初中数学知识点总结及公式大全

-

z.

知识点1：一元二次方程的根本概念

1．一元二次方程3*2+5*-2=0的常数项是-2.

2．一元二次方程3*2+4*-2=0的一次项系数为4，常数项是-2.

3．一元二次方程3*2-5*-7=0的二次项系数为3，常数项是-7.

4．把方程3*(*-1)-2=-4*化为一般式为3*2-*-2=0.

知识点2：直角坐标系与点的位置

1．直角坐标系中，点A〔3，0〕在y轴上。

2．直角坐标系中，*轴上的任意点的横坐标为0.

3．直角坐标系中，点A〔1，1〕在第一象限.

4．直角坐标系中，点A〔-2，3〕在第四象限.

5．直角坐标系中，点A〔-2，1〕在第二象限.

知识点3：自变量的值求函数值

1．当*=2时,函数y=

32x

的值为1.

2．当*=3时,函数y=

2

1

x

的值为1.

3．当*=-1时,函数y=

32

1

x

的值为1.

知识点4：根本函数的概念及性质

1．函数y=-8*是一次函数.

2．函数y=4*+1是正比例函数.

3．函数

xy

2

1



是反比例函数.

4．抛物线y=-3(*-2)2-5的开口向下.

5．抛物线y=4(*-3)2-10的对称轴是*=3.

6．抛物线

2)1(

2

1

2xy

的顶点坐标是(1,2).

7．反比例函数

x

y

2



的图象在第一、三象限.

知识点5：数据的平均数中位数与众数

1．数据13,10,12,8,7的平均数是10.

2．数据3,4,2,4,4的众数是4.

3．数据1，2，3，4，5的中位数是3.

知识点6：特殊三角函数值

1．cos30°=

2

3

.

2．sin260°+cos260°=1.

3．2sin30°+tan45°=2.

4．tan45°=1.

5．cos60°+sin30°=1.

-

z.

知识点7：圆的根本性质

1．半圆或直径所对的圆周角是直角.

2．任意一个三角形一定有一个外接圆.

3．在同一平面，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.

4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

6．同圆或等圆的半径相等.

7．过三个点一定可以作一个圆.

8．长度相等的两条弧是等弧.

9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

知识点8：直线与圆的位置关系

1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.

2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.

3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.

4．三角形的切圆的圆心叫做三角形的心.

5．垂直于半径的直线必为圆的切线.

6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.

7．垂直于半径的直线是圆的切线.

8．圆的切线垂直于过切点的半径.

知识点9：圆与圆的位置关系

1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.

2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.

4．两个圆切时,这两个圆的公切线只有一条.

5．相切两圆的连心线必过切点.

知识点10：正多边形根本性质

1．正六边形的中心角为60°.

2．矩形是正多边形.

3．正多边形都是轴对称图形.

4．正多边形都是中心对称图形.

知识点11：一元二次方程的解

1．方程04

2x的根为.

A．*=2B．*=-2C．*1=2,*2=-2D．*=4

2．方程*2-1=0的两根为.

A．*=1B．*=-1C．*1=1,*2=-1D．*=2

3．方程〔*-3〕〔*+4〕=0的两根为.

A.*1=-3,*2=4B.*1=-3,*2=-4C.*1=3,*2=4D.*1=3,*2=-4

4．方程*(*-2)=0的两根为.

A．*1=0,*2=2B．*1=1,*2=2C．*1=0,*2=-2D．*1=1,*2=-2

-

z.

5．方程*2-9=0的两根为.

A．*=3B．*=-3C．*1=3,*2=-3D．*1=+3,*2=-3

知识点12：方程解的情况及换元法

1．一元二次方程

0234

2xx

的根的情况是.

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

2．不解方程,判别方程3*2-5*+3=0的根的情况是.

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

3．不解方程,判别方程3*2+4*+2=0的根的情况是.

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4．不解方程,判别方程4*2+4*-1=0的根的情况是.

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

5．不解方程,判别方程5*2-7*+5=0的根的情况是.

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

6．不解方程,判别方程5*2+7*=-5的根的情况是.

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

7．不解方程,判别方程*2+4*+2=0的根的情况是.

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

8.不解方程,判断方程5y2+1=2

5

y的根的情况是

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

9.用换元法解方程4

)3(5

32

2









x

x

x

x

时,令

3

2

x

x

=y,于是原方程变为.

A.y2-5y+4=0B.y2-5y-4=0C.y2-4y-5=0D.y2+4y-5=0

10.用换元法解方程4

)3(5

32

2









x

x

x

x

时,令

2

3

x

x

=y,于是原方程变为.

A.5y2-4y+1=0B.5y2-4y-1=0C.-5y2-4y-1=0D.-5y2-4y-1=0

11.用换元法解方程(

1x

x

)2-5(

1x

x

)+6=0时，设

1x

x

=y，则原方程化为关于y的方程是.

A.y2+5y+6=0B.y2-5y+6=0C.y2+5y-6=0D.y2-5y-6=0

知识点13：自变量的取值围

-

z.

1．函数2xy中，自变量*的取值围是.

A.*≠2B.*≤-2C.*≥-2D.*≠-2

2．函数y=

3

1

x

的自变量的取值围是.

A.*>3B.*≥3C.*≠3D.*为任意实数

3．函数y=

1

1

x

的自变量的取值围是.

A.*≥-1B.*>-1C.*≠1D.*≠-1

4．函数y=

1

1





x

的自变量的取值围是.

A.*≥1B.*≤1C.*≠1D.*为任意实数

5．函数y=

2

5x

的自变量的取值围是.

A.*>5B.*≥5C.*≠5D.*为任意实数

知识点14：根本函数的概念

1．以下函数中,正比例函数是.

A.y=-8*B.y=-8*+1C.y=8*2+1D.y=

x

8



2．以下函数中,反比例函数是.

A.y=8*2B.y=8*+1C.y=-8*D.y=-

x

8

3．以下函数：①y=8*2；②y=8*+1；③y=-8*；④y=-

x

8

.其中,一次函数有个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

知识点15：圆的根本性质

1．如图，四边形ABCD接于⊙O,∠C=80°,则∠A的度数是.

A.50°B.80°

C.90°D.100°

2．：如图，⊙O中,圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是.

A.100°B.130°C.80°D.50°

3．：如图，⊙O中,圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数是.

A.100°B.130°C.80°D.50°

4．：如图，四边形ABCD接于⊙O，则以下结论中正确的选项是.

A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°

C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=90

5．半径为5cm的圆中,有一条长为6cm的弦,则圆心到此弦的距离为.

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

6．：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD的度数是.

A.100°B.130°C.80°D.50

7．：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是.

A.100°B.130°C.200°D.50

•

D

B

C

A

O

•

•

B

O

C

A

D

•

C

B

A

O

•

B

O

C

A

D

•

B

O

C

A

D

•

B

O

C

A

D

-

z.

8.：如图，⊙O中,圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD的度数是.

A.100°B.130°C.80°D.50°

9.在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为cm.

A.3B.4C.5D.10

10.：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是.

A.100°B.130°C.200°D.50°

12．在半径为5cm的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为.

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

知识点16：点、直线和圆的位置关系

1．⊙O的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O的距离为10㎝,则这条直线和这个圆的位置关系为.

A.相离B.相切C.相交D.相交或相离

2．圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为7cm,则这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切B.相离C.相交D.相离或相交

3．圆O的半径为6.5cm,PO=6cm,则点P和这个圆的位置关系是

A.点在圆上B.点在圆C.点在圆外D.不能确定

4．圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4.5cm,则这条直线和这个圆的公共点的个数是.

A.0个B.1个C.2个D.不能确定

5．一个圆的周长为acm,面积为acm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,则这条直线和这个圆的位置关

系是.

A.相切B.相离C.相交D.不能确定

6．圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,则这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切B.相离C.相交D.不能确定

7.圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,则这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切B.相离C.相交D.相离或相交

8.⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是.

A.点在圆上B.点在圆C.点在圆外D.不能确定

知识点17：圆与圆的位置关系

1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，假设O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是.

A.外离B.外切C.相交D.切

2．⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,假设O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是.

A.切B.外切C.相交D.外离

3．⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,假设O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是.

A.外切B.相交C.切D.含

4．⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,假设O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是.

A.外离B.外切C.相交D.切

5．⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm，两圆的一条外公切线长4

3

，则两圆的位置关系是.

A.外切B.切C.含D.相交

6．⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,假设O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是.

A.外切B.相交C.切D.含

知识点18：公切线问题

1．如果两圆外离，则公切线的条数为.

A.1条B.2条C.3条D.4条

•

C

B

A

O

-

z.

2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为.

A.1条B.2条C.3条D.4条

3．如果两圆相交，则它们的公切线的条数为.

A.1条B.2条C.3条D.4条

4．如果两圆切，它们的公切线的条数为.

A.1条B.2条C.3条D.4条

5.⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,假设O1O2=9cm,则这两个圆的公切线有条.

A.1条B.2条C.3条D.4条

6．⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,假设O1O2=7cm,则这两个圆的公切线有条.

A.1条B.2条C.3条D.4条

知识点19：正多边形和圆

1．如果⊙O的周长为10πcm，则它的半径为.

A.5cmB10C.10cmD.5πcm

2．正三角形外接圆的半径为2,则它切圆的半径为.

A.2B.3C.1D.2

3．,正方形的边长为2,则这个正方形切圆的半径为.

A.2B.1C.2D.3

4．扇形的面积为

3

2

,半径为2,则这个扇形的圆心角为=.

A.30°B.60°C.90°D.120°

5．,正六边形的半径为R,则这个正六边形的边长为.

A.

2

1

.2RD.R3

6．圆的周长为C,则这个圆的面积S=.

A.2CB.



2C

C.

2

2C

D.

4

2C

7．正三角形切圆与外接圆的半径之比为.

A.1:2B.1:

3

C.

3

:2D.1:2

8.圆的周长为C,则这个圆的半径R=.

A.2CB.CC.

2

C

D.



C

9.,正方形的边长为2,则这个正方形外接圆的半径为.

A.2B.4C.22D.2

3

10．,正三角形的半径为3,则这个正三角形的边长为.

A.3B.

3

C.32D.3

3

知识点20：函数图像问题

-

z.

1．：关于*的一元二次方程

3

2cbxax

的一个根为

2

1

x

，且二次函数cbxaxy2的对称轴是直线

*=2，则抛物线的顶点坐标是.

A.(2，-3)B.(2，1)C.(2，3)D.(3，2)

2．假设抛物线的解析式为y=2(*-3)2+2,则它的顶点坐标是.

A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)

3．一次函数y=*+1的图象在.

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

4．函数y=2*+1的图象不经过.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5．反比例函数y=

x

2

的图象在.

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限

6．反比例函数y=-

x

10

的图象不经过.

A第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限

7．假设抛物线的解析式为y=2(*-3)2+2,则它的顶点坐标是.

A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)

8．一次函数y=-*+1的图象在.

A．第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

9．一次函数y=-2*+1的图象经过.

A．第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

10.抛物线y=a*2+b*+c〔a>0且a、b、c为常数〕的对称轴为*=1，且函数图象上有三点A(-1,y1)、B(

2

1

,y2)、

C(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是.

A.y3

知识点21：分式的化简与求值

1．计算：

)

4

)(

4

(

yx

xy

yx

yx

xy

yx









的正确结果为.

A.22xyB.22yxC.224yxD.224yx

2.计算：1-〔

12

1

)

1

1

2

2

2











aa

aa

a

a的正确结果为.

2C.-aa2D.-aa2

3.计算：)

2

1(

2

2x

x

x





的正确结果为.

A.*B.

x

1

C.-

x

1

D.-

x

x2

4.计算：)

1

1

1()

1

1

1(

2







x

x

的正确结果为.

-

z.

A.1B.*+1C.

x

x1

D.

1

1

x

5．计算)1

1

()

1

1

1

(





xxx

x

的正确结果是.

A.

1x

x

B.-

1x

x

C.

1x

x

D.-

1x

x

6.计算)

11

()(

yxxy

y

yx

x









的正确结果是.

A.

yx

xy



B.-

yx

xy



C.

yx

xy



D.-

yx

xy



7.计算：

22

222

22

2

2

22

)(

yxyx

xyyx

yx

y

xy

x

yx













的正确结果为.A.*-yB.*+y

C.-(*+y)D.y-*

8.计算：)

1

(

1

x

x

x

x





的正确结果为.

A.1B.

1

1

x

C.-1D.

1

1

x

9.计算

x

x

x

x

x

x









2

4

)

22

(的正确结果是.

A.

2

1

x

B.

2

1

x

C.-

2

1

x

D.-

2

1

x

知识点22：二次根式的化简与求值

1.*y>0，化简二次根式

2x

y

x的正确结果为.

.yC.-yD.-y

2.化简二次根式

2

1

a

a

a





的结果是.

A.1aB.-1aC.

1a

D.1a

3.假设a

a

b

a

的结果是.

A.

ab

B.-

ab

C.

ab

D.-

ab

4.假设a

a

ba

ba

a2)(





的结果是.

A.

a

B.-

a

C.

a

D.

a

-

z.

5.化简二次根式

2

3

)1(



x

x

的结果是.

A.

x

xx





1

B.

x

xx





1

C.

x

xx





1

D.

1



x

xx

6．假设a

a

ba

ba

a2)(





的结果是.

.-aC.aD.a

7．*y<0,则yx2化简后的结果是.

.-

8．假设a

a

ba

ba

a2)(





的结果是.

.-aC.aD.a

9．假设b>a，化简二次根式a2

a

b



的结果是.



10．化简二次根式

2

1

a

a

a





的结果是.

A.1aB.-1aC.

1a

D.1a

11．假设ab<0，化简二次根式32

1

ba

a

的结果是.

.-bbC.b

b

D.-b

b

知识点23：方程的根

1．当m=时，分式方程

xx

m

x

x











2

3

1

2

4

2

2

会产生增根.

A.1B.2C.-1D.2

2．分式方程

xx

x

x











2

3

1

2

1

4

2

2

的解为.

A.*=-2或*=0B.*=-2C.*=0D.方程无实数根

3．用换元法解方程05)

1

(2

1

2

2

x

x

x

x，设

x

x

1

=y，则原方程化为关于y的方程.

A.y2+2y-5=0B.y2+2y-7=0C.y2+2y-3=0D.y2+2y-9=0

4．方程(a-1)*2+2a*+a2+5=0有一个根是*=-3，则a的值为.

-

z.

A.-4B.1C.-4或1D.4或-1

5．关于*的方程01

1

1







x

ax

有增根,则实数a为.

A.a=1B.a=-1C.a=±1D.a=2

6．二次项系数为1的一元二次方程的两个根分别为-2-3、2-3，则这个方程是.

A.*2+23*-1=0B.*2+23*+1=0

C.*2-23*-1=0D.*2-23*+1=0

7．关于*的一元二次方程(k-3)*2-2k*+k+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值围是.

A.k>-

2

3

B.k>-

2

3

且k≠3C.k<-

2

3

D.k>

2

3

且k≠3

知识点24：求点的坐标

1．点P的坐标为(2,2)，PQ‖*轴，且PQ=2，则Q点的坐标是.

A.(4,2)B.(0,2)或(4,2)C.(0,2)D.(2,0)或(2,4)

2．如果点P到*轴的距离为3,到y轴的距离为4,且点P在第四象限,则P点的坐标为.

A.(3,-4)B.(-3,4)C.4,-3)D.(-4,3)

3．过点P(1,-2)作*轴的平行线l1,过点Q(-4,3)作y轴的平行线l2,l1、l2相交于点A，则点A的坐标是.

A.(1,3)B.(-4,-2)C.(3,1)D.(-2,-4)

知识点25：根本函数图像与性质

1．假设点A(-1,y1)、B(-

4

1

,y2)、C(

2

1

,y3)在反比例函数y=

x

k

(k<0)的图象上，则以下各式中不正确的选

项是.

A.y3

2．在反比例函数y=

x

m63

的图象上有两点A(*1,y1)、B(*2,y2),假设*2<0<*1,y1

A.m>2B.m<2C.m<0D.m>0

3．:如图,过原点O的直线交反比例函数y=

x

2

的图象于A、B两点,AC⊥*轴,AD⊥y轴,△ABC的面积为

S,则.

A.S=2B.24

4．点(*1,y1)、(*2,y2)在反比例函数y=-

x

2

的图象上,以下的说法中:

①图象在第二、四象限;②y随*的增大而增大;③当0<*1<*2时,y1

函数的图象上,其中正确的有个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5．假设反比例函数

x

k

y的图象与直线y=-*+2有两个不同的交点A、B，且∠AOB<90º，则k的取值围必

是.

A.k>1B.k<1C.0

6．假设点(

m

，

m

1

)是反比例函数

x

nn

y

122

的图象上一点，则此函数图象与直线y=-*+b〔|b|<2〕

-

z.

的交点的个数为.

A.0B.1C.2D.4

7．直线

bkxy

与双曲线

x

k

y

交于A〔*1，y1〕,B〔*2，y2〕两点,则*1·*2的值.

A.与k有关，与b无关B.与k无关，与b有关

C.与k、b都有关D.与k、b都无关

知识点26：正多边形问题

1．一幅美丽的图案，在*个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三边形、正四边

形、正六边形，则另个一个为.

A.正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形

2．为了营造舒适的购物环境，*商厦一楼营业大厅准备装修地面.现选用了边长一样的正四边形、正八边

形这两种规格的花岗石板料镶嵌地面,则在每一个顶点的周围，正四边形、正八边形板料铺的个数分别是.

A.2,1B.1,2C.1,3D.3,1

3．选用以下边长一样的两种正多边形材料组合铺设地面，能平整镶嵌的组合方案是.

A.正四边形、正六边形B.正六边形、正十二边形

C.正四边形、正八边形D.正八边形、正十二边形

4．用几何图形材料铺设地面、墙面等，可以形成各种美丽的图案.师傅准备装修客厅，想用同一种正多边

形形状的材料铺成平整、无空隙的地面，下面形状的正多边形材料，他不能选用的是.

A.正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形

5．我们常见到许多有美丽图案的地面,它们是用*些正多边形形状的材料铺成的,这样的材料能铺成平整、

无空隙的地面.*商厦一楼营业大厅准备装修地面.现有正三边形、正四边形、正六边形、正八边形这四种

规格的花岗石板料〔所有板料边长一样〕，假设从其中选择两种不同板料铺设地面，则共有种不同的设计

方案.

A.2种B.3种C.4种D.6种

6．用两种不同的正多边形形状的材料装饰地面,它们能铺成平整、无空隙的地面.选用以下边长一样的正

多边形板料组合铺设，不能平整镶嵌的组合方案是.

A.正三边形、正四边形B.正六边形、正八边形

C.正三边形、正六边形D.正四边形、正八边形

7．用两种正多边形形状的材料有时能铺成平整、无空隙的地面，并且形成美丽的图案，下面形状的正多

边形材料，能与正六边形组合镶嵌的是〔所有选用的正多边形材料边长都一样〕.

A.正三边形B.正四边形C.正八边形D.正十二边形

8．用同一种正多边形形状的材料，铺成平整、无空隙的地面，以下正多边形材料，不能选用的是.

A.正三边形B.正四边形C.正六边形D.正十二边形

9．用两种正多边形形状的材料，有时既能铺成平整、无空隙的地面，同时还可以形成各种美丽的图案.以

下正多边形材料〔所有正多边形材料边长一样〕，不能和正三角形镶嵌的是.

A.正四边形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形

知识点27：科学记数法

1．为了估算柑桔园近三年的收入情况,*柑桔园的管理人员记录了今年柑桔园中*五株柑桔树的柑桔产量,

结果如下(单位:公斤):100,98,108,96,102,101.这个柑桔园共有柑桔园2000株,则根据管理人员记录的数

据估计该柑桔园近三年的柑桔产量约为公斤.

A.2×105B.6×105×105D.6.06×105

2．为了增强人们的环保意识,*校环保小组的六名同学记录了自己家中一周丢弃的塑料袋数量,结果如下

(单位:个):25,21,18,19,24,19.市约有200万个家庭,则根据环保小组提供的数据估计全市一周共丢弃塑

料袋的数量约为.

-

z.

×108×107×106×105

知识点28：数据信息题

1．对*班60名学生参加毕业考试成绩〔成绩均为整数〕整理后，画出频率分布

直方图，如下图，则该班学生及格人数为.

A.45B.51

C.54D.57

2．*校为了了解学生的身体素质情况，对初三〔2〕班的50名学生进展了立定

跳远、铅球、100米三个工程的测试，每个工程总分值为10分.如图，是将该

班学生所得的三项成绩〔成绩均为整数〕之和进展整理后，分成5组画出的频

率分布直方图，从左到右前4个小组频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46.以下

说法：

①学生的成绩≥27分的共有15人；

②学生成绩的众数在第四小组〔22.5～26.5〕；

③学生成绩的中位数在第四小组〔22.5～26.5〕围.

其中正确的说法是.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

3．*学校按年龄组报名参加乒乓球赛，规定“n岁年龄组〞只允许满n岁但未满n+1岁的

学生报名,学生报名情况如直方图所示.以下结论，其中正确的选项是.

A.报名总人数是10人;

B.报名人数最多的是“13岁年龄组〞;

C.各年龄组中,女生报名人数最少的是“8岁年龄组〞;

D.报名学生中,小于11岁的女生与不小于12岁的男生人数相等.

4．*校初三年级举行科技知识竞赛,50名参赛学生的最后得分(成绩均为整数)的频率

分布直方图如图,从左起第一、二、三、四、五个小长方形的高的比是1：2：4：2：

1,根据图中所给出的信息,以下结论,其中正确的有.

①本次测试不及格的学生有15人；

②69.5—79.5这一组的频率为0.4;

③假设得分在90分以上(含90分)可获一等奖,

则获一等奖的学生有5人.

A①②③B①②C②③D①③

5．*校学生参加环保知识竞赛，将参赛学生的成绩(得分取整数)进展整理后分成五组,

绘成频率分布直方图如图，图中从左起第一、二、三、四、五个小长方形的高的比是1：

3：6：4：2，第五组的频数为6，则成绩在60分以上(含60分)的同学的人数.

A.43B.44C.45D.48

6．对*班60名学生参加毕业考试成绩〔成绩均为整数〕整

理后，画出频率分布直方图，如下图，则该班学生及格人

数为.

A45B51C54D57

7．*班学生一次数学测验成绩(成绩均为整数)进展统计分

析,各分数段人数如下图,以下结论,其中正确的有〔〕

①该班共有50人;②49.5—59.5这一组的频率为0.08;③本次测验分数的中位数在79.5—89.5这一组;

④学生本次测验成绩优秀(80分以上)的学生占全班人数的56%.A.①②③④B.①②④C.②③④D.

①③④

8．为了增强学生的身体素质,在中考体育中考中取得优异成绩,*校初三(1)班进展

成绩

频率

0.15

0.05

0.25

0.10

0.30

49.559.5

69.579.5

89.5

99.5

100

分数

组距

频率

10.514.518.522.526.5

30.5

组距

频率

分数

59.569.5

79.589.599.5

49.5

成绩

频率

0.15

0.05

0.25

0.10

0.30

49.559.5

69.579.5

89.5

99.5

100

｜

＿

＿

＿

＿

＿

＿

＿

＿

＿

＿

＿

女生

男生

6810121416

2

4

6

8

10

成绩

人数

8

12

16

2

49.559.5

69.579.5

89.5

99.5

组距

频率

成绩

1.79

1.59

1.99

2.19

2.39

2.59

成绩

组距

频率

49.5

59.5

69.579.5

89.599.5

-

z.

了立定跳远测试,并将成绩整理后,绘制了频率分布直方图(测试成绩保存一位小数)，如下图，从左到右4

个组的频率分别是0.05，0.15，0.30，0.35，第五小组的频数为9,假设规定测试成绩在2米以上(含2

米)为合格，

则以下结论：其中正确的有个.

①初三(1)班共有60名学生;

②第五小组的频率为0.15;

③该班立定跳远成绩的合格率是80%.

A.①②③B.②③C.①③D.①②

知识点29：增长率问题

1．今年我市初中毕业生人数约为12.8万人，比去年增加了9%，预计明年初中毕业生人数将比今年减少

9%.以下说法：①去年我市初中毕业生人数约为

%91

8.12



万人；②按预计，明年我市初中毕业生人数将与去

年持平；③按预计，明年我市初中毕业生人数会比去年多.其中正确的选项是.

A.①②B.①③C.②③D.①

2．根据省对外贸易局公布的数据：2002年我省全年对外贸易总额为16.3亿美元,较2001年对外贸易总额

增加了10%,则2001年对外贸易总额为亿美元.

A.%)101(3.16B.%)101(3.16C.

%101

3.16



D.

%101

3.16



3．*市前年80000初中毕业生升入各类高中的人数为44000人,去年升学率增加了10个百分点,如果今年

继续按此比例增加,则今年110000初中毕业生,升入各类高中学生数应为.

A.71500B.82500C.59400D.605

4．我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定下调药品价格.*种药品在2001年涨价30%后,2003年降价70%

后至78元,则这种药品在2001年涨价前的价格为元.

78元B.100元C.156元D.200元

5．*种品牌的电视机假设按标价降价10%出售，可获利50元；假设按标价降价20%出售，则赔本50元，

则这种品牌的电视机的进价是元.〔〕

A.700元B.800元C.850元D.1000元

6．从1999年11月1日起,全国储蓄存款开场征收利息税的税率为20%，*人在2001年6月1日存入人民

币10000元，年利率为2.25%,一年到期后应缴纳利息税是元.

A.44B.45C.46D.48

7．*商品的价格为a元，降价10%后,又降价10%,销售量猛增,商场决定再提价20%出售，则最后这商品的

售价是元.

A.a元B.1.08a元C.0.96a元D.0.972a元

8．*商品的进价为100元，商场现拟定以下四种调价方案,其中0

案是.

A.先涨价m%,再降价n%B.先涨价n%,再降价m%

C.先涨价

2

nm

%,再降价

2

nm

%

D.先涨价

mn

%,再降价

mn

%

9．一件商品,假设按标价九五折出售可获利512元,假设按标价八五折出售则亏损384元,则该商品的进价

为.

A.1600元B.3200元C.6400元D.8000元

10．自1999年11月1日起,国家对个人在银行的存款利息征收利息税,税率为20%(即存款到期后利息的

20%),储户取款时由银行代扣代收.*人于1999年11月5日存入期限为1年的人民币

•

•

O

2

O

1

B

C

A

D

-

z.

16000元,年利率为2.25%,到期时银行向储户支付现金元.

16360元B.16288C.16324元D.16000元

知识点30：圆中的角

1．：如图,⊙O1、⊙O2外切于点C，AB为外公切线,AC的延长线交⊙O1于点D,假设

AD=4AC,则∠ABC的度数为.

A.15°B.30°C.45°D.60°

2．:如图,PA、PB为⊙O的两条切线,A、B为切点,AD⊥PB于D点,AD交⊙O于点E,

假设∠DBE=25°,则∠P=.

A.75°B.60°C.50°D.45°

3．:如图，AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点，AD=CD，∠CBE=40°，过点B作⊙O的切线交DC的

延长线于E点，则∠CEB=.

A.60°B.65°C.70°D.75°

4．EBA、EDC是⊙O的两条割线，其中EBA过圆心，弧AC的度数是105°,且AB=2ED，则∠E

的度数为.

A.30°B.35°C.45°D.75

5．：如图，Rt△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA为半径作⊙O

与BC相切于点D,与AC相交于点E,假设∠ABC=40°,则∠CDE=.

A.40°B.20°C.25°D.30°

6．:如图,在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径,∠BCD=130º，过D点

的切线PD与直线AB交于P点，则∠ADP的度数为.

A.40ºB.45ºC.50ºD.65º

7．:如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB、

AC切小圆于D、E两点，弧DE的度数为110°，

则弧AB的度数为.

A.70°B.90°C.110°D.130

8.：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，⊙O1的弦AB切⊙O2于C点,假设∠APB=30º，

则∠BPC=.

A.60ºB.70ºC.75ºD.90º

知识点31：三角函数与解直角三角形

1．在学习了解直角三角形的知识后，小明出了一道数学题：我站在综合楼顶，看到对面教学楼顶的俯角

为30º，楼底的俯角为45º，两栋楼之间的水平距离为20米，请你算出教学楼的高约为米.〔结果保存两

位小数，2≈1.4,

3

≈1.7〕

2．在学习了解直角三角形的知识后，小明出了一道数学题：我站在教室门口，看到对面综合楼顶的仰角

为30º，楼底的俯角为45º，两栋楼之间的距离为20米，请你算出对面综合楼的高约为

米.〔2≈1.4,

3

≈1.7〕

A.31B.35C.39D.54

3．:如图，P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,直线PCB交⊙O于C、B,AD⊥BC于D,假设PC=4,PA=8，设

∠ABC=α,∠ACP=β,则sinα:sinβ=.

A.

3

1

B.

2

1

C.2D.4

4．如图,是一束平行的从教室窗户射入的平面示意图,光线与地面所成角∠AMC=30°,在

·

B

A

C

D

OP

•

o

A

P

B

D

E

•

E

O

A

D

B

C

•

E

D

B

O

A

C

••

O

1O

2

A

B

C

P

•

DB

O

A

C

E

•

A

B

OE

D

C

B

A

C

M

N

•

┑

αβ

O

A

D

B

CP

-

z.

教室地面的影子MN=23米.假设窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米,则窗户的上檐到教室地面的距离

AC为米.

A.23米B.3米C.3.2米D.

2

33

米

5．△ABC中,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E点，且DE:BD=1：2，DC:AD=3:4，CE=

7

6

，BC=6，则△

ABC的面积为.

A.3B.123C.243D.12

知识点32：圆中的线段

1．：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连结AC、BC.设

⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，假设tan∠ABC=2，则

r

R

的值为.A．2B．3C．2

D．3

2．：如图，⊙O1、⊙O2切于点A，⊙O1的直径AB交⊙O2于点C，O1E⊥AB交⊙O2于F点，BC=9，

EF=5，则CO1=A.9B.13C.14D.16

3．：如图，⊙O1、⊙O2切于点P,⊙O2的弦AB过O1点且交⊙O1于C、D两点，假设AC：CD：DB=3：4：2，则

⊙O1与⊙O2的直径之比为.

A.2：7B.2：5C.2：3D.1：3

4．:如图,⊙O1与⊙O2外切于A点,⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R,且r:R=4:5，P为⊙O1一点，PB切

⊙O2于B点，假设PB=6，则PA=.

A.2B.3C.4D.5

6．：如图，PA为⊙O的切线,PBC为过O点的割线，PA=

4

5

,⊙O的半径为3,则AC

的长为为.

A.

4

13

B.

13

133

C.

13

265

D.

13

2615

4．:如图,RtΔABC，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O1切于ΔABC，⊙O2切

BC，且与AB、AC的延长线都相切，⊙O1的半径R1，

⊙O2的半径为R2，则

2

1

R

R

=.

A.

2

1

B.

3

2

C.

4

3

D.

5

4

5．⊙O1与边长分别为18cm、25cm的矩形三边相切,⊙O2与⊙O1外切,与边BC、CD相切,则⊙O2的半径为.

A.4cmB.3.5cmC.7cmD.8cm

6．：如图，CD为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，AC=2，过A点的割线AEF交CD的延长

线于B点，且AE=EF=FB，则⊙O的半径为.

B

E

D

A

C

•

O

B

P

A

C

··

O

1

O

2

B

A

C

••

B

E

C

A

O

2

O

1

F

•

•

A

P

O

2

C

O

1

D

B

••

O

2

O

1

A

P

B

•

B

A

O

C

D

E

•

•

O

1

O

2

B

A

C

•

•

O

2

O

1

A

D

B

C

•

O

D

C

B

A

E

F

-

z.

A.

7

145

B.

14

145

C.

7

14

D.

14

14

7．：如图,ABCD，过B、C、D三点作⊙O，⊙O切AB于B点，交AD于E点.假设AB=4，

CE=5,则DE的长为.

A.2B.

5

9

C.

5

16

D.1

8.如图，⊙O1、⊙O2切于P点，连心线和⊙O1、⊙O2分别交于A、B两点，过P点的直线与

⊙O1、⊙O2分别交于C、D两点，假设∠BPC=60º，AB=2，则CD=.

A.1B.2C.

2

1

D.

4

1

知识点33：数形结合解与函数有关的实际问题

1．*学校组织学生团员举行“抗击非典,保护城市卫生〞宣传活动,从学校骑车出发,先上

坡到达A地,再下坡到达B地，其行程中的速度v(百米/分)与时间t(分)关系图象如下图.

假设返回时的上下坡速度仍保持不变，则他们从B地返回学校时的平均速度为百米/分.

34

110

B.

2

7

C.

43

110

D.

93

210

2．有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的.设从*一时刻开场5

分钟只进水不出水，在接着的2分钟只出水不进水，又在随后的15分钟既进水又出水，刚

好将该容器注满.容器中的水量y升与时间*分之间的函数关系如下图.则在第7分钟时，

容器的水量为升.

A.15B.16C.17D.18

3.甲、乙两个个队完成*项工程，首先是甲单独做了10天，然后乙队参加合做，完成剩

下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如下图的函数关系，则实际完成这

项工程所用的时间比由甲单独完成这项工程所需时间少.

A.12天B.13天C.14天D.15天

4.*油库有一储油量为40吨的储油罐.在开场的一段时间只开进油管,不开出油管;在随

后的一段时间既开进油管,又开出油管直至储油罐装满油.假设储油罐中的储油量(吨)与

时间(分)的函数关系如下图.

现将装满油的储油罐只开出油管,不开进油管,则放完全部油所需的时间是分钟.

A.16分钟B.20分钟C.24分钟D.44分钟

5.校办工厂*产品的生产流水线每小时可生产100件产品,生产前没有积压．生产3小

时后另安排工人装箱(生产未停顿),假设每小时装产品150件,未装箱的产品数量y是时间t的函数,则这

个函数的大致图像只能是.

ABCD

6.如图，*航空公司托运行的费用y(元)与托运行的重量*(公斤)的关系为一次函数，由图中可知,行不超

过公斤时，可以免费托运.A.18B.19C.20D.21

7.小明利用星期六、日双休骑自行车到城外小姨家去玩.星期六从家中出发,先上坡,后

走平路,再走下坡路到小姨家.行程情况如下图.星期日小明又沿原路返回自己家.假设两

天中,小明上坡、平路、下坡行驶的速度相对不变，则星期日，小明返回家的时间是分钟.

A.30分钟B.38

3

1

分钟C.41

3

2

分钟D.43

3

1

分钟

8.有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从*时刻开

场5分钟只进不出水，在随后的15分钟既进水又出水，容器中的水量y(升)与时间t(分)

•

•

D

P

O

1

O

2

A

B

C

2

1

4

1

O

工作量

天数

1

10

16

储油量(吨)

时间(分)

O8

16

24

24

40

v(百米/分)

t(分)

5

20

34

O

2

20

5

22

46

7

O

x(分)

y(升)

y(升)

t(分)

O

5

20

20

35

10

30

O2030

x(分钟)

10

60

S(百米)

-

z.

之间的函数关系图像如图，假设20分钟后只出水不进水，则需分钟可将容器的水放完.

A．20分钟B.25分钟

C．

3

35

分钟D．

3

95

分钟

9.一学生骑自行车上学,最初以*一速度匀速前进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误

了几分钟.为了按时到校，这位学生加快了速度，仍保持匀速前进，结果准时到达学校，

这位学生的自行车行进路程S(千米)与行进时间t(分钟)的函数关系如右图所示,则这位

学生修车后速度加快了千米/分.

10.*工程队承受一项轻轨建筑任务,方案从2002年6月初至2003年5月底(12个月)完

成,施工3个月后,实行倒计时,提高工作效率,施工情况如下图,则按提高工作效率后的

速度做完全部工程,可提前月完工.

A.10.5个月B.6个月C.3个月D.1.5个月

知识点34：二次函数图像与系数的关系

1.如图，抛物线y=a*2+b*+c图象，则以下结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a>

3

1

;④c<1.其中正确

的结论是.

A.①②③B.①③④

C.①②④D.②③④

2.:如图,抛物线y=a*2+b*+c的图象如下图，则以下结论：①abc>0；②2cba;③a>

2

1

;

④b>1.其中正确的结论是.

A.①②B.②③C.③④D.②④

3.：如下图，抛物线y=a*2+b*+c的对称轴为*=-1，则以下结论正确的个数是.

①abc>0②a+b+c>0③c>a④2c>b

A.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③

4.二次函数y＝a*2＋b*＋c的图象与*轴交于点〔-2，0〕，〔*1，0〕，且1<*1<2，与y轴的正半轴的交

点在点〔0，2〕的上方.以下结论：①a0.其中正确结论的个

数为.

A1个B2个C3个D4个

5.:如下图,抛物线y=a*2+b*+c的对称轴为*=-1，且过点(1,-2),则以下结论正确的个数是.

①abc>0②

b

ca

>-1③b<-1④5a-2b<0

A.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③

6.:如下图,抛物线y=a*2+b*+c的图象如下图，以下结论：①a<-1;②-1

其中正确的个数是.

A.①④B.②③④C.①③④D.②③

7.二次函数y=a*2+b*+c的图象如下图,则a、b、c的大小关系是.

A.a>b>cB.a>c>b

C.a>b=cD.a、b、c的大小关系不能确定

8.如图，抛物线y=a*2+b*+c图象与*轴交于A(*1,0)、B(*2,0)两点,则以下结论中:

①2a+b<0;②a<-1;③a+b+c>0;④0

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.:如下图,抛物线y=a*2+b*+c的对称轴为*=-1，与*轴交于A、B两点，交y轴于点C，且OB=OC，则以下结论正确

的个数是.

①b=2a②a-b+c>-1③0

(1,-2)

-1O

y

x

-1

x

O

1

y

(2,1)

O

y

x

1

-1

O

1

x

2

y

0.2

0.30.5

O

t(小时)

3

学校

S(千米)

-

z.

•

C

P

O

D

E

A

B

·

·

B

A

D

P

O

F

M

E

C

•

•

B

A

P

O

1

C

E

O

2

D

F

•

•

A

E

O

1

O

2

B

D

C

P

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.二次函数y=a*2+b*+c的图象如下图,则在以下各不等式中:①abc<0;②(a+c)2-b2<0;③

b>2a+

2

c

;④3a+c<0.其中正确的个数是.

A.1个B.2个C.3个D.4个

知识点35：多项选择问题

1．：如图,△ABC中，∠A=60º，BC为定长，以BC为直径的⊙

2．O分别交AB、AC于点D、E,连结DE、OE.以下结论:

①BC＝2DE；②D点到OE的距离不变；③BD+CE＝2DE；④OE为△ADE外接圆的切线.

其中正确的结论是.

A.①②B.③④C.①②③D.①②④

2.：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC,CE⊥AB,D、E分别为垂足，AD交CE于H点，

交⊙O于N，OM⊥BC，M为垂足，BO延长交⊙O于F点，以下结论：其中正确的有.

①∠BAO=∠CAH；②DN=DH;

③四边形AHCF为平行四边形；④CH•EH=OM•HN.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

3.:如图,P为⊙O外一点,PA、PB切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于点C,连结BO交延长分别交

⊙O及切线PA于D、E两点,连结AD、BC.以下结论：①AD‖PO；②ΔADE∽ΔPCB;

③tan∠EAD=

EA

ED

；④BD2=2AD•OP.其中正确的有.

A.①②④B.③④C.①③④D.①④

4.:如图,PA、PB为⊙O的两条切线，A、B为切点，直线PO交⊙O于C、D两点，交AB于E，AF为⊙O的直径，连结

EF、PF，以下结论：①∠ABP=∠AOP；②BC弧=DF弧;③PC•PD=PE•PO;④∠OFE=∠OPF.其中正确的有.

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②④

5.:如图,∠ACB=90º,以AC为直径的⊙O交AB于D点，过D作⊙O的切线交BC于E点，EF⊥AB于F点，连

OE交DC于P，则以下结论:其中正确的有.

①BC=2DE；②OE‖AB;

③DE=2PD；④AC•DF=DE•CD.

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

6.：如图，M为⊙O上的一点,⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，

直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连结PE、PF、

BC，以下结论：其中正确的有.

①PE=PF；②PE2=PA·PC;③EA·EB=EC·ED；

④

r

R

BC

PB

〔其中R、r分别为⊙O、⊙M的半径〕.

A.①②③B.①②④C.②④D.①②③④

7.：如图，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，PA切⊙O1于A，交⊙O2于P，PB的延长线

交⊙O1于C，CA的延长线交⊙O2于D，E为⊙O1上一点，AE=AC，EB延长线交⊙O2于

F，连结AF、DF、PD,以下结论：

①PA=PD；②∠CAE=∠APD;③DF‖AP；

④AF2=PB•EF.其中正确的有.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

8.:如图,⊙O1、⊙O2切于点A，P为两圆外公切线上的一点,⊙O2的割线PBC切⊙O1于D点,AD

•

DM

B

O

H

A

E

N

F

C

·B

A

C

D

E

O

-

z.

•

P

A

C

BO

N

D

E

F

M

•

•

D

P

O

2

B

F

E

C

O

1

A

延长交⊙O2于E点,连结AB、AC、O1D、O2E,以下结论：①PA=PD；②BE弧=CE弧;③PD2=PB•PC;④O1D‖O2E.其

中正确的有.

A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③④

9.:如图,P为⊙O外一点，割线PBC过圆心O,交⊙O于B、C两点，PA切⊙O于A点，CD⊥PA，D为垂足，CD交⊙

O于F，AE⊥BC于E，连结PF交⊙O于M，CM延长交PA于N，

以下结论：

①AB=AF；②FD弧=BE弧;③DF•DC=OE•PE；

④PN=AN.其中正确的有.

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

10.：如图，⊙O1、⊙O2切于点P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C点,PC的延长线交⊙O1于D点,PA、

PB分别交⊙O2于E、F两点,

以下结论：其中正确的有.

①CE=CF；②△APC∽△CPF;

③PC•PD=PA•PB；④DE为⊙O2的切线.

A.①②③B.②③④

C.①③④D.①②③④

知识点36：因式分解

1.分解因式：*2-*-4y2+2y=.

2.分解因式：*3-*y2+2*y-*=.

3.分解因式：*2-b*-a2+ab=.

4.分解因式：*2-4y2-3*+6y=.

5.分解因式：-*3-2*2-*+4*y2=.

6.分解因式：9a2-4b2-6a+1=.

7.分解因式：*2-a*-y2+ay=.

8.分解因式：*3-y3-*2y+*y2=.

9.分解因式：4a2-b2-4a+1=.

知识点37：找规律问题

1.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为

一级、二级、三级、……逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，……〔这就是著名

的斐波拉契数列〕.请你仔细观察这列数的规律后答复：上10级台阶共有种上法.

2.把假设干个棱长为a的立方体摆成如图形状：从上向下数,摆一层有1个立方体,摆二层共有4个立方体,

摆三层共有10个立方体，则摆五层共有个立方体.

3.下面由“*〞拼出的一列形如正方形的图案，每条边上〔包括两个顶点〕有n〔n>1〕个“*〞,每个图形

“*〞的总数是S：

n=2,S=4n=3,S=8n=4,S=12n=5,S=16

通过观察规律可以推断出：当n=8时，S=.

4.下面由火柴杆拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：

……

n=1n=2n=3n=4……

通过观察发现：第n个图形中，火柴杆有根.

5.P为△ABC的边BC上一点，△ABC的面积为a，

B1、C1分别为AB、AC的中点，则△PB1C1的面积为

4

a

，

*

*

*

*

*

*

*

*

*

**

*

*

*

*

**

*

*

*

*

*

*

*

-

z.

•

A

B

O

P

C

•

A

P

D

B

C

O

•A

B

C

D

E

O

A

C

1

P

C

2

B

2

B

1

B

3

C

3

C

B

B2、C2分别为BB1、CC1的中点，则△PB2C2的面积为

16

3a

，

B3、C3分别为B1B2、C1C2的中点，则△PB3C3的面积为

64

7a

，

按此规律……可知：△PB5C5的面积为.

6.如图,用火柴棒按平行四边形、等腰梯形间隔方式搭图形.按照这样的规律搭

下去……

假设图形中平行四边形、等腰梯形共11个，需要根火柴棒.(平行四边形每边为一

根火柴棒,等腰梯形上底,两腰为一根火柴棒,下底为两根火柴棒)

7.如图的三角形数组是我国古代数学家辉发现的，

称为辉三角形.根据图中的数构成的规律可得：

图中a所表示的数是.

8.在同一平面：两条直线相交有1

2

222





个交点，三条直线两两相交最多有3

2

332





个交点，四条

直线两两相交最多有6

2

442





个交点，……

则8条直线两两相交最多有个交点.

9.观察以下等式：13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102……；

根据前面各式规律可得：13+23+33+43+53+63+73+83=.

知识点38：结论寻求条件问题

1.如图,AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，

∠BAC的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE=AF，则PF应

满足的条件是.〔只需填一个条件〕

2.:如图,AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的一点,PC切⊙O于C,要使得AC=PC,

则图中的线段应满足的条件是.

3.：如图，四边形ABCD接于⊙O，过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，假设它的边满足条件,

则有ΔABP∽ΔCDA.

4.:ΔABC中，D为BC上的一点，过A点的⊙O切BC于D点,交AB、AC于E、F两点，要

使BC‖EF，

则AD必满足条件.

5.:如图，AB为⊙O的直径，D为弧AC上一点，DE⊥AB于E，DE、DB分别交弦AC于F、

G两点，要使得DE=DG，则图中的弧必满足的条件是.

6.：如图，Rt△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于D点，E为AC上一点，要使得AE=CE，

请补充条件

(填入一个即可).

7.:如图,圆接四边形ABCD,对角线ACBD相交于E点，要使得BC2=CE•CA，则四边形ABCD的边

应满足的条件是.

8.,ΔABC接于⊙O,要使∠BAC的外角平分线与⊙O相切，则ΔABC的边必满足的条件是.

9.:如图，ΔABC接于⊙O，D为劣弧AB上一点，E是BC延长线上一点，AE交⊙O于F，

为使ΔADB∽ΔACE，应补充的一个条件是，或.

10.：如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC，E为

垂足，要使得DE为⊙O的切线，则△ABC的边必满足的条件是.

•

•

•

•

•

•

•

••

••

•

•

•

•

•

•

•

•

••

••

•

•

•

•

•

••

••

•

•

•

••

••

•

•

•

•

•

•

•

•

A

B

O

C

D

E

·

B

A

C

D

P

E

O

F

•

DF

B

A

O

C

E

•

B

D

O

A

C

E

-

z.

知识点39：阴影局部面积问题

1.如图,梯形ABCD中，AD‖BC，∠D=90°，以AB为直径的⊙

O切CD于E点，交BC于F，假设AB=4cm，AD=1cm，则图中阴影局部的面积是cm2.〔不用近似值〕

2.：如图，平行四边形ABCD，AB⊥AC，AE⊥BC，以AE为直径作⊙O,以A为

圆心，AE为半径作弧交AB于F点，交AD于G点，假设BE=2，CE=6，则

图中阴

影局部的面积为.

3.:如图,⊙O1与⊙O2含，直线O1O2分别交⊙O1和⊙O2于A、B和C、D点，⊙O1的弦BE

切⊙O2于F点，假设AC=1cm，CD=6cm，DB=3cm，则弧CF、AE与线段AC弧、

EF弧围成的阴影局部的面积

是cm2.

4.:如图,AB为⊙O的直径,以AO、BO为直径作⊙O1、⊙O2，⊙O的弦MN

与⊙O1、⊙O2相切于C、D两点，AB=4，则图中阴影局部的面积是.

5.：如图，等边△ABC接于⊙O1，以AB为直径作⊙O2，AB=23，

则图中阴影局部的面积为.

6.：如图，边长为12的等边三角形，形有4个等圆，则图中阴影局部的面积为.

7.：如图，直角梯形ABCD中，AD‖BC，AD=AB=23，BC=4，∠A=90°，以A为圆心，AB为半

径作扇形ABD，以BC为直径作半圆，则图中阴影局部的面积为.

8.：如图，ABCD，AB⊥AC，AE⊥BC，以AE为直径作⊙O,以A为圆心，AE为半径作弧交AB

于F点，交AD于G点，假设BE=6，CE=2，则图中阴影局部的面积为.

9.:如图,⊙O的半径为1cm,AO交⊙O于C,AO=2cm,AB与⊙O相切于B点，弦CD‖AB,则图中阴影局部的面

积是.

10.：如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，O1B⊥OA交⊙O于B，OB交⊙O1于C，OA=4，

则图中阴影局部的面积为.

初中数学所有公式概念

1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行10错角相等，两直线平行

11同旁角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，错角相等14两直线平行，同旁角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形角和定理三角形三个角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

••

O

2O

1A

CD

B

F

E

••

B

M

N

A

O

2

O

1

O

DC

•

•

A

O

1

C

O

•

A

D

O

F

C

B

E

G

-

z.

24推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等〔等角对等边〕

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°则它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于*条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于*直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于*直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，则这个三角形是直角三角形

48定理四边形的角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形角和定理n边形的角的和等于〔n-2〕×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=〔a×b〕÷2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

-

z.

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过*一点，并且被这一

点平分，则这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，则在其他直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它

的一半

82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的

一半L=〔a+b〕÷2S=L×h

83(1)比例的根本性质如果a:b=c:d,则ad=bc

如果ad=bc,则a:b=c:d

84(2)合比性质如果a／b=c／d,则(a±b)／b=(c±d)／d

85(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),则

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕，所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三

角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比

例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似〔ASA〕

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似〔SAS〕

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似〔SSS〕

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

-

z.

102圆的部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106和线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107到角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三个点确定一条直线

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等则它们所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形

120定理圆的接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的对角

121①直线L和⊙O相交d＜r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d＞r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论如果弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

-

z.

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，则切点一定在连心线上

135①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆切d=R-r(R＞r)⑤两圆含d＜R-r(R＞r)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个角都等于〔n-2〕×180°／n

140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a／4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为〔n-2〕(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n∏R／180

145扇形面积公式：S扇形=n∏R／360=LR／2

146公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

一、数

正数：正数大于0

负数：负数小于0

0既不是正数，也不是负数；正数大于负数

整数包括：正整数，0，负整数

分数包括：正分数，负分数

有理数包括：整数，分数/有限小数，无限循环小数

数轴：在直线上取一点表示0〔原点〕，选取单位长度，规定直线上向右的方向为正方向

任何一个有理数〔实数〕都可以用数轴上的一个点表示，点和数是一一对应的

两个数只有符号不同，其中一个数为另一个的相反数；两个互为相反数

0的相反数就是0

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且与原点距离相等

数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大

绝对值：数轴上，一个数所对应的点与原点的距离

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0

两个负数比拟大小，绝对值大的反而小

有理数加法法则：同号相加，不变符号，绝对值相加

异号相加，绝对值相等得0；不等，符合和绝对值大的一样，绝对值相减

一个数加0，仍是这个数

加法交换律：A+B=B+A

加法结合律：(A+B)+C=A+(B+C)

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号的负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0

乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数

乘法交换律：AB=BA

乘法结合律：(AB)C=A(BC)

乘法分配律：A(B+C)=AB+AC

-

z.

有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号的负，绝对值相除

0除以任何非0的数都得0；0不能做除数

乘方：求n个一样因数a的积的运算；结果叫幂；a是底数；n是指数；an读作a的n次幂

有理数混和运算法则：先算乘方，再乘除，后加减；括号里的先算

无理数：无限不循环小数，有正负之分。

算数平方根：一个正数*的平方等于a，即*2＝a，则*是a的算数平方根，读作“根号a〞

0的算数平方根是0

平方根：一个数*的平方根等于a，即*2＝a，则*是a的平方根〔又叫：二次方根〕

一个正数有两个平方根，且互为相反数；0只有一个，是它本身；负数没有平方根

开平方：求一个数的平方根的运算；a叫做被开方数

立方根：一个数*的立方等于a，即*3＝a，则*是a的立方根〔又叫：三次方根〕

每个数只有一个立方根，正数的是正数；0的是0；负数的是负数

开立方：求一个数的立方根的运算；a叫做被开方数

实数：有理数和无理数的统称，包括有理数，无理数。相反数、倒数、绝对值的意义一样和有理数的。实

数的运算法则和有理数一样。计算后出现带根号的无理数要化简，使被开方数不含分母和开得尽的因数

二、式

代数式：用根本运算符号连接数字或字母的式子；单独的数字或字母也是代数式

单项式：数字和字母的积；单独的数字或字母也是单项式；数字因数叫做单项式的系数

多项式：几个单项式的和；每个单项式叫做多项式的项，不含字母的叫常数项

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和；单独的一个非零数的次数是0

多项的次数：次数最高的项的次数

同类项：所含字母一样，并且一样字母的指数也一样的项

合并同类项：把同类项合并成一项；合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变

去括号法则：括号前面是加号，去括号运算符号不变

括号前面是减号，去括号〔一级运算〕运算符号变

多重括号，由里面的括号开场去

整式：单项式和多项式的统称

整式加减运算：先去括号，再合并同类项，知道式子最简

同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，如am•an＝am+n〔m、n为正整数〕

幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，如(am)n＝amn〔m、n为正整数〕

积的乘方：积的乘方等于积中每个因数乘方的积，如(ab)n＝anbn〔n为正整数〕

同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，如am÷n＝am－n〔m、n为正整数，a≠0，且m>n〕；

a0＝1〔a≠0〕；a—p＝1/ap〔a≠0，p是正整数〕

整式的乘方：单项式与单项式，把系数、一样字母的幂分别相加，其余字母连同其指数不变，作为积的因

式

单项式与多项式，根据分配律用单项式去成多项式的每一项，再把积相加

多项式与多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个的每一项，再把积相加

平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差〔a+b〕(a－b)＝a2-b2

完全平方公式：〔a－b〕2＝(b－a)2＝a2－2ab＋b2

〔a＋b〕2＝(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2

整式除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，

则连同它的指数一起作为商的一个因式

多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式

公因式：多项式各项都含有的一样因式

提公因式：多项式的各项含有公因式，把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式的乘积

-

z.

完全平方式：形如a2－2ab＋b2和a2＋2ab＋b2的式子

运用公式法：把乘法公式反过来，用来把*些多项式分解因式

分式：整式A除以整式B，表示成A/B。A为分式的分子；B为分式的分母〔B不为0〕

分式的根本性质：分式的分子与分母都乘以〔或除以〕同一个不等于0的整式，分式值不变

约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的变形

最简分式：分子和分母没有公因式的分式

分式乘除法法则：分式相乘，分子相乘作分子，分母相乘作分母

分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘

分式加减法则：同分母分式加减，分母不变，分子相加；异分式先通分，再加减

通分：根据分式的根本性质，异分母分式化为同分母分式的过程；通分时常取最简公分母

分式方程：分母中含有未知数的方程

增根：使原分式方程的分母为0的原方程的根；解分式方程必须检验

三、方程〔组〕

等式：用等号表示相等关系的式子；等式具有传递性

方程：含有未知数的等式

一元一次方程：一个方程中，只含一个未知数〔元〕，且未知数的指数为1〔次〕的方程

等式性质：等式两边同时加上〔或减去〕同一个代数式，结果还是等式

等式两边同时乘以同一个数〔或除以同一个不为0的数〕，结果还是等式

移项：从方程一边移到另一边的变形

二元一次方程：含有两个未知数，且所含未知数的项数的次数都是1的方程

二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程

二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值

二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解；它们成对出现

代入消元法：简称“代入法〞，将其中一个方程的*未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另

一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程的方法

加减消元法：简称“加减法〞，通过两式相加〔减〕消去其中一个未知数的方法

图像法：根据二元一次方程的解和一次函数图像的关系，找出两直线的交点坐标求解的方法

整式方程：等号两边都是关于未知数的整式方程

一元二次方程：只含有一个未知数的整式方程，化成a*2＋b*＋c＝0〔a≠0，a,b,c为常数〕

配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根的方法

公式法：对于a*2＋b*＋c＝0〔a≠0，a,b,c为常数〕，当b2－4ac≥0时〔当b2－4ac≤0时，方程无解〕，

可用一元二次方程的求根公式求解的方法

分解因式法：又称“十字相乘法〞，当一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积时，

求方程的根的方法

四、不等式〔组〕

不大于：等于或小于，符号“≤〞，读作“小于等于〞

不小于：大于或大于，符号“≥〞，读作“大于等于〞

不等式：用符号“<〞〔或“≤〞〕，“>〞〔或“≥〞〕连接的式子；不等有传递性〔除“≠〞〕

不等式根本性质：不等式两边加上〔或减去〕同一个整式，不等号方向不变

不等式两边乘以〔或除以〕同一个正数，不等号方向不变

不等式两边乘以〔或除以〕同一个负数，不等号方向变

不等式的解：能使不等式成立的未知数的值

解集：一个含有未知数的不等式的所有解的统称

解不等式：求不等式解集的过程

一元一次不等式：不等式的左右两边是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式

一元一次不等式组：由关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成

-

z.

一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共局部

解不等式组：求不等式解集的过程

一元一次不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小不一是无解

五、函数

函数：有两个变量*和y，给定*值就对应找到一个y值

函数图像：把一个函数的自变量*与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系里

描出它的对应点，所以点组成的图像

变量包括：自变量和因变量

关系式：表示变量之间关系的方法，根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值

表格法：表示因变量随自变量的变化而变化的情况

图像法：表示变量之间关系的方法，比拟直观

平面直角坐标系：在平面，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的；两条坐标轴把平面直角坐标系分

成4局部：右上为第一象限，右下为第四象限，左上第二，左下第三

坐标：过一点分别向*轴、y轴作垂线，垂足在*轴、y轴上所对应的数a、b，则〔a，b〕

坐标加减，图形大小和形状不变；坐标乘除，图形会变化

一次函数：假设两个变量*，y的关系能表示成y＝k*＋b〔k，b为常数，k≠0〕的形式

正比例函数：当y＝k*＋b〔k，b为常数，k≠0〕，b＝0的时候，即y＝k*，其图像过原点

一次函数的图像：k>0直线向左；k<0直线向右。与*轴〔－b/k，0〕；与y轴〔0，b〕

反比例函数：假设两个变量*，y的关系能表示成y＝k/*〔k为常数，k≠0〕的形式，*不为0

反比例函数的图像：k<0双曲线在二、四象限，在每一象限，y随*增大而减小

k>0双曲线在一、三象限，在每一象限，y随*增大而增大

二次函数：两个变量*，y的关系表示成y＝a*2＋b*＋c〔a≠0，a,b,c为常数〕的函数

二次函数的图像：函数图像是抛物线；a>0时，开口向上有最小值，a<0时，向下有最大值

y＝a〔*－h〕2＋k的图像，开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k有关

二次函数y＝a*2＋b*＋c的图像与*轴的交点就是a*2＋b*＋c＝0的根：0，1，2个

六、三角函数

正切(坡比)：Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比，记做tanA；tanA越大，梯子越陡

正弦：∠A的对边与斜边的比记做sinA；sinA越大，梯子越陡

余弦：∠A的邻边与斜边的比记做cosA；cosA越小，梯子越陡

锐角A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数

仰角：当从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角

俯角：当从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角

特殊的三角函数值

tan

sin

cos

30o

45o

1

60o

七、统计和概率

科学记数法：把一个数字写成a*10n的形式的记数方法

统计图：形象地表示收集到的数据的图

扇形统计图：用圆和扇形来表示总体和局部的关系，扇形大小反映局部占总体的百分比的大小；在扇形统

计图中，每个局部占总体的百分比等于该局部对应的扇形圆心角与3600的比

条形统计图：清楚地表示出每个工程的具体数目

-

z.

折线统计图：清楚地反映事物的变化情况

确定事件包括：肯定会发生的必然事件〔P＝1〕和一定不会发生的不可能事件〔P＝0〕

不确定事件：可能发生也可能不发生的事件〔0

的概率：可用事件结果除以所以可能结果求得理论概率

有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到准确到的数位为止的数字

游戏双方公平：双方获胜的可能性一样

算数平均数：简称“平均数〞，最常用，受极端值得影响较大；加权平均数

中位数：数据按大小排列，处于中间位置的数，计算简单，受极端值得影响较小

众数：一组数据中出现次数最多的数据，受极端值得影响较小，跟其他数据关系不大

平均数、众数、中位数都是数据的代表，刻画了一组数据的“平均水平〞

普查：为了一定目的对考察对象进展全面调查；考察对象全体叫总体，每个考察对象叫个体

抽样调查：从总体中抽取局部个体进展调查；从总体中抽出的一局部个体叫样本〔有代表性〕

随机调查：按时机均等的原则进展调查，总体中每个个体被调查的概率一样

频数：每次对象出现的次数

频率：每次对象出现的次数与总次数的比值

级差：一组数据中最大数据与最小数据的差，刻画数据的离散程度

方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，刻画数据的离散程度

方差计算公式s2＝[(*1-*)2+(*2-*)2+……+(*n-*)2]/n＝(*12+*22+……+*n2-n*2)/n

标准方差：方差的算数平方根刻画数据的离散程度

一组数据的级差、方差、标准方差越小，这组数据就越稳定

利用树状图或表格方便求出*事件发生的概率

两个比照图像中，坐标轴上同一单位长度表示的意义一致，纵坐标从0开场画

代数局部

1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)统称有理数．无限不环循小

数叫做无理数．有理数和无理数统称为实数．

2、­绝对值：当a≥0­时，­丨a丨＝a；­当a≤0时，­­丨a丨＝－a．

3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个­近似数的

有效数字．

4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．

5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a+b)(a－b)=a2－b2．②(a±b)2=a2±2ab+b2；变式：

a2+b2=(a+b)2-2ab；(a－b)2=(a+b)2－4ab。③­(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3．④(a－b)(a2＋ab+b2)=a3－b3．

6、幂的运算性质：①am·an=am+n．②am÷an=am－n，(a≠0)．③(am)n=amn．④(ab)n=anbn．⑤a－n=1/an，

(a≠0)．⑥a0=1，(a≠0)．

7、二次根式：①(√a)2=a­，­(a≥0)，②­√a2=|a|，③­√a·√b=√(ab)，

8、一元二次方程的一般形式：a*2+b*+c=0,〔a≠0〕

①求根公式是*=[－b±√(b2-4ac)]/2a,(b2-4ac≥0)­，其中­△＝b2-4ac叫做根­的判别式．

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当­△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．

②假设方程有两个实数根*1和*2，则*1+*2=－b/a,*1·*2=c/a．

③以a和b为根的一­元二次方程是*2－(a+b)*+ab=0­．

9、一次函数y＝k*＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标．当k＞0时，y­随*的增

大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随*的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，

y＝k*­(k≠0)又叫做正比例函数(y与*成正比例)，图象必过原点．

10、反比例函数y＝­k/*­(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限，从

左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函

-

z.

数相反．

11、统计初步：〔1〕概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体

中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数

最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数

(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

〔2〕公式：设有n个数­*1，*2，…，*n­，则：

①平均数为：*=(*1+*2+……+*n)/n；

②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化围，用这种方法得到的差称为极

差，即：极差=最大值-最小值；

③方差：s2=1/n·[(*1－*)2+(*2－*)2+……+(*n－*)2]，其中*是平均数

标准差：方差的算术平方根.

一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

12、频率与概率：

〔1〕频率=频数/总数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小

长方形的面积为各组频率。

〔2〕概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P〔A〕≤1；

P〔必然事件〕=1；P〔不可能事件〕=0；

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法〔包括列表、画树状图〕计算简单事件发生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

13、锐角三角函数和解直角三角形：

①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，∠=90º，则∠A的正弦：sinA＝a/c，∠A的余弦：cosA＝b/c­­，∠A的

正切：tanA＝­a/b．并且sin2A＋cos2A＝1．0＜sinA＜1，­0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正

弦和正切值越大，余弦值反而越小．

②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，­cos(90º－A)＝sinA．

③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝1/2­­，sin45º＝cos45º＝√2/2­­，sin60º＝cos30º＝­√3/3

­，tan30º＝√3/3，tan45º＝1，tan60º­＝√3．

④斜坡的坡度：­i＝垂直距离：水平距离=1：m­．设坡角为α，则i＝tanα＝1：m­­．

14、平面直角坐标系中的有关知识：

〔1〕对称性：假设直角坐标系一点P〔a，b〕，则P关于*轴对称的点为P1〔a，－b〕，P关于y轴对称

的点为P2〔－a，b〕，关于原点对称的点为P3〔－a，－b〕.

〔2〕坐标平移：假设直角坐标系一点P〔a，b〕向左平移h个单位，坐标变为P〔a－h，b〕，向右平移h

个单位，坐标变为P〔a＋h，b〕；向上平移h个单位，坐标变为P〔a，b＋h〕，向下平移h个单位，坐

标变为P〔a，b－h〕.

15、二次函数的有关知识：

①、二次函数的解析式：〔1〕一般式：y=a*2+b*+c〔a≠0〕，

〔2〕顶点式：y=a〔*+h〕2+k〔a≠0〕，此时二次函数的顶点坐标为〔－h，k〕

〔3〕交点式：y=a〔*-*1〕〔*-*2〕其中*1、*2是二次函数与*轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的

对称轴为直线*=〔*1+*2〕/2；

②、二次函数的图象与性质：

〔1〕开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；当a<0时，函数开口方向向下.|a|越大,抛物线的开口越

小.

〔2〕对称轴：直线*=－b/2a；

当抛物线经过两点(*1,m)和(*2,m)(注意这两点的纵坐标一样),对称轴为直线*=〔*1+*2〕/2:

〔3〕顶点坐标：〔－b/2a，(4ac-b2)/4a〕；

〔4〕增减性：当a>0时，当时，y随着*的增大而减小；当*≥－b/2a时，y随着*的增大而增大；当a<0

-

z.

时，当*≤－b/2a时，y随着*的增大而增大；当*≥－b/2a时，y随着*的增大而减小.

〔5〕最大或最小值：当a>0时，函数有最小值，并且当*=－b/2a，y最小值=(4ac-b2)/4a；当a<0时，函

数有最大值，并且当*=－b/2a，y最大值=(4ac-b2)/4a

即：顶点的横坐标是取得最值时的自变量的值，而顶点的纵坐标是函数的最值的取值．

〔6〕图象与*轴的位置关系：

①当△=b2-4ac>0时，图象与*轴交于两点：A(*1,0)和B(*2,0)，其中的*1,*2是一元二次方程a*2+b*+c=0(a

≠0)的两根．这两点间的距离AB=|*1－*2|=√(*1－*2〕2=√△/|a|。

②当△=0时．图象与*轴只有一个交点：〔－b/2a,0〕,即此时抛物线的顶点在*轴上.

③当△＜0时．图象与*轴没有交点．当a＞0时，图象落在*轴的上方，*为任何实数时，都有y＞0；当a

＜0时，图象落在*轴的下方，*为任何实数时，都有y＜0．

〔7〕函数值的正、负性：假设*1、*2是一元二次方程a*2+b*+c=0〔a≠0〕的两根，且*1＜*2。当a＞0

时：则*＜*1或*＞*2时，y＞0；*1＜*＜*2时，y＜0；

当a＜0时：则*1＜*＜*2时，y＞0；*＜*1或*＞*2时，y＜0

〔8〕二次函数y=a*2+b*+c〔a≠0〕与y轴的交点坐标是〔0，c〕

〔9〕二次函数y=a*2+b*+c〔a≠0〕中a、b、c的符号判别：〔1〕a的符号判别由开口方向确定：当开

口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；〔2〕c的符号判别由与y轴的交点来确定：假设交点在*轴的上

方，则c＞0；假设交点在*轴的下方，则c＜0；假设图象经过原点，则c=0；〔3〕b的符号由对称轴来确

定〔口决：左同右异〕：对称轴在y轴的左侧，则a、b同号；假设对称轴在y轴的右侧，则a、b异号；

假设对称轴为y轴，则b=0

〔10〕a+b+c的符号和a－b+c符号确实定：当*=1时，假设y＞0则a+b+c＞0，假设y＝0则a+b+c＝0，

假设y＜0则a+b+c＜0；当*=－1时，假设y＞0则a－b+c＞0，假设y＝0则a－b+c＝0，假设y＜0则a

－b+c＜0。

〔11〕b2-4ac的符号看抛物线与*轴的交点个数：①两个交点时b2-4ac＞0；②一个交点〔二次函数的

顶点在*轴上〕时b2-4ac=0；③没有交点时b2-4ac＜0

〔12〕平移问题：先将抛物线解析式化成顶点式：y=a〔*+h〕2+k〔a≠0〕，左右移动：h加减；上下移动：

k加减；〔左加右减；上加下减〕

26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角〕

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等〔等角对等边〕

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°则它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于*条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于*直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于*直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称

-

z.

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，且c

为斜边。

48定理四边形的角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形角和定理n边形的角的和等于〔n-2〕×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半。

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过*一点，并且被这一点平分，则这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

79梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

80(1)比例的根本性质如果a:b=c:d,则ad=bc，如果ad=bc,则a:b=c:d

81(2)合比性质如果a／b=c／d,则(a±b)／b=(c±d)／d

82(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),则(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

83定理平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似

84相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似〔ASA〕

85直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

86判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似〔SAS〕

87判定定理3三边对应成比例，两三角形相似〔SSS〕

88定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

则这两个直角三角形相似

89性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

-

z.

90性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

91性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

92圆是到定点的距离等于定长的点的集合

93圆的部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

94圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

95同圆或等圆的半径相等

96到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

97和线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线

98到角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

99定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

100垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

101推论1①平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

102推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

103圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

104定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

105推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等则它们所对

应的其余各组量都相等

106圆心角的度­数等于它所对的弧的度数．

107圆周­角等于它所对的弧的度数的一半．

109定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

110推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

111推论2半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，直径是最长的弦．

112推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形

113定理圆的接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的对角

114①直线L和⊙O相交d＜r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d＞r

115切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

116切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

117推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

118推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

119切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹

角

120圆的外切四边形的两组对边的和相等

121三角形的心与外心：三角形的切圆的圆心叫做三角形的心．三角形的心就是三角角平分线的交点，

它到三角形三边的距离相等．三­角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线

的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．

122相交弦定理圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

123推论如果弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

124推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

125如果两个圆相切，则切点一定在连心线上

126①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆切d=R-r(R＞r)⑤两圆含0≤d＜R-r(R＞r)

-

z.

127定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

128几何公式：

〔1〕、多边形角和公式：n边形的角和等于(n－2)180º〔n≥3，n是正整数〕，外角和等于360º

〔2〕、平行四边形的面积=底×高

〔3〕、菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半

〔4〕、梯形的面积=〔上底＋下底〕×高=中位线×高

〔5〕、①Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c〔c为斜边〕，则它的切圆的半径­r=(a+b－c)/2；

②△ABC的三条边分别为：a、b、c，面积为S，其切圆的半径为r，则r=2s/(a+b+c)；

〔6〕、①Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c〔c为斜边〕，则它的外接圆的半径­R=(1/2)c；

②△ABC的三个角∠A、∠B、∠C所对的三条边分别为：a、b、c，则外接圆的半径为R，则

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；

〔7〕、弧长计算公式：l=nπR/180

〔8〕、扇形面积公式：S=nπr2/360=(1/2)lr