分析数学

引言

早就有一种想法：把一些非常好的数学书籍尽量全面地推荐给广大数学爱好者和吧友

们。这是由于以下原因：一是在我们高等数学吧不断有吧友发贴询问推荐一些（高等

）数学方面比较好的书籍，可能其中有部分是初学者，因而急需一些有经验的学长推

荐些好书，以便不走弯路。二来恰好笔者也有类似经历，初接触高等数学方面的书籍

时，也不知有啥好坏或者稂莠之别，后来在一些这些书的内容中了解到、在网上一些学

长的贴子中看到很多“经典”和比较“好”的教材、参考书、课外书籍等，于是在广泛查阅

、拜读之后，把我所看过的和所知道的一些很好的书目记录下来，提供朋友们参考。

希望能给大家有所帮助。

实际上所谓的“好书”和经典书，并不限于数学方面，其他学科方面的有，相信大家也看

过不少，这里只说数学方面的。以下结合本人经验和一些学长的见解，共写有二十一个

专题，每个专题都有该学科的简介或者是小结；相应的介绍书籍则是按【教材】、【习

题集】、【辅导书】、【提高】四个方面来写，而且每本书后有简评供参考。最后附录

介绍几个常用数学软件。

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注：1)打引号或书名号的课程名词被认为是指书籍或课程名，否则是指这一数学学科

类(领域)。

2)以下推荐的书籍一般不标注版本，因为随时有新版出版的可能，并且不一定新版就

比旧版的好一些，有时还不如旧版的。最好多结合几个版本来看（有三个以上版本的不

要看第一版，结合看最新版和倒数几个旧版），这样能学到更多。这是笔者的经验。如

果书后标有版本号的，一般是指比较好的版本。

3)关于出版社的问题，这个不必要过多追究，因为大部分书不会用一个以上的出版社

出版，况且不同出版社出版同一本书，只是版式和符号的样式不同而已，内容不会有别

。

4)书比较多，不可能每本(或者选取大多数自己喜欢的)都买，除非你非常有钱，或者是

个数学书籍收藏家。要知道，大学及其以上的教材、教参等都很贵，动辄每本二三十以

上，四五十的也不少。因此，“少而精”地买到正版的就行，其余的可以到大学图书馆借

阅(大部分我都是借阅的，我可买不起^-^)。

5)由于书籍很多，本人阅历也很有限，难以面面俱到，除了【教材】外以下只为《数

学分析》、《高等数学》、《高等代数》、《线性代数》、《解析几何》、《概率论》

、《常微分方程》提供【习题集】、【辅导书】和【提高】，而剩下课程的相关书籍只

是不完全含有以上版块

。大家可以根据相应课本寻找对应课后习题解析的参考书，或是配套的习题集即可。

一、“数学分析”

“数学分析”是数学或计算专业最重要的一门课，而且是今后数学专业大部分课程的基础

，经常从一个知识点就能引申出今后的一门课，同时它也是初学时比较难的一门课。这

里的“难”主要是指对数学分析思想和方法的不适应（高等数学上的方法与初等数学的方

法有很大不同），其实随着学习的深入，适应了方法后，会感觉一点一点地容易起来，

比如当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期(各个院校

应该一样吧)，学的时间也够长的~

本课程主要讲的是以集合为基础而发展起来的变量和函数中的数学规律、分析与计算

，是通往高等数学领域的基础工具之一。

这么多年来，国内外出现了很多非常优秀的教材和习题集以及辅导书，而且很多高校

一直使用着。

【教材】

国内比较好的有(仅列出主要的，排列不分先后，下同)：

1《数学分析》(共两册)华东师范大学数学系编著

这应该是师范类使用最多的书，课后习题编排的还不错，同时这也是考研用得比较多

的一本书。书的最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，不过还是值得一看

的。

2《数学分析新讲》(共三册)张筑生著

很好的书，内容和高度在国内算得上是比较突出的。值得一提的是，张老师文笔清晰

详细，证明深入浅出，通俗易懂。这个对初学者来说非常有帮助。

本书同时也被公认为是一本具有新观点的书，主要体现在一些经典问题处理方法上与

一般的书有所不同：本书比较强调一般化，融入了一些更高的观点，如泛函、点集拓扑

等。尤其精彩的是，这本书里面提供了一些问题讨论的专题附录，如Stolz定理、正交

曲线坐标系中的场论计算、二项式级数在收敛区间端点的敛散情况、布劳威尔不动点定

理、斯通－维尔斯特拉斯逼近定理及其证明，等等。本书书在证明过程中通过技术化处

理，降低了难度，容易被一般人理解。

遗憾的是书中没有课后习题，又由于书写的早，有的符号以现在的观点来看，不是很

标准(按照张老师本人的说法，北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂，所

以版面不是很好看)；另外感觉实数理论部分和含参数广义积分那章的内容写得不太全

面。不过整体上本书还是瑕不掩瑜的。

张老师多年来疾病缠身，写这本书也是呕心沥血，手稿前后写了差不多五遍。像这样

身患重病却为写书而兢兢业业地工作，其间所需要花费的精力可谓远非常人所能胜任的

，以至于他在书的后记中也引了'都云作者痴,谁解其中味'这句曹雪芹自叹的话。不愿看

到的是，张老师最终因劳累和疾病于02年去世。这也使得张老师重新修改此书的上述

缺点，完善后再出新版的愿望成为不可能，这不能不说是这本书的遗憾。

3《数学分析》(共两册)李成章，黄玉民编

作者是南开大学数学系老师，本书也是“南开大学数学教学丛书”里的“数学分析”分册，

其深度与《数学分析新讲》类似，每章中附有丰富的习题。还好本书关于实数完备性那

几个公理的关系写的比较全面，多元微积分学和含参数广义积分写的也相当详细（这也

正好补上了《新讲》的不足^_^），不过感觉级数部分还是写得不是很详细。

书里面有一些提高性的内容，可以看看。

4《数学分析》(第3版)欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋著

普通高等教育“十一五”国家级规划教材。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个

别地方讲的比较难懂，据说是用物理的观点写的，而且有的地方确实如果不听老师讲，

你不知道它在说什么。虽然如此，许多大学都还是把它作为教材或研究生入学考试的指

定用书。可以说，它是一本优点与缺点一样突出的老教科书。

5《数学分析》(共两册)陈纪修，於崇华,金路著

考研常用指定教材。

6《数学分析教程》(共两册)常庚哲，史济怀著

里面有插值与逼近初步内容，因此相对来说更适合信息与计算专业的学生。

7《数学分析》(共三册)徐森林，金亚东，薛春华

感觉很清晰，不罗嗦。另外，书的符号系统和版面相当不错。

8《高等数学引论》(共四卷)华罗庚著

别看是“引论”，以为讲的东西似乎不是什么重要的，其实这套书(也没有完成最初的计

划)的原稿是六十年代初华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时的讲义。那时候

他们是一个教授负责一届学生的教学(另外两位负责过一届学生的是关肇直和吴文俊)，

所以华先生的这本书里面涉及有很多方面的知识的。也是出于一种尝试吧,华先生这书

里面有一些不属于传统教学内容的东西，还包括一些应用，可以一读。作为教科书来说

，内容多了，因此最好作为课外兴趣阅读。

其中前三卷（册）属于数学分析的所有内容，第四卷（册）主要介绍代数矩阵论的基

本理论及其应用。

国外经典教材有：

9《微积分学教程》(共三卷)，《数学分析原理》(共两卷)菲赫金哥尔茨著

不用多说，几乎每个对数学稍微了解一些的人都知道它的大名。书中很少涉及现在流

行的集合论的观点，但对初学者而言毫无影响，甚至使一些概念更清晰了。书的内容也

相当的翔实，每本书很厚(因此也很贵，记得好像每本五十多RMB)，字号又不大。由于

我们从小是学习欧美符号系统的，不习惯苏联的一套符号系统，看这本书还是很麻烦，

并且还很贵，个人建议作为参考书来使用。其实连作者本人(莫斯科大学的教授,门下弟

子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)都承认不太合适作为教

材,为此他才给出了适合做教材的后一套书,这是一个精简的版本(有所补充的是在书的最

后给出了一个后续课程的简介)。

毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)的

最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以

与之相比了.

10《数学分析原理》Rudin著

这本书很难，包括了基础拓扑结构，微分形式的积分等，而且作者假设很多东西你都

可以看懂，所以写得很简洁，对于没有一定基础的大一新生来说，很难读懂书中所讲。

不过可以拿它来当一本不错的《数学分析》参考，也可作为数学分析的提高用书。

11《数学分析》(共两卷)卓里奇著

与常见的数学分析教科书相比，本书的内容比较新颖，系统地引进了现代数学（包括

泛函分析、拓扑学和现代微分几何等）的基本概念、思想和方法，有关应用的内容也更

加贴近现代自然科学。感觉还是喜欢9和10。

12《数学分析讲义》阿黑波夫，萨多夫尼奇，丘巴里阔夫著

内容与传统教科书编排顺序不同，单本的，不厚，但内容能够满足传统教学需求。书

中附有用于讨论和示范性问题和习题。

13《数学分析》(共两卷)Zorich著

经典英文数学教材系列之一，难度较大。

14《数学分析》Apostol(阿波斯托尔)著

本书是一部现代数学名著，内容涵盖了初等微积分以及实变函数论和复变函数论等内

容。自20世纪70年代面世以来，该书一直受到西方学术界、教育界的广泛推崇，并被

许多知名大学指定为教材。

15《微积分和数学分析引论》(共两卷)库朗，约翰著

又一本美国的经典数学分析书，每卷都有几个分册，内容还是很丰富的。有人认为书

中的一些观点现在已经不流行了，但是从“数学分析”作为数学相关专业的一门基础课的

方面来说，本书还是应该认真看看的。

【习题集】

16《吉米多维奇数学分析习题集》吉米多维奇著。

还没有做就早闻其名的书，一看之后，确实不负其名望。应该说，这是本学分析的人

都要做的习题集。不过题目有几千道，而且其中计算题又占绝大多数，正好而且现在市

面上有各种精选本，所以大家可以做一些精选本。但大家千万要自己做，不要浮躁，不

然你什么也学不到。

17《数学分析习题课教材》第一版或《数学分析解题指南》第2版林源渠,方企勤著

两本书一样的。第一版网上有电子版。后一本书在每一节中，设有内容提要、典型例

题分析，以及供学生自己做的练习题等部分，书末附有答案，对证明题的大部分给出了

提示或解答。本书许多题给出了多种多样解法，某些解法是吸取学生试卷中的想法演变

而得的，特别是毕业于北京大学数学系的、国内外知名的当今青年数学家们在学生阶段

的习题课上和各种测验中表现出来的睿智给本书增添了不可多得的精彩。本书的另外一

大特色是：辅导怎样“答”题的同时，还通过“敲条件，举反例”等方式引导学生如何“问”问

题，就是如何给自己“提问题”。

18《数学分析中的典型问题与方法》第2版裴礼文著

据说本书是为数学系考研量身订做的书。书中搜集了不少考研和竞赛试题，题型丰富

、知识面广、难度较大，因此对思维要求较高，适合报考偏重理论的学校（如北大、南

开等等）的同学使用。第二版有1000多页，比之第一版，更新了一些试题，提示也更

详细了。总的来说，性价比非常高。

19《数学分析习题集》林源渠，方企勤等

这本书和16的两本成成一套。算是很老的书。

【辅导书】

20《数学分析八讲》辛钦著

大师著作，多的不说，值得看！

21《数学分析：定理·问题·方法》胡适耕，姚云飞著

强烈推荐这本既可作为教材又可作为辅导书的好书。本书的重点放在特别富有启发性

的问题与方法上：结合800多道例题来说明节前的概要总结所指出的方法和技巧，你能

从中学到很多。

22《数学分析原理与方法》胡适耕，张显文著

模式跟上一本书一样，看问题很独到。同样既可作为教材又可作为辅导书。很喜欢老

胡的风格。

23《数学分析的理论、方法与技巧》邓乐斌编

重点推荐。

24《在南开大学的演讲·微积分》陈省身著

很早的东西了~网上下载得到，不过以上那个名字我也不太确定，反正有好几种叫法

。据说好像网络上流传的版本少了一些内容？不知道少的是不是陈老的《微分几何讲义

》。

25《数学分析内容、方法与技巧》孙清华,孙昊著

还行，该说到的题型都说到了。

26《数学分析习题课讲义》(上下两册)谢惠民等编

这是一位学长的评价：

这本书有些相见恨晚的感觉，其难度与于裴礼文的书相当，甚至过之，而且习题很有

代表性。它适合那些挑战北大、南开等名校的考生，就08年北大数分试题难度看，不

超过此书的课后习题。本书对于诸位数分高手也是个强有力的挑战！

当然，这本书也有点“问题”。那就是课后习题没答案，只有提示（部分习题）。

【提高】

27《数学分析的方法及例题选讲:分析学的思想、方法与技巧》徐利治著

能学到不少通常辅导书上没有的好方法的书。这本书里面涵盖了少量非数学分析的内

容，如不等式、组合学等。并且内容比较深刻，都是分析学里面一些基本问题的深入探

讨，每个问题都是定理的形式陈列的，不过没有详细地证明。

顺便提一下，徐教授的书，大多比较好，像《组合学讲义》就不错，书中是用现代集

合的观点来写的。

28《数学分析中的问题和定理》(波利亚),(舍贵)著

该书的内容非常丰富，在学习数学分析的阶段,可看第一卷的前面一半,后面就全是复变

的东西了。在历史上，这是一套曾经使好几代数学家都受益匪浅的经典著作。这套书的

另一个好处就是题目难归难,后面还是有答案或提示的.

29《数学分析问题研究与评注》汪林等编著

这本书很老了，可以到图书馆借。本书主要是作者的一些研究成果和思考总结，比较

典型和有代表性，要想在扎实的基础上更深一步，一定要看一看本书。类似的还有一本

《数学分析拾遗》赵显曾著。

30《现代分析基础》狄多涅著

这是一套二十世纪的大家们写的一整套教材的第一卷,用的术语相当'高深'，可能等以后

学了实变、泛函再回过头来看感觉会更好一些。

31《高等微积分》丘成桐主编

内容主要是流形上的微积分，不仅是介绍高维上的微积分，还有场里面的几个基本公

式的统一表示公式，让你从一种高的观点来“俯视”通常的微积分学。

这本书是邱先生为中国介绍翻译国外精品著作而主编的“数学翻译系列丛书”中的一部。

其他的还有《基础偏微分方程》、《分析学》、《有限群的线性表示》、《Markov过

程导论》等。

这些书的观点都比较高，书也很厚，但是不用担心，这里有个好处就是，西方的教科

书一般注重实用和理解，所以书中会有很多例子（包括图形和特例）一步一步引出相关

定理，而不是像中国的教科书，一下子就把定理（结论）都拿出来，学生难以记忆和理

解推导过程。这也是国外（像美国）大学课本书比较厚的原因吧。

二、“高等数学”

将《数学分析》中较难的一部分去再加上常微分方一些最简单的内容就是中国非数学

专业的《高等数学》，或者叫“数学一·高数部分”。这里的“高等数学”不是指相对于初等

数学的一个学科类的分级，而是大学的一门课程。许多人容易误认为“高等数学”就是高

等数学（即相对于初等数学来说的高深的数学领域，涵盖的内容包括分析、代数、高几

、拓扑等各个方面）。

其实很多院校都是用自己学校的教材，我感觉都差不多，内容上只是例题大多一样（

都是一些经典的老例题嘛），习题不完全一样而已，所以用什么课本都无关紧要。不过

要注意的是，知识点不能少，符号系统要规范（便于初学者学）就行。

主要是国内的书籍。国外的多重应用，理论讲的并不多。

【教材】

32《高等数学》同济大学应用数学系

都说同济版的好，看过之后觉得跟其他的教材差不多，没传说中的那么好。其实用自

己学校的教材就行。

33鉴于很多高等数学吧吧友询问一些书籍，这里特别说一下：

对于想学高等数学的初学者，这里给出自学高数的建议(不包括线性代数)：在有了高中

数学基础之后可以按顺序看看上海交大的《微积分》、《微积分之倚天剑》和《微积分

之屠龙刀》，进一步可以看看《托马斯微积分》(很厚啊)。之后可以考虑看数分了。水

平很高之后再看龚升的《微积分五讲》和齐民友的《重温微积分》。这时，主要是注重

概念的深入以及高观点下对微积分的重新审视(可以说是“全局观”吧)，不涉及解题技巧

方面的东西。

如果同时想学线性代数的，可以依次看看[65][67][54][56]。

【习题集】

这个没有什么好说的，大多是一些辅导书后面的习题或者直接做“数学分析”的【辅导书

】、【习题集】中能做的部分。

34《高等数学例题与习题集.一,一元微积分》、《高等数学例题与习题集.二,多元微积

分》

И.И.利亚什科等编著

这些书属于俄罗斯经典习题丛书系列。里面有各种题型及解题技巧。建议把全套（一

、二、三、四共四本，原来是五本的，微积分相关的那三本被整合成以上两本。剩余的

两本见下文）读完。

【辅导书】

35《考研数学精编综合复习指南.理工类》余长安编著或

《数学分析的理论、方法与技巧》邓乐斌著

前者很详尽，题型、技巧、方法面面俱到；后者作为《数学分析》的辅导书也不错。

36《高等数学中的若干问题解析》舒阳春编著

建议看一看。

37《高等数学学习与提高指南:考研必读》陈鼎兴,姚奎编著

很好的辅导书。

38《高等数学内容、方法与技巧》(上下册)孙清华,郑小姣著

这个系列的辅导丛书都很好。

39《微积分五讲》龚升著

作者另有《线性代数五讲》一书，与上书均为“中国科学技术大学数学教学丛书”之一。

本书主要是从现代数学以及矛盾的观点来重新审视与认识微积分，讲述了微积分的来

源、微积分的三个发展阶段、微积分严格化后地走向、微积分的主要矛盾等。尤其是用

外微分形式的观点来说清楚高维空间上微积分的主要矛盾，从而梳理微积分中的定理与

公式。作为课外书看看就行。

P.S.看看上面“数学分析”中介绍的【辅导书】[20]至[22]，都是很不错的。

【提高】

40《大学生数学竞赛试题研究生入学考试难题解析选编》李心灿等编

不多说。

41《无穷级数与连分数》高建福著

可以学到级数相关的进阶知识，包括渐进展开、特殊可和性等方面。

42《项武义基础数学讲义·单元微积分学》《项武义基础数学讲义·多元微积分学》

项武义的书，应该看。

剩余可以参考“数学分析”部分写的一些书。

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