圆的一般方程

《圆的一般方程》教学设计（1课时）一、教材分析

教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨

论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方

程，这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学

生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。

并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。

教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：例4则是利用待定

系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。

二、学情分析

学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的标准方

22解决程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程0FDxxEyy22，

灵活使用圆的方程的两种形式解决问题时，常忽略表示圆的条件04DEF问题

是学生学习的难点。

三、本节渗透的数学思想及教学方法分析

根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学

思想，分析与讨论结合。

1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习

过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。

2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件（坐标）才能确定圆，树立利

用方程的思想求解参数变量。

3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优

缺点。

4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。

四.教学目标

知识与技能：

1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点

2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径

3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程

过程与方法：

1).通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般

的化归思想。

2).通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考

能力。

情感态度与价值观：

培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识，在体现数学美的过程中激发学

生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。

五.教学重、难点

教学重点：

22的形式特征。1.圆的一般方程0FyDxxEy2.待定系数法求圆的方程。

教学难点：

2222分类讨论。及对1.方程FDE40EyyFDxx2.根据具体条件，选择圆的

方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。

难点突破：

22的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学通过对F4DE显

得轻松易学。

六．学法分析

在教学活动中，教师提出疑问，引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积

极的学习中解决问题，获得知识。贯穿“疑问”—“思索”—“发现”—“解惑”

四个学习环节。

七．教学过程设计

（一）创设情境，引发思考，引入新知

问题1：A.B两镇相距10km，为了响应党的号召,丰富人民的文化生活,现在两镇

之间修建一个文化广场,为方便大部分群众,现要求广场到两镇之间距离的平方

和为60,那么广场应修建在何处?

分析：仅仅依据问题中的几个数据无法表示距离，若将这个问题放在直角坐

标系x轴，以AB的中点为坐标中来考虑，就能很快表示出距离，以AB两镇所在

的直线为原点建立直角坐标系，则，设为广场所在的位置，则有)yP(x,0B5A(,0),(5,)

1

222222。，化简得你能说明这是一个什么方程吗？5yx5(x)y(x5)y60广场应建在

什么位置？

设计意图：以生活中的实例提出问题，激发学生的学习兴趣，并借此复习学

生已经掌握的圆的标准方程，并为圆方程改写成二元二次方程的形式引出圆的一

般方程做铺垫。

222的展开式是什么？：：问题2圆的标准方程r(y-b)(x-a)22222

0by--2ax-2byaxr222+bD=-2a，E=-2b,F=a-r由于a,b,r

均为常数，故设此方程可写成下面的形式：

22①0yFDxEyx故任何一个圆的方程都可以用上式表示。

思考：形如①的方程表示的曲线一定是圆吗？

设计意图：在问题1的基础上由圆的标准方程展开问题引发概念，给学生思考、

探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。

（二）深入思考，得出结论

如果形如①的方程表示的曲线是圆，那么由方程可求出圆心和半径。下面我们配

224DFEDE22(x)(y)②方整理可得：224224FEDED22222)x)(y(的形式

+(y-b)=r与比较圆的标准方程(x-a)42222的正负有关。上式表不表示圆，关

键跟FD4EDE1222204DFE4E)RDF,(为半以为圆心，时，当1）表示以222

径的圆。DE22FDE4yx即表示一个点）当2=0时，方程只有实数解，

22ED。)(,22224FE0D时，方程没有实数解，因而不表示任何图形。）当3

2

22表示的曲线不一定述，方程是圆，只有当综上所0FyDxEyx2222叫圆的一

般时，它表示的曲线才是圆，此时04DFE0FDxEyxyDE122为半径的圆。

方程。表示以为圆心，FE)4R(D,222

设计意图：通过本过程，学生实现了对圆的方程更深的理解，实现了对圆的一般

方程的理解。引导学生理解圆的一般方程的意义，真正知道什么情况下表示圆，

并理解为什么。

（三）两相对比，加深理解

222明确指出了圆心和半径。=r+(y-b)标准方程：(x-a)22突出了形式上的特点一

般方程：0FyDxxEy22的系数相同，且不等于0和。1．xy2．没有xy这样

的二次项。

223.04DFE

设计意图：通过比较，不仅复习了以前的知识，增强了记忆。对今天的新课也有

了更深层次的理解。

（四）知识运用，巩固概念

例1．判别下列方程表示什么图形,如果是圆,找出圆心和半径。

22-2x+4y+1=0x+y（1）22+2by=0（b≠0）x（2）+y224x6yy30x相同的圆的方

程。，且圆心与已知圆例2．求过点),1M(1方法一：利用配方法将其变成

圆的标准形式，求出圆心后再求半径。

方法二：利用圆的一般方程方程形式求解，由于所求圆与已知圆是同心圆，故可

224x6yFxy0，然后将M点代入，利用待定系数法求F设所求圆的方程为：。

设计意图：本题较简单，学生独立求解，然后教师点评。设计目的是让学生应用

新知，巩固知识，强调圆的标准方程与一般方程方程的相互转化及二元二次方程

3

22表示圆的条件。同时也增强学生自信，提高兴趣。0EyxyFDx

例3．求过三点O(0,0),M(1,1),M(4,2),的圆的方程，并指出圆心和半径。21

设计意图：让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导，总结出用待定系数

法求圆的一般方程的步骤。通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。

注：用待定系数法求圆的方程的步骤：

（1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；（圆的一般方程与圆的标准方

程在运用上的比较，(1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较

简单.

(2)若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解）

（2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

（3）解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程。

（五）反馈练习，强化概念

教材80页，练习1、（2）（4）2.

（六）课堂小节，形成体系

从知识与方法两个方面进行归纳。（学生先归纳总结，教师补充强调）

22，其,其表达式为1．本节课的主要内容是圆的一般方程0FDxxEyy特点

是：

22的系数相同，且不等于0。1）和（xy（2）没有xy这样的二次项

22）（30FED4DE122为半径的圆。表示以为圆心，

FR(D4,)E2222．圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较

（1）若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

（2）若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.

3.本节课用的数学思想方法：

（1）通过特殊认识一般的思想方法。

4

（2）配方法(求圆心和半径).待定系数法(求圆的一般方程)

（3）问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复,不遗漏)

六．作业布置：

教材85页A组1、2

七．板书设计：

八、课后练习、巩固新知

一基础题

22的圆心坐标和半径分别为．1．圆04x3y6yx

22表示的图形是圆，则的取值范围是2．若方程．05mxy2x4mym

2222的圆心在直．若圆线上，则、3)4FDxEy(DEx0y0yx0DF、的关系

有．FE22的圆心是，是坐标原

点，则4．已知圆．044xxy||POOP22的圆

心相同的圆的方：5．过点且与已知圆034yy2xxC)1，1M(程是。

222b02byy2xx上的点关于直线对称，则6．若圆．b0xy7．过三，，

的圆的方程是．)1，1)N(42，，O(00)M(二提

高题

8．求过三点，，的圆的方程．)25)6C(，1A(，5)5B(，

222x2y1xy0关于直线9．求圆对称的圆的方程．0xy3

5

三能力题

1，那么点的距离之比为，的坐标10．已知点与两个顶点)3，(0，0)0A(M(x，

y)OM2满足什么关系？画出满足条件的点所形成的曲线．M

九、教学后记本节课采用“问题探讨教学”和“自主探究式教学”相结合，志

在体现学生学习“通过特殊认识一般”教学中突出数学思想方法的渗透，引导学

生运用了的主体地位，的思想方法探究新知，利用“待定系数法”与“配方法”

进行圆的一般方程与标准方程的转化，借助“数形结合”的思想分析问题，解决

问题。教学最后让学生从知识与巩固所学新知的好习惯，系统总结，方法两个方

面进行归纳小结，培养学生及时梳理，课后练习的完成使学生进一步巩固新知，

加强了对本节知识的进一步认识与运用。22对方对程及本外，学生在学习节知

识时，在另0FxyDxEy22分类讨论及利用“配方法”确定圆的标准方程上存

在困难，在今后教学FDE4中应加强使学生训练与提高。

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