因式分解练习题

因式分解精选练习

一分解因式

1.2x4y2－4x3y2＋10xy4。

2.5xn+1－15xn＋60xn－1。

3.

431241abab

4.(a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y2

5.x4-1

6.－ａ2－b2＋2ab＋４分解因式。

7.

134xxx

8.

4222

23612yyyyxyyx

9.

4222

23612yxyxyxxyxx

10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

11.x2-2x-8

12．3x2+5x-2

13.(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

14.(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

15．把多项式3x2+11x+10分解因式。

16.把多项式5x2―6xy―8y2

分解因式。

二证明题

17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。

18.设

n

为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：

21278nn

是57的倍数.

19.求证：无论x、y为何值，

3530912422yyxx

的值恒为正。

20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。

三求值。

21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值.

22．已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，

并求出它的其它因式。

因式分解精选练习答案

一分解因式

1.解：原式=2xy2·x3－2xy2·2x2＋2xy2·5y2

=2xy2(x3－2x2＋5y2)。

提示：先确定公因式，找各项系数的最大公约数2；各项相同字母的最低次幂xy2

，即公因

式2xy2

，再把各项的公因式提到括号外面，把多项式写成因式的积。

2.提示：在公因式中相同字母x的最低次幂是xn-1

，提公因式时xn+1

提取xn-1

后为x2，

xn

提取xn--1

后为x。

解：原式=5xn--1·x2－5xn--1·3x＋5xn--1·12

=5xn--1(x2－3x＋12)

3.解：原式=3a(b-1)(1-8a3)

=3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)

提示：立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

所以，1-8a3=(1-2a)(1+2a+4a2)

4.解：原式=[(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2

=(ax+bx-ay+by)2

提示：将（a+b）x和（a-b）y视为一个整体。

5.解：原式=(x2+1)(x2-1)

=(x2+1)(x+1)(x-1)

提示：许多同学分解到(x2+1)(x2-1)就不再分解了，因式分解必须分解到不能再分

解为止。

6.解：原式＝－（a2－2ab＋b2－４）

＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）

提示：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。但也不

能见负号就先“提”，要对全题进行分析.防止出现诸如－９x2＋４y２

＝（－3x）

２－（2y）2

＝（－３ｘ＋２ｙ）（－３ｘ－２ｙ）＝（３ｘ－２ｙ）（３ｘ＋２ｙ）的

错误。

7.解：原式=x4-x3-(x-1)

=x3(x-1)-(x-1)

=(x-1)(x3-1)

=(x-1)2(x2+x+1)

提示：通常四项或者以上的因式分解，分组分的要合适，否则无法分解。另外，本题的结果

不可写成(x-1)(x-1)(x2+x+1),能写成乘方的形式的，一定要写成乘方的形式。

*使用了立方差公式，x3-1=(x-1)(x2+x+1)

8.解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y4

=y2(x+y-6)2-y4

=y2[(x+y-6)2-y2]

=y2(x+y-6+y)(x+y-6-y)

=y2(x+2y-6)(x-6)

9.解：原式=(x+y)2(x2-12x+36)-(x+y)4

=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]

=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)

=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)

=-(x+y)2(2x+y-6)(y+6)

10.解：原式=（a2+b2+2ab）+2bc+2ac+c2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=(a+b+c)2

提示：*将(a+b)视为1个整体。

11.解：原式=x2-2x+1-1-8*

=(x-1)2-32

=(x-1+3)(x-1-3)

=(x+2)(x-4)

提示：本题用了配方法，将x2-2x加上1个“1”又减了一个“1”，从而构成完全平方式。

12．解：原式=3(x2+

5

3x)-2

=3(x2+

5

3x+

25

36-

25

36)-2*

=3(x+

5

6)2-3×

25

36-2

=3(x+

5

6)2-

49

12

=3[(x+

5

6)2-

49

36]

=3(x+

5

6+

7

6)(x+

5

6-

7

6)

=3(x+2)(x-

1

3)

=(x+2)(3x-1)

提示：*这步很重要，根据完全平方式的结构配出来的。对于任意二次三项式ax2+bx+c(a≠

0)可配成a(x+2

b

a)2+

24

4

acb

a



.

13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=(x

2

+5x+4)(x

2

+5x+6)+1

令x2

+5x=a,则原式=(a+4)(a+6)+1

=a

2+10a+25

=(a+5)2

=(x2+5x+5)

提示：把x2

+5x看成一个整体。

14.解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

=(x2

+5x+6)(x2

+5x+4)-120

令x2

+5x=m,代入上式,得

原式=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96

=(m+16)(m-6)=(x2

+5x+16)(x2

+5x-6)=(x2

+5x+16)(x+6)(x-1)

提示：把x2

+5x看成一个整体。

15．解：原式＝(x+2)(3x+5)

提示：把二次项3x2

分解成x与3x（二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10

＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x=x×5+3x×2。

说明：十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1

的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。分解时，把二次项、常数项

分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。需要注意的是:⑴如果常

数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，

则应同负号。⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，

绝对值大的与一次项的符号相同（若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是

正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号）。

axc

二次项常数项

bxd

adx+bcx=(ad+bc)x一次项

abx2

+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)

16.解：原式＝(x－2y)(5x＋4y)

x－2y

5x4y

－6xy

二证明题

17．证明：原式=31998(32－4×3＋10)=31998×7，

∴能被7整除。

18.证明：

21278nn

=8（82n-7n）+8×7n+7n+2

=8（82n-7n）+7n(49+8)

=8（82n-7n）+57



7n

21278nn

是57的倍数.

19.证明：

3530912422yyxx

=4x2

-12x+9+9y2

+30y+25+1

=(2x-3)

2

+(3y+5)

2

+1

≥1.

20.解：∵x

2

+y

2

-4x+6y+13=0

∴x

2

-4x+4+y

2

+6y+9=0

(x-2)

2

+(y+3)

2

=0

(x-2)

2

≥0,(y+3)

2

≥0.

x-2=0且y+3=0

x=2,y=-3

三求值。

21.解：∵a-b=8

∴a=8+b

又ab+c2+16=0

即∴（b+8）b+c

2

+16=0

即(b+4)2+c

2

=0

又因为，(b+4)

2

≥0，C

2

≥0,

∴b+4=0,c=0,

b=-4,c=0,a=b+8=4

∴a+b+c=0.

22．解：设它的另一个因式是x

2

+px+6,则

X

4

-6x

3

+mx

2

+nx+36

=(x

2

+px+6)(x

2

+3x+6)

=x

4

+(p+3)x

3

+(3p+12)x

2

+(6p+18)x+36

比较两边的系数得以下方程组：

36

312

618

p

pm

pn

















解得

9

15

36

p

m

n















