的投影特性

1、直线上的点的投影，必在直线的同面投影上；

2、若直线不垂直于投影面，则点的投影分割直线线段投影的长度比，都等于点分割直线线段的长度

比。

[例2-3]如图2-15a所示，已知直线AB求作AB上的C点，使AC：CB=2：3。

（a）已知条件（b）作图过程

图2-15作分割AB成2：3的C点

30

[解]根据直线上的点的投影特性，作图过程见图2-15b所示：

⑴自a任引一直线，以任意直线长度为单位长度，从a顺次量5个单位，得点1、2、3、4、5。

⑵连5与b，作2c//5b，与ab交于c。

⑶由c引投影连线，与a′b′交得cˊ。cˊ与c即为所求的C点的两面投影。

[例2-4]如图2-16a所示，试判断K点是否在侧平线MN上？

[解]可按直线上点的投影特性，用方法一或方法二进行判断。

方法一的判断过程如图2-16b所示：

⑴加W面，即过O作投影轴OY

H

、OY

W

、OZ。

⑵由m′n′、mn和k′、k作出m″n″和k″。

⑶由于k″不在m″n″上，所以K点不在MN上。

方法二的判断过程如图2-16c所示：

⑴过m任作一直线，在其上取mk

0

=mˊkˊ、k

0

n

0

=kˊnˊ。

⑵分别将k和k

0

、n和n

0

连成直线。

⑶由于kk

0

∥nn

0

，于是mˊkˊ：kˊnˊ≠mk：kn，从而就可立即判断出K点不在MN上。

（a）已知条件（b）方法一（c）方法二

图2-16判断K点是否在侧平线MN上

四、两直线的相对位置

两直线的相对位置有三种情况：

平行

相交共面直线

交叉异面直线

它们的投影特性列在表2-3中。

当两直线处于交叉位置时，有时需要判断可见性，即判断它们的重影点的重合投影的可见性。

确定和表达两交叉线的重影点投影可见性的方法是：从两交叉线同面投影的交点，向相邻投影引垂直

于投影轴的投影连线，分别与这两交叉线的相邻投影各交得一个点，标注出交点的投影符号。按左遮右、

前遮后、上遮下的规定，确定在重影点的投影重合处，是哪一条直线上的点的投影可见。

31

表2-3不同相对位置的两直线的投影特性

相对位置平行相交交叉

轴

测

图

投

影

图

相对位置

平行相交交叉

投

影

特

性

同面投影相互平行

同面投影都相交，交点符合一

点的投影特性，同面投影的交

点，就是两直线的交点的投影

两直线的投影，既不符合平行

两直线的投影特性，又不符合

相交两直线的投影特性。同面

投影的交点，就是两直线上各

一点形成的对这个投影面的重

影点的重合的投影。

（a）已知条件（b）加W面投影检验（c）用直线上的点的投影特性检验

图2-17检验侧平线AB和一般位置直线CD的相对位置

五、一边平行于投影面的直角的投影

当直角的一边为投影面平行线时，则在它所平行的投影面上的投影，仍为直角。

[例2-5]如图2-18a所示，已知交叉两直线AB、CD，作出它们的公垂线MN（M、N分别是公

垂线与AB、CD的交点），并求出这两条交叉直线之间的距离。

（a）已知条件（b）解题分析（c）作图过程

图2-18作交叉线AB、CD的公垂线MN和距离

32

[解]如图2-18b所示，先进行几何分析和投影分析：公垂线MN是与交叉两直线AB、CD都垂直的

直线，垂足M与N之间的距离，即为这两条交叉直线之间的距离。

由于图2-18a中给出的直线AB是铅垂线，MN与AB垂直，MN必为水平线。既然MN是水平线，

MN与CD垂直，按一边平行于投影面的直角的投影特性，mn也应与cd垂直。由于AB是铅垂线，MN

在AB上的垂足M的H面投影m，必积聚在ab上，于是就可由此开始，按上述的几何分析和投影分析逐

步进行作图，作图过程如图2-18c所示。

⑴点m积聚在ab上，从m引cd的垂线，得交点n，即为MN与CD的垂足N的H面投影。

⑵由n作投影连线，与cˊdˊ交得nˊ，就是MN与CD的垂足N的V面投影。

⑶由nˊ作OX轴的平行线，与aˊbˊ交得mˊ，即为MN与AB的垂足M的V面投影。于是m

ˊnˊ、mn即为所求的公垂线MN的两面投影。

⑷由于MN是水平线，则其H面投影mn的长度，即为真长，也就是交叉两直线AB与CD之间的

距离，用引出线在图中注明。

33

2.4平面的投影

一、内容：

1、平面对投影面的相对位置及投影特性；

2、平面上点、线、图形的投影特性及判断方法；

3、最大斜度线；

4、换面法。

二、要求及重点：

1、掌握平面及平面上点、线、图形的投影特性，知道如何判定平面上点、线、图形；

2、了解最大斜度线的原理，能应用最大斜度线求出平面与投影面夹角α、β、γ；

3、掌握换面法的基本用法。

三、教学方式：

1、通过教具、模型使学生在头脑中形成空间概念，做到平面投影与空间的转换；

2、利用例题，使学生掌握、运用这些原理、方法、技巧；

3、通过绘制，使学生对点、线、图形的投影有更加深刻的理解。

四、作业：

布置相关平面投影的作业，巩固知识，灵活运用。

34

2.4平面的投影

一、各种位置的平面及其投影特性

平面对投影面的相对位置有三种：

投影面平行面特殊位置平面

投影面垂直面

一般位置平面

平面与投影面H、V、W的倾角，分别用α、β、γ表示。

（一）投影面垂直面

垂直于一个投影面，而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。

正垂面：垂直于正面的平面

铅垂面：垂直于水平面的平面

侧垂面：垂直于侧面的平面

投影面垂直面的投影特性见表2-4。

表2-4投影面垂直面的投影特性

名称轴测图投影图投影特性

正垂

面

1、V面投影积聚成

一直线，并反映与

H、W面的倾角α、

γ。

2、其它两个投影为

面积缩小的类似形。

铅垂

面

1、H面投影积聚成

一直线，并反映与

V、W面的倾角β、

γ。

2、其它两个投影为

面积缩小的类似形。

侧垂

面

1、W面投影积聚成

一直线，并反映与

H、V面的倾角α、

β。

2、其它两个投影为

面积缩小的类似形

（二）投影面平行面

平行于一个投影面，而垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。

水平面：平行于水平面的平面

正平面：平行于正面的平面

侧平面：平行于侧面的平面

35

投影面平行面的投影特性见表2-5。

表2-5投影面平行面的投影特性

名称轴测图投影图投影特性

正平

面

1、V面投影反映真

形。

2、H面投影、W面

投影积聚成直线，

分别平行于投影轴

OX、OZ。

水平

面

1、H面投影反映真

形。

2、V面投影、W面

投影积聚成直线，

分别平行于投影轴

OX、OY

W

。

侧平

面

1、W面投影反映

真形。

2、V面投影、H面

投影积聚成直线，

分别平行于投影轴

OZ、OY

H

。

（三）一般位置平面

在三面投影体系中，立体的平面对三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面。

一般位置平面的三个投影既不反映实形，又无积聚性。均为缩小的类似图形。

二、平面上的点、直线和图形

（一）特殊位置平面上的点、直线和图形

特殊位置上的点、直线和图形，在该平面的有积聚性的投影所在的投影面上的投影，必定积聚在该

平面的有积聚性的投影上。

利用这个投影特性，可以求做特殊位置平面上的点、直线和图形的投影。

[例2-6]如图2-19a所示，△ABC为水平面，已知它的H面投影△abc和顶点A的V面投影aˊ，

求作△ABC的V面投影和W面投影，并求作△ABC的外接圆圆心D的三面投影。

[解]因为水平面的V面投影和W面投影有积聚性，并且分别平行于OX轴和OY

W

轴，所以按已知

条件就可作出这个三角形分别积聚成直线的V面投影和W面投影。

又因水平面的H面投影反映真形，所以就能直接用平面几何的作图方法在H面投影中作出△ABC的

外接圆圆心D的H面投影d；然后，由d引投影连线，分别在已作出的△ABC的有积聚性的V面投影和

W面投影上，作出D点的V面投影dˊ和W面投影d″。

36

图2-19作水平的△ABC的V面投影和W面投影，并求外接圆圆心D

具体的作图过程如图2-19b所示：

⑴分别由a、aˊ引投影连线，交得a″。

⑵分别过aˊ、a″引OX、OY

W

轴的平行线，再分别由b、c引投影连线，与上述平行线交得顶点B、

C的V面投影b、c和W面投影b″、c″，从而就作出了△ABC的有积聚性的V面投影aˊbˊcˊ和W

面投影a″b″c″。

⑶在H面投影中，分别作△abc的任意两条边（例如ab和ca）的中垂线，就交得△ABC的外接圆圆

心D的H面投影d。

⑷由d分别作投影连线，与△ABC的有积聚性的V面投影aˊbˊcˊ和W面投影a″b″c″

交得D点的V面投影dˊ和W面投影d″。

（二）一般位置平面上的点、直线和图形

1、点和直线在平面上的几何条件

（1）平面上的点，必在该平面的直线上。平面上的直线必通过平面上的两点；

（2）通过平面上的一点，且平行于平面上的另一直线。

[例2-7]如图2-20a所示，已知ABCD和K点的两面投影，ABCD上的直线MN的H面投影

mn，试检验K点是否在ABCD平面上，并作出直线MN的V面投影mˊnˊ。

图2-20检验K点是否在ABCD上，并作ABCD上的直线MN的V面投影

[解]如图2-20b所示，可按点和直线在平面上的几何条件作图。

检验K点的作图过程如下：

⑴连aˊ和kˊ，延长后，与bˊcˊ交于eˊ。由eˊ引投影连线，与BC交得e。连a和e。

37

⑵若k在ae上，则K点在ABCD的直线AE上，K点便在ABCD上。但图中的k不在ae上，

就表明K点不在ABCD上。

求作mˊnˊ的作图过程如下：

⑴延长mn，与ad交得s，与bc交得f。

⑵由s、f作投影连线，分别在aˊdˊ、bˊcˊ上交得sˊ、fˊ，连sˊ与fˊ。

⑶由m、n作投影连线，分别与sˊtˊ交得mˊ、nˊ，mˊnˊ即为所求。2.平面上的投影面平行

线

平面上的投影面平行线不仅应满足直线在平面上的几何条件，它的投影又符合投影面平行线的投影特

性。

[例2-8]如图2-21a所示，已知△ABC，在△ABC上求作一条距V面为13mm正平线。

[解]作图过程如图2-21b所示：

⑴在OX轴之下（即OX轴之前）13mm处，作OX轴的平行线，即为这条正平线的H面投影，与ab、

bc分别交得d、e，de即为所求作的正平线DE的H面投影。

⑵由d、e作投影连线，分别与aˊbˊ、bˊcˊ交得dˊ、eˊ，连dˊ和eˊ，dˊeˊ即为所求的正平

线DE的V面投影。

（a）已知条件（b）作图过程

图2-21在△ABC上求作正平线

3.平面上的最大斜度线

平面上垂直于该平面的某一投影面平行线的直线，是平面上对这个投影面的最大斜度线，它与这个投

影面的倾角，也就是平面与这个投影面的倾角，如图2-22所示。

图2-22平面上对H面的最大斜度线及其几何意义

38

[例2-9]如图2-23a所示，已知△ABC，求作△ABC与H面的倾角α。

[解]只要在△ABC平面上作一条对H面的最大斜度线，再求出它与H面的倾角α，也就是△ABC

与H面的倾角。为了在△ABC平面上作对H面的最大斜度线，先要在△ABC平面上作一条水平线。

（a）已知条件（b）作图过程

图2-23作△ABC与H面的倾角α

作图过程如图2-23b所示：

⑴过A点作△ABC平面上的水平线AD：先作aˊdˊ∥OX，再由aˊdˊ作出ad。

⑵在△ABC平面上作对H面的最大斜度线BE：过b作be⊥ad，与ad交得e，再由be作出bˊeˊ。

⑶作BE与H面的倾角α：用直角三角形法作出BE对H面的倾角α，即为△ABC与H面的倾角。

三、换面法以及用换面法做垂直于投影面的平面图形的真形

（一）换面法

换面法：求解几何元素的定位和度量问题时，用垂直于一个投影面的新投影面去替换两投影面体系

中的另一投影面，使几何元素对新投影面处于有利于解题的特殊位置，从而作出求解结果的方法，称为变

换投影面法。

换面法不仅可以更换一个投影面，还可按需连续交替更换两次，甚至更多次。

（二）换面法的基本作图

1.求直线实长

如图2-24a所示，一般位置直线在H、V面上的投影不反映实长，如果用一个平行于AB直线的新

投影面V

1

代替原来的投影面V，则AB在V

1

面上就能反映实长及其对H面的倾角α。

（a）（b）

图2-24将一般位置直线变换成投影面平行线

39

必须注意：新投影面必须垂直于被保留的投影面H，V

1

面与H面的交线X

1

为新投影轴。

用换面法求一般位置直线实长和投影面的倾角的步骤如图2-24（b）所示。

①在适当位置作新投影轴X

1

∥ab。

②分别过a、b作新投影轴X

1

的垂线aa

X1

、bb

X1

，并在其延长线上分别量取a

X1

a

1

ˊ=aˊa

X

，b

X1

b

1

ˊ

=bˊb

X

。

③连a

1

ˊb

1

ˊ即为AB直线的实长，a

1

ˊb

1

ˊ与X

1

轴的平行线所夹的角度即AB直线对H面的倾角

α。

如果要求AB直线的实长对V面的倾角β，请自行思考作图方法。

2.求投影面垂直面的实形

用换面法求投影面垂直面的实例，可如图2-25所示，作新投影面V

1

平行于△ABC，则△ABC在V

面上的投影反映实形。由于已知平面垂直于H面，因此所作新投影轴X1必与已知平面的积聚性投影平行。

如图2-26（a）所示，已知正垂面△ABC的两面投影，求作其实形。

图2-25用换面法求平面的实形

图2-26用换面法求正垂面的实形

由于△ABC是正垂面，所以平行于正垂面的新投影面H

1

垂直于V面，代替H面。作图步骤如下。

①在适当位置作新投影轴X

1

∥aˊbˊcˊ，由aˊ、bˊ、cˊ分别作X

1

轴的垂线，如图2-26（b）。

②分别量取a

1

、b

1

、c

1

到X

1

轴的距离等于a、b、c到X轴的距离，连a

1

、b

1

、c

1

，△a

1

b

1

c

1

即为△

ABC的实形。