任意角和弧度制

1

1.1任意角与弧度制

知识梳理:

一、任意角和弧度制

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置

OB，就形成了角，记作：角或可以简记成。

2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正

角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，

角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则

此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、（1）A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限的角｝，则A∩B=（填序号）.

①｛小于90°的角｝②｛0°～90°的角｝

③｛第一象限的角｝④以上都不对

（2）已知A=｛第一象限角｝，B=｛锐角｝，C=｛小于90°的角｝，那么

A、B、C关系是（）

A．B=A∩CB．B∪C=CC．ACD．A=B=C

4、常用的角的集合表示方法

1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k（kZ）个周角的和。（2）所

有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

k360,kZ

2

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和

1、kZ2、是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数

个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若角的终边与8角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相54同的角

为。

（2）若和是终边相同的角。那么在

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：

（1）210；（2）148437．

例3、求，使与900角的终边相同，且180，1260

2、终边在坐标轴上的点：

终边在x轴上的角的集合：|k180,kZ

终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ

终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ

3、终边共线且反向的角：

终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ

终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ

4、终边互相对称的角：

若角与角

的终边关于x轴对称，则角

与角的关系：

360k

若角与角

的终边关于y轴对称，

则角与角的关系：

360k180

若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：

180k

角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k

90

（k,mZ）则角与角的中变得位置关

例1、若k360

3

m360

4

系是（）

A.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.有关于y轴对称二、弧度与弧度制

1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制，它的单位是rad读作弧度长度等

于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2、角的弧度数的绝对值l（l为弧长，r为半径）

r

3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度

制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角

度与弧度的互换关系：∵360=rad180=rad

180

∴1=rad0.01745rad1rad57.305718'

180

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零

例1、把6730'化成弧度例例2、

3

把3rad化成度

5

例3、将下列各角从弧度化成角度

（1）rad（2）2.1rad3

（3）rad

365

3、弧长公式和扇形面积公式

11

2

lr；S

lRr

22

定义：

如图：

注意：

13、

5

练习题

一、选择题

1、下列角中终边与330°相同的角是()

A．30°B．-30°C．630°D．-630°

2、把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是()

A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°

3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：()

A．

｛

α∣90°<α<180°}

B

．｛

α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·

180°

，k∈Z}

C

．｛

α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，

k∈Z

}

D

．｛

α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，

k∈Z

}

)

4、下列命题是真命题的是(

Α．三角形的内角必是一、二象限内的

角

B．第一象限的角必是锐角

C．不相等的角终边一定不同

5、

6、

7、

D．

已知

|k360

A=｛第一象限角

A．

在“①160°②480°

A.①

B=A∩CB

90,kZ=|

k18090,k

｝，B=｛锐角｝，C=｛小于90°的角｝，那么

．B∪C=C

③-960°④-1600

B.①②

若α是第一象限的角，则

是(

2

A、B、C关系是

C．ACD．A=B=C°”这四个角中，属于第

二象限的角是()C.①②③D.①②③④

A.第一象限的角

C.第二或第三象限的角

下列结论中正确的是()

A.小于90°的角是锐角

C.相等的角终边一定相

同集合A=｛α｜α

=k·90°

A.x轴的正半轴上

C.x轴或y轴上10、α

是一个任意角，则α与

A.关于坐标原点对称

11、集合X=｛x｜

B.第一或第四象限的

角

D.第二或第四象限的

8、

9、

B.第二象限的角是钝角

D.终边相同的角一定相等

,k∈N+｝中各角的终边都在()

B.y轴的正半轴上

D.x轴的正半轴或y轴的正半轴上

-α的终边是()

B.关于x轴对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称

180

,n∈Z｝，与集合

Y={y｜y=(4k±1)·180°,k∈Z}之间的关

13、

6

A.X?Y

B.XùY

C.Ｘ=YD.X≠Y

设α、β满足-

180°<α<β<180°，则α-β的范围是()

A.-360°<α-β<0°

B.-180°

<α-β<180°

C.-180°<α-β<0°

D.-360°

<α-β<360°

下列命题中的真命题是()

A．三角形的内角是第一象限角或第二

象限角

12

、

7

B．第一象限的角是锐角

C．第二象限的角比第一象限的角大

3

,

7

0

,

0

A．2

B．

sin1

C．2sin1D．sin2

16、设角的终边上一点

P的坐标是(cos

,sin)，则

55

等于()

A．B．cot

55

3

C．2k

(kZ)D．2k

9

(kZ)

105

17、若90°<－α<180°，则180°－α与α的终边

A．关于x轴对称B．关于y轴对称

C．关于原点对称D．以上都不对

k

18、设集合M={α|α=

，

k∈Z｝，

N={α|－π<α<π｝，则M∩N等于

374

A．{－,}

B．｛－,}

,

3

,

7

,

4

C．{－

15、已知弧度数

为

2的圆心角所对的弦长也

是

则这个圆心角所对的弧长

是

2

，

D．

角α是第四象限角的充要条件是

2kπ－<α<2kπ(k∈Z)

2

14、设

A．

C．

k∈Z，下列终边相同的角

是

(2k+1)·

k·180°

180°与(4k±1)·180°

+30°与k·360°±30°

B．

D．

(

k·90°与k·180°+90°

k·180°+60°与k·60°

8

21、设集合M={α|α=kπ±，k∈Z}，N={α|α=kπ+（－1）k，k∈Z}那么下列结论中正确的是

（）A．M=NB．MNC．NMD．MN且NM

二、填空题

22、若角α是第三象限角，则角的终边在.

2

23、与－1050°终边相同的最小正角是.

24、已知是第二象限角，且|2|4,则的范围是.

任意角的三角函数练习题

一、选择题

1.设角属于第二象限，且

cos

2

cos2，则

2

角属于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1

19、“sinA”“A=30o”的

2

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

20、中心角为60°的扇形，它的弧长为2

（）

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

，则它的内切圆半径为（）

2

9

其中正确的是

3．若角α的终边在直线y＝－x上，则sin

2

1sin

2

4．使tanx－1有意义的x的集合为sinx

α4α

5．已知α是第二象限的角，且cos2＝－5，则2是第

2.给出下列各函数值：

①sin(10000)；②cos(22000)；③tan(10)

7

sin

④

cos

10

17

tan

9

其中符号为负的有(

A.①B.②

C.

D.④

3.

sin21200

等于

4.

5．

A.3

2

已知sin

4

A.

3

5π

若θ∈(4

B.

C.

1

D.

2

4，

5

，

并且是第二象限的角，

那么tan的值等于(

B.

C.3

4D.

3π

，2

则1－2sinθcosθ等于

θ－sinθ

θ－cosθ

1

6．若tanθ＝3，则cos2θ＋sinθcosθ的值是

6

A.－6

5

4

B.－4

5

二、填空题

1.设分别是第二、三、四象限角，则点P(sin

2.设MP和OM

17

分别是角17的正弦线和余弦线，

18

①MPOM

θ＋cosθ

D.－cosθ－sinθ

4

C.4

5

6

D.6

5

,cos)分别在第

则给出的以下不等式：

0；②OM0MP；③OMMP0；④MP0

象限.

OM，

2

1cos

cos

象限的角.

10

三、解答题

1.

已知tan1

，是关于x的方程x2kxk230的两个实根，且3

7

tan

2

求

cossin

的值.

2.设cosθ＝m

m

＋

n

n（m>n>0），求θ的其他三角函数值

1＋2sinθcosθ1＋tanθ

3．证明(1)22＝

cos2θ－sin2θ1－tanθ

(2)tan

2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ

4.已知sinxcosxm,(m2,且m1)，

求(1)sin3xcos3x；(2)sin4xcos4x的值.