打猎记

有理数

一、导入：

师:同学们小学都学过哪些数?

生:整数、小数、分数、奇数、偶数……

师:原始社会,从打猎记数开始,首先出现自然数,经过漫长岁月,人们用数“0”表示没有,

随着人类的不断进步,在丈量土地进行分配时,又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分

数.那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢?这节课，我们

在小学学习的基础上,进一步学习有理数,并利用有理数的知识解决实际问题。

二、新课：同学们,生活中处处有数学,下面我们一起探究实际问题与数学的联系吧!

1．首先大家来看PPT，某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一题加1分,答错一题扣1分,

不回答得0分;每个队的基本分均为0分.两个队答题情况如下表:

如果答对题所得的分数用正数表示,那么你能写出每个队答题得分的情况吗?并试完成下表，

同学们先自行思考,然后与同桌交流.，时间为3分钟，开始！

答对题的得分答错题的得分未回答题的得分

第一队+6

第二队-2

嗯，非常正确，表达的很到位！请坐。

2.那生活中你见过其他用负数表示的量吗?与同伴进行交流.

根据上面各队分数的计算及2010年全国居民消费价格的上涨情况及温度计上的温度,

你能知道正、负数和零的大小关系吗?（学生思考交流,完成后再展示说明,学生之间互相补

充,教师适时点评.）

师生总结:“加分与扣分”“上涨量与下跌量”“零上温度与零下温度”等都是具有相反

意义的量.为了表示具有相反意义的量,我们把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把

与这个意义相反的量规定为负的,用负数来表示.

3.我们已经认识了负数,你能顺利的利用正数和负数表示生活中具有相反意义的量吗?请同

学们观察教材例题,想一想如何解答

（1）某人转动转盘,如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈

怎样表示?

（2）在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02g记作+0.02g,那么-0.03

g表示什么?

（3）某大米包装袋上标注着“净含量:10kg±150g”,这里的“10kg±150g”表示什么?

答题情况

第

一

队

第

二

队

学生先独立思考,再小组交流如何用正、负数表示生活中具有相反意义的量.

如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么和逆时针方向具有相反意义的量是,

所以沿顺时针方向转了12圈可表示为;一只乒乓球超出标准质量0.02g记作+0.02g,

那么和超出标准质量具有相反意义的量是,所以-0.03g可以表示为;综上所

述,“净含量:10kg±150g”,这里的“10kg±150g”表示.

4．同学们,我们已经知道了可以用正数和负数表示具有相反意义的量,进入随堂练习一分钟。

(1)在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分,那么扣20分记作什么?

(2)东、西为两个相反方向,如果-4米表示一个物体向西运动4米,那么+2米表示什么?

物体原地不动记为什么?

(3)某粮库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作什么?

5.有理数的概念及分类

（1）引进负数后,数的范围扩大了.过去我们说整数只包括正整数和零,引进负数后,正整数

前加上负号的数叫做负整数,因而整数包括正整数、负整数和零,同样分数包括正分数、负分

数.

整数和分数统称为有理数.(有理数分类结构图如下)

有理数

整数

正整数

负整数

分数

正分数

负分数

（2）有理数的分类.

问题:为了便于研究某些问题,常常需要将有理数进行分类,需要不同,分类的方法也常

常不同,根据有理数的定义可将有理数分成两类:整数和分数.有理数还有没有其他的分类方

法呢?（待学生思考后,请学生回答、评议、补充.）

教师小结:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零,并指出,在有理数范围内,

正数和零统称为非负数.并向学生强调:对有理数的分类可以根据不同需要,用不同的分类标

准,但必须对讨论对象不重不漏地分类.

[知识拓展]对正数和负数的理解要注意以下几点:

(1)并不一定必须将某一种量规定为正,若将其中的一种量规定为正,则与其意义相反的

量即为负.

(2)零既不是正数,也不是负数,这个数十分特殊,随着我们的学习,对于零这个数将有更

深刻的认识.

(3)负数前面的“一”号,表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”号,但正数前面的

“+”可以省略.

6.巩固练习

将下列各数填入到相应的集合中:3，-7

正数集合{…};负数集合{…};

整数集合{…};分数集合{…};

(学生口述解答过程,师总结、板演)

三、小结

1.正数与负数都来自于生活实际,用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量.

2.正数前面添上“-”号的数是负数;0既不是正数,也不是负数,它表示正、负数的界

限.

3.有理数的分类方法不是唯一的,可以按整数和分数分成两大类,也可以按正有理数、零、

负有理数分成三大类.

四、作业

【必做题】教材第26页习题2.1的2,3题.

【选做题】教材第26页习题2.1的4,5题

五、板书

数轴

一导入：

温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具,你会读温度计吗?

(1)图中温度计上显示的温度各是多少?(2)温度计上的刻度有什么特点?

[处理方式]找几个同学读温度计,看温度计时,因为它上面标有刻度数,所以我们只需看一

看温度计液面指在哪个刻度上,就知道温度了.通过学生读出温度计的温度初步了解数轴的

特点.(通过多媒体展示读温度计的方法)

二新知：

1.由上述两问题得到什么启发?你能用一条直线上的点表示有理数吗?

(1)学生小组活动,在讨论的基础上动手操作,在操作的基础上归纳出:可以表示有理数的直

线必须满足什么条件?从而得出数轴需满足的三个条件:原点、正方向、单位长度.

(2)让学生根据自己的理解,小组内交流,用一条直线上的点表示有理数.用实物投影仪展示

学生的画图,引导学生发现画图中出现的问题,不断完善数轴的画法.板演具体画法:

第一步:画一条水平直线,定原点(如图(1)),原点表示0.

第二步:规定从原点向右的方向为正方向,那么相反的方向(从原点向左)则为负方向(如图

(2)).

第三步:选择适当的长度为单位长度(如图(3)).

教师引导学生总结出:画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作

为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到了数轴.

几点说明:

(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可;

(2)直线一般画水平的;

(3)原点可取直线上任一点,但一取定就不再改变;

(4)正方向用箭头表示,一般取从左到右;

(5)单位长度的选取应结合实际需要,但一取定就不再改变,要做到刻度均匀.

2.观察画好的数轴(如图所示),思考以下问题:

(1)原点表示什么数?

(2)原点右方表示什么数?原点左方表示什么数?

(3)+3,-4,,-1.5,0分别在数轴的什么位置?

[处理方式]学生思考,并与同桌相互叙述,互相纠正补充,语句通顺后举手回答.

结论:

(1)根据点在原点的左右两边确定有理数的符号.

(2)根据点与原点的距离确定数值.

3.我们已经认识了数轴,知道了画数轴需要满足的三个条件,那么请同学们观察例1,想一想

如何解答.

例1指出数轴上A,B,C,D各点分别表示什么数.

[处理方式]先给学生10秒钟时间观察例1中数轴的特点,再分别回答,教师板书,在学

生口述过程中,教师可进行有针对性的提问,让学生明确A,B,C,D四点所表示的数是什么;根

据学生的生活经验,不难得出结论,所以让学生直接口答说出答案.

解:A点表示-2,B点表示2,C点表示0,D点表示-1.

例2画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数:,-5,0,5,-4,-.

[处理方式]首先让学生到黑板上正确地画出数轴,其他学生在练习本上完成,教师巡

视.学生完成后教师及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题,并进行矫正.让学生互相提

问、点评.一般情况下,整数点比较好找,分数点有一定的难度,特别在找-的位置时,相当

多的同学可能要出现错误,可能选择在-处,所以教师要及时引导和矫正.

4.让同学观察所画的数轴，回答数轴上的两个点,右边点表示的数与左边点表示的数有怎样

的大小关系?正数、负数在数轴上的什么位置?判断它们的大小。

观察数轴会发现数轴上的点表示的数由左向右越来越大.根据学生的回答情况,引导学

生总结出:数轴上两个点所表示的数,右边的总比左边的大.正数大于0,负数小于0,正数大

于负数.

5.巩固练习

比较下列每组数的大小,并说明理由.

(1)-2和+6;(2)0和-1.8;(3)-

-

和-4.

[处理方式]由学生讨论、自己动手做,借助数轴或结论比较数的大小.可由三名学生黑

板板演,其他学生在练习本上完成,然后给板演的答案纠错、规范解答步骤,最后教师出示解

答步骤,学生更改自己解题答案或步骤.

三．小结

1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

2.数轴的三要素:原点、正方向、单位长度.

3.利用数轴进行有理数的大小比较.

四、作业

课后习题1，2，3预习下节内容

五、板书

绝对值

一导入:

同学们，我们正在学习的这一章知识的标题是什么?如果我们把数学知识比喻成一条链子

的话,那么每一个知识点就是组成链子的每一环,一环扣一环,环环相扣,才能组成一条完整

的链子.你能不能说一下,组成“有理数及其运算”的这条链子的环,我们已经学过哪几个了?

二新知

1.下列各数中:-3,,-5,3,0,5,-.

(1)哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?3与-3有什么相同点?有什么不同点?它们在

数轴上的位置有什么关系?与-,5与-5呢?

小组交流讨论它们的异同点,并回答:这三对数中的每两个数只有符号不同.

像以上这样,如果两个数只有,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这

两个数互为相反数.特别地,0的相反数是0.(板书)正数的相反数是;负数的相反

数是.(板书)

一分钟随堂练习：分别写出下列各数的相反数:5,-7,-3,+11.2,0.

解:5的相反数是-5,-7的相反数是7,-3的相反数是3,+11.2的相反数是-11.2,

0的相反数是0

(2)画一条数轴,并在数轴上标出上面三组数,并思考每组数所对应的点在数轴上的位置有什

么关系.（3与-3;②与-;③5与–5）

在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的,并且与原点的距

离.

绝对值的概念:在数轴上,一个数所对应的点与的叫做这个数的绝对

值.有理数a的绝对值记作,其含义是.根据绝对值的定义可

知,|+2|=;|-3|=;|0|=;|1.5|=.

[处理方式]在老师的指导下,让学生通过自学与小组讨论相结合的方式初步理解绝对值的概

念,并能利用字母表示出一个数的绝对值,体会到“绝对值”就是一个表示距离的数值.

（3）如果在你刚才所画数轴的+3和-3处各有一只蚂蚁以相同的速度向原点爬去,会是谁

先爬到原点呢?为什么?观察3与-3,与-,5与-5这三组数所对应的点在数轴上的位

置有什么关系?

[处理方式]合作讨论,得出答案是同时到达.因为两只蚂蚁爬行的距离都是3个单位长度且

速度相同.所给的每组数所对应的两个点分别在原点的两侧,而且与原点的距离相等.

师生共同总结:在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,且与原点的距离

相等(如图所示).(板书)

在讨论数轴上的点与原点的距离时,只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度,与

位于原点何方无关.像这样在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对

值.(板书)例如,+2的绝对值等于2,记作|+2|=2;-3的绝对值等于3,记作|-3|=3.

在数轴上表示+5的点到原点的距离是个单位长度,所以+5的绝对值

是,记作;在数轴上表示-5的点到原点的距离是个单位长度,所

以-5的绝对值是,记作;0的绝对值是,表明它到原点的距离是

个单位长度,记作.由此可以看出,不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或

0(通常也称非负数).即对任意有理数a,总有|a|≥0.(板书)

在数轴上表示-3的点和表示3的点与原点的距离都是3个单位长度,所以-3和3

的绝对值都是3,记作|-3|=|3|=3.

由绝对值的意义,引导学生归纳出:

(1)互为相反数的两个数的绝对值的关系是.

(2)一个数的绝对值与这个数有什么关系?

正数的绝对值是;负数的绝对值是;0的绝对值是.

(3)|a|=.

[处理方式]在老师的指导下,让学生通过自学与小组讨论相结合的方式逐步加深理解

绝对值的概念.

2.我们已经学习了相反数和绝对值,知道了相反数和绝对值的意义，下面我们练一练

例1求下列各数的绝对值.-21,,0,-7.8,21,a2.

[处理方式]第1个数,老师先教给学生做法,其余小题学生自己做,写出过程后再分别

口述结果即可;对于最后一个数,是老师补充的,可以先让学生分组讨论,再共同完成.

解:|-21|=21;;|0|=0;|-7.8|=7.8;|21|=21;|a2|=a2.

3.议一议:探究如何比较两个负数的大小.

(1)在数轴上表示下列各数,并比较它们的大小:-1.5,-3,-1,-5.

(2)求出(1)中各数的绝对值,并比较它们的大小.

(3)我发现:两个负数比较大小,.

[处理方式]通过学生的独立思考、交流、讨论,探究并总结比较两个负数大小的方法.

例2比较下列每组数的大小.(1)-1和-5;(2)-和-2.7.

〔解析〕比较两个负数大小的步骤是:(1)先求它们的绝对值;(2)比较它们的绝对值的大

小;(3)根据“两个负数比较大小,绝对值大的反而小”比较原数的大小.

解:(1)因为|-1|=1,|-5|=5,(首先求出两个负数的绝对值)1<5,(再比较两个绝对值的大

小)所以-1>-5.(“根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小”下结论)

(2)因为-,|-2.7|=2.7,(首先求出两个负数的绝对值)

<2.7,(再比较两个绝对值的大小)

所以->-2.7.(根据“两个负数比较大小,绝对值大的反而小”下结论)

[知识拓展]1.相反数是成对出现的,不能单独出现.

2.距离不能为负值,所以任何一个有理数a的绝对值都是非负数,即|a|≥0.

3.为了便于解决有关绝对值的问题,绝对值的代数意义可以这样理解:正数和0的绝对

值是其本身,负数的绝对值是其相反数,即|a|=

-

三小结

1.相反数的概念.

2.互为相反数的两个数在数轴上的位置关系.

3.绝对值的意义:(1)几何意义;(2)代数意义.

4.用绝对值比较负数的大小.

四作业

课后习题1,3预习下节课内容

五板书

有理数的加法

一导入:

某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一道题加1分,可以记作“+1”分;答错一道题减1

分,记作“-1”分;不回答得0分.每个队的基本分均为0分.

想想看,如果某个队:

(1)答对1道题,又答错1道题,他们的得分是多少?

(2)答对3道题,又答错2道题,他们的得分是多少?

(3)答对2道题,又答错3道题,他们的得分是多少?

同学们,上面的问题中都出现了有理数的加法计算,那么有理数的加法到底如何运算呢?

二新知大家思考下面的问题:

1.如果用一个表示+1,用一个表示-1,那么一个和一个合起来是多少?

生:正负抵消,结果是0.

师:同样,一个和一个合起来是多少?

生:(齐答)0.

师:说得好!下面利用你们手中的正、负号棋子,小组合作讨论下面四个题目,然后到讲台

展示你们小组讨论的过程和结果.

(-2)+(-3);(2)(-3)+2;(3)3+(-2);(4)(-4)+4.

(1)计算(-2)+(-3)时,在方框内先后放进2个负号棋子和3个负号棋子,方框内共有5

个负号棋子,因此,(-2)+(-3)=-5.(学生演示)

(2)计算(-3)+2时,在方框内放进3个负号棋子和2个正号棋子,一个正号棋子和一个负号

棋子相互抵消,方框内还剩一个负号棋子,因此,(-3)+2=-1.(学生演示)

(3)计算3+(-2)时,在方框内放进3个正号棋子和2个负号棋子,一个正号棋子和一个负号

棋子相互抵消,方框内还剩一个正号棋子,因此,3+(-2)=1.(学生演示)

(4)计算(-4)+4时,在方框内放进4个负号棋子和4个正号棋子,正负都抵消了,方框内没

有棋子了,因此,(-4)+4=0.(学生演示)

议一议:两个有理数相加,和的符号怎样确定?和的绝对值怎样确定?一个有理数同0相

加,和是多少?

教师巡视并适时点拨,学生观察、思考、交流并归纳回答.

2同学们,做得非常好,那么能不能设计一种新的情境来验证上面的四个算式?

(1)规定向东为正,向西为负,先向西走了2米,再向西走了3米,两次共向西走了5米,

所以(-2)+(-3)=-5.

(2)从河岸水位线开始,规定上升为正,下降为负,下降3米,再上升2米,结果水位下降了

1米,所以(-3)+2=-1.

(3)如果水位上升3米,再下降2米,结果水位上升了1米,所以3+(-2)=1.

(4)温度下降4℃再上升4℃结果温度没有变化,如果上升为正,下降为负,那么(-

4)+4=0.

师生共同总结有理数的加法法则:

同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

异号两数相加,绝对值相等时和为0(互为相反数的两个数相加得0),绝对值不等时,取

绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

一个数同0相加,仍得这个数.

例1计算下列各题.

(1)180+(-10);(2)(-10)+(-1);(3)5+-5);(4)0+(-2).

〔解析〕在进行有理数的加法时,先要判断加数是同号还是异号,有一个加数是否为零,再根

据两个加数的符号的具体体现,选用某一条加法法则,进行计算时,通常应该先确定和的符号,

再计算和的绝对值.

解:(1)180+(-10)=+(180-10)=170.(2)(-10)+(-1)=-(10+1)=-11.

(3)5+(-5)=0.(4)0+(-2)=-2.(讲解的过程中,提示学生思考每一步这样计算的理由.)

[知识拓展]两个有理数相加和的符号取决于绝对值较大的数的符号,和的绝对值是根据“两

个有理数相加,和的绝对值同号相加,异号相减”的原则进行计算的;互为相反数的两数相加

得0,反之,如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数;任何数同0相加,仍得这个数.

3.巩固练习（光说不练假把式）

三小结

1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.2.异号两数相加,绝对值相等时和为0(互

为相反数的两个数相加得0),绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值

减去较小的绝对值.3.一个数同0相加,仍得这个数.

四作业

课后习题1,3预习下节课内容

五板书

有理数的减法

一导入:

我们想了解每天的天气情况,就得留心收看电视、收听广播.下面就来看某一天的全国主要

城市的天气情况:

全国主要城市天气预报

城市天气最高最低城市天气最高最低

哈尔滨小雨156长春多云1810

沈阳小雨197天津小雨128

呼和浩特雨夹雪8-3乌鲁木齐晴4-3

西宁小雪5-4银川小雪0-3

兰州雨夹雪3-3西安小雪167

拉萨多云151成都雷阵雨1710

重庆雷阵雨2211贵阳雷阵雨238

问题:(1)哈尔滨的最高气温是15℃最低气温是6℃这天的温差是多少?

(2)乌鲁木齐的温差是多少?你能用算式表示吗?你是如何算的?

生:温差就是算两个温度的差,用减法计算,哈尔滨温差为15-6=9℃;乌鲁木齐的温差列

式为4-(-3).

师:4-(-3)等于多少呢?这就是我们这节课重点研究的内容——有理数的减法.

二新知

1.师:在小学我们探讨了减法,那什么是减法呢?

生:已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫减法。

师:很好.由减法的定义可知减法与加法是互为逆运算的.现在要计算:4-(-3)等于多少,

应如何计算呢?大家想想办法.

生:要计算4-(-3)等于多少,可先考虑一下:+(-3)=4.利用有理数的加法法则

可知7+(-3)=4,所以4-(-3)=7.

师:很好,这位同学从加法和减法是互为逆运算的角度来考虑的,并且计算正确.想一想,还可

以怎样考虑?

生:还可以利用温度计.如图所示,因为温度是由温度计测出的,所以可以在温度计上找到4

和-3所表示的点,然后看两个点之间有多少小格,一共有7格,因而4-(-3)=7.

师:这位同学想的办法很好,利用温度计从零上4℃数到零下3℃这中间相隔7个小格,上

面4个小格加上下面3个小格,即4+3=7.4-(-3)=7,4+3=7.大家观察这两个算式及结果,

你发现了什么?提出猜想“减去一个数与加上这个数的相反数是相等的”,即4-(-

3)=4+(+3).

2.请同学们计算下面一组题目.

(1)15-6=,15+(-6)=;(2)19-3=,19+(-3)=;

(3)12-0=,12+0=;(4)8-(-3)=,8+3=;

(5)10-(-3)=,10+3=.

对于每组题目的计算和结果,你发现了什么?

[处理方式]教师请两名踊跃的同学到讲台前用投影仪展示出他们的答案,其他同学在下面

进行校对,对个别错误进行纠正.对比两组题目的答案,教师继续引导同学们有什么发现,同

学们会说出他们的发现:每组的两个式子结果都相等.教师及时给予鼓励,并继续追问:根据

这两组式子,你能发现什么结论呢?提示学生观察等号两边分别是什么计算.学生快速进入讨

论交流状态,此时教师在各小组间巡视.一分钟后,学生讨论基本成熟,教师请小组代表向全

班汇报结果,并在此基础上归纳有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.用

字母表示法则:a-b=a+(-b).强调运用法则时,被减数不变,减号变加号,减数变成其相反

数.

例1计算下列各题:

(1)9-(-5);(2)(-3)-1;(3)0-8;(4)(-5)-0.

解:(1)9-(-5)=9+5=14.(2)(-3)-1=(-3)+(-1)=-4.

(3)0-8=0+(-8)=-8.(4)(-5)-0=-5.

例2世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔高度大约是8844m,吐鲁番盆地的海拔高度大

约是-155m,两处高度相差多少米?

[处理方式]请学生思考后,直接解决此问题,教师巡视指导,强调解题的规范.

解:8844-(-155)=8844+155=8999(m).答:两处高度相差8999米.

师:假设一层楼3米高,8844米有多少层楼高?

[处理方式]学生先独立计算,然后小组交流,并选代表回答.

例3全班学生分为五个组进行游戏,每组的基本分为100分,答对一题加50分,答错一题扣

50分.游戏结束时,各组的分数如下:

第1组第2组第3组第4组第5组

100150-400350-100

(1)第一名超出第二名多少分?(2)第一名超出第五名多少分?

解:由上表可以看出,第一名得了350分,第二名得了150分,第五名得了-400分.

(1)350-150=200(分).(2)350-(-400)=750(分).

答:第一名超出第二名200分,第一名超出第五名750分.

[知识拓展]在进行有理数的减法运算时,关键是如何正确解决符号问题,使减法运算合理地

转化为加法运算.进行有理数的减法运算应同时改变两个符号:一是运算符号,由“-”变为

“+”;二是减数的性质符号,由“+”变为“-”,或由“-”变为“+”.减数与被减数不

能互换,即减法没有交换律.

三小结

1.有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.用字母表示为:a-

b=a+(-b).

2.有理数减法运算步骤:(1)根据有理数的减法法则,把减号变为加号,把减数变为它的

相反数;(2)利用有理数的加法法则进行运算.

四作业

课后习题1,3预习下节课内容

五板书

有理数的加减混合运算

一导入:（复习导入）

问题1有理数的加法法则:

(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,绝对值相等时和为0;

绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数

同0相加,仍得这个数.

问题2有理数的加法步骤:(1)确定和的符号;(2)求加数的绝对值;(3)确定两个数的绝对值

的和或差.

问题3有理数加法的运算律:(1)加法交换律:a+b=b+a;(2)加法结合

律:a+b+c=a+(b+c)=(a+c)+b.

问题4有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数,即a-b=a+(-b).

问题5有理数减法运算的步骤:(1)减法变成加法,将减号变成加号,把减数变成它的相反

数;(2)按照加法运算的步骤去做.

前面学习了有理数相加或相减的法则,那么怎样进行加减混合运算呢?这节课我们就一

起来学习有理数的加减混合运算.

二新知

首先我们做一个游戏，游戏规则如下:

(1)四人一组,每组选一个学生当代表,在同组的80张卡片中,抽取4张,如果抽到带底纹的卡

片,那么加上卡片上的数字;如果抽到不带底纹的卡片,那么减去卡片上的数字.

(2)每组四人都计算,然后看结果的正确与否,再看一看谁用的计算方法最简便,交流经验.

小彬抽到了下面的4张卡片:他抽到的卡片的计算结果是多

少?

小丽抽到了下面的4张卡片:她抽到的卡片的计算结果是多

少?

学生抽取卡片并计算、讨论、互相交流经验,然后再进行两次游戏.

问题:将抽到的卡片上的有理数按照游戏规则写成算式,你会吗?

学生试着计算,教师指出:

(1)按运算顺序进行运算;(2)减法转化为加法进行运算.

请认真观察算式结构,先尝试解决一下,2分钟后看谁能正确解答.

例1计算:(1)-;(2)(-5)--+7-.

怎样进行有理数的加减混合运算?要注意什么问题?

[处理方式](1)可先将算式中的减法变加法.(2)能用运算律的可以灵活运用运算律.(3)注

意事项:不要漏写括号,如第二小题抄成-5-+7-是不对的;不要出现符号错误,如:

第一小题计算结果是-,丢掉负号写成就错了.

解:(1)

师:还有其他运算方法吗?

生:把减法转化成加法,再运用加法交换律、结合律寻找简便方法.

在学习加减混合运算的同时,体会运用加法交换律和结合律可以简化运算.(教师板演)

进行加减混合运算,在什么情况下优先考虑运用运算律?

[处理方式]师生交流、小结:(1)互为相反数的两个数,可先相加;(2)几个数相加得整数时,

可先相加;(3)同分母的分数可以先相加;(4)符号相同的数可以先相加;(5)若有小数,能凑整

的先加,不能凑整的常化成分数;(6)两个带分数相加,可以把整数部分与分数部分分别相加.

[知识拓展]有理数的加减混合运算可以按照运算顺序从左向右逐一进行.在具体计算中,交

换加数的位置时,一定要连同加数前面的符号一起交换.

2巩固练习

三小结

在加减混合运算时,适当运用加法运算律,把正数与负数分别相加,可使运算简便.但要

注意交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换.

1.把有理数的加减混合运算统一成加法运算.

2.有理数加减混合运算的步骤:(1)将加减混合运算统一成加法运算;(2)省略加号和括号.

四作业

课后习题1,2预习下节课内容

五板书

有理数的乘法

导入一:观察教材P49给出的图片,让学生讨论思考如何解答.

甲水库乙水库

问题:如果用正号表示水位上升,用负号表示水位下降,那么:

(1)甲水库的水位每天升高3cm怎么表示?(2)乙水库的水位每天下降3cm怎么表示?

(3)4天后甲水库水位的总变化量怎么表示?(4)4天后乙水库水位的总变化量怎么表示?

[处理方式]学生在观察多媒体图片的基础上,结合正、负数的知识独立完成(1)(2)两个小题;

结合有理数加法的知识完成第(3)(4)小题.重点在于引导学生将加法转化为乘

法:3+3+3+3=3×4=12-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3×4=-12.

二新知

1现在我们知道了以上乘积结果,那你能不能继续完成以下算式呢?

(-3×4=-12,(-3×3=,(-3×2=,(-3×1=,(-3×0=.

你能写出下列算式的结果吗?

(-3×-1)=,(-3×-2)=,(-3×-3)=,(-3×-4)=.

师:观察后思考,这两组算式其中的一个因数保持不变,另一个因数每减少1时,积是怎样变

化的?

生1:其中的一个因数保持不变,另一个因数每减少1时,积就减少一个(-3).

生2:其中的一个因数保持不变,另一个因数每减少1时,积就增加一个3.

师:同学们总结得非常正确,那么请再思考以下问题:

(1)符号:在上述4个式子中,我们只看符号,有什么规律?

+×+=)同号得;

(-×+=)异号得;

+×-)=()异号得;

(-×-)=()同号得.

(2)积的绝对值等于.

(3)任何数与零相乘,积仍为.

[归纳总结]有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同零相

乘仍得零.

例1计算.

(1)(-4×5;(2)(-5×-7);(3)--;(4)(-3×-.

例1中(3)(4)小题两因数的关系:它们的积为1,我们把这样的两个有理数叫做互为倒数.如，

2随堂练习

你能求出下列各数的倒数吗?(1)1;(2)-1;(3)3;(4)-;(5);(6)-2.5.

〔解析〕根据定义,要求a(a≠0)的倒数,只要求即可.

解:(1)1.(2)-1.(3).(4)-.(5)5.(6)-.

3根据两数相乘的法则,你能计算出以下各题吗?你能发现什么?

例2计算.(1)(-4×5×-0.25);(2)--×-2).

4议一议:几个有理数相乘,因数都不为0时,积的符号怎样确定?有一个因数为0时,积是

多少?

(1)(-1×2×3×4;(2)(-1×-2×3×4;(3)(-1×-2×-3×4;

(4)(-1×-2×-3×-4);(5)(-1×-2×-3×-4×0.

多个因数(没有0)相乘,积的符号由负因数的个数决定:当负因数个数为偶数时,积为正;

当负因数个数为奇数时,积为负.多个因数相乘时,当有一个因数为0时,积是0

[知识拓展](1)求小数的倒数,要先把小数化为分数,求带分数的倒数,要先把带分数化为假

分数.(2)互为倒数的两个数的符号相同,即正数的倒数还是正数,负数的倒数还是负数,0没

有倒数.记住这个结论,可以防止发生符号错误.(3)求正数a(a≠0)的倒数,可直接写成;求

分数的倒数(n≠0),交换分子分母的位置即可.(4)两个数的乘积为-1,这两个数称之为互

为负倒数,如-与互为负倒数.(5)与小学学过的除法一样,0不能作除数.

5.巩固练习

三小结

1.有理数的乘法法则.

两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同0相乘,积仍为0.

2.相关结论:

①乘积是1的两个数互为倒数;②多个不为0的有理数相乘,可以把它们按顺序依次相乘;③

几个不是0的数相乘,负因数的个数是奇数时,积是负数;负因数的个数是偶数时,积是正数.

四作业

课后习题1,2预习下节课内容

五板书

有理数的除法

一导入：

师:上节课我们学习了有理数的乘法,能运用乘法法则进行计算,谁能叙述有理数的乘法法则

呢?

生:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数与0相乘,积仍为0.

师：嗯，非常棒，同学们上节课的内容掌握的很扎实，学习了有理数的乘法,那么自然会想

到有理数有除法吗?如何计算有理数的除法呢?这节课我们就来研究有理数的除法.

二新知

1．首先大家看PPT上的填空题，先自行考虑，然后与同桌交流。

(1)6×-3)=,(-18÷6=;(2)(-1/5×-25)=,5÷-1/5)=;

(3)(-9×3=,(-27÷-9)=;(40×-2)=0÷-2)=.

生1:左边:(1)-18(2)5(3)-27(4)0生2:右边:(1)-3(2)-25(3)3(4)0

请同学们观察以上右边的算式,看看商的符号及商的绝对值与被除数和除数的符号及绝

对值之间有何关系?从中归纳猜想出一般规律,并用自己的语言叙述规律.

[归纳总结]两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何非0的数都得

0.注意:0不能作除数.和有理数的乘法法则的步骤一样,先判断符号,再把绝对值相除.

例1计算:(1)(-15÷-3;212÷-;(3)(-0.75÷0.25;(4)(-12÷-÷-100).

【师生活动】引导学生讨论分析,直接利用法则进行计算.首先确定商的符号,然后再把绝对

值相除.第(4)小题要按顺序从左到右进行计算.另外注意:负数在有理数运算中一定要加上

括号.1.2老师做3、4同学做

解:(1)(-15÷-3=+15÷3……(同号得正)=5.……(绝对值相除)

212÷-=-……(异号得负)=-48.……(绝对值相除)

(3)(-0.75÷0.25=-(0.75÷0.25)=-3.

(4)(-12÷-÷-100)=+÷-100=144÷-100)=-144÷100=-1.44.

2.做一做首先计算下列各式，然后观察比较每一组小题中的两个结果,从中发现了什么特

点?

11÷-;1×-(2)0.8÷-;0.8×-.(3)--;-×-4).

【师生活动】试着用语言叙述其中的规律:除以一个数等于乘这个数的倒数.用符号语言表

示:a÷b=a×(b≠0).[归纳总结]利用法则2可以将有理数的除法转化为乘法,所以可以利

用乘法的运算律简化运算.

例2计算:(1)(-18÷-;216÷--.

解:(1)(-18÷-=(-18×-=18×=27.

216÷--=16×--=16×.

(学生板演后,师生共同讨论交流,对出现的问题给予纠正,并要求学生注意书写规范,对每一

步的依据,要做到心中有数.)

[知识拓展]1.有理数乘除混合运算在不改变运算符号的情况下,只能按从左到右的顺序计

算.2.计算时可以运用除法法则把乘除混合运算统一成有理数的乘法运算,并应用乘法法则

计算.3.乘除混合运算应在全部统一成乘法运算后,再使用乘法运算律.

3.巩固练习

(自选)计算:(-5÷-7÷-15).

〔解析〕三个数连除,先确定商的符号,再将除法转化为乘法,最后利用乘法法则进行计算.

解:(-5÷-7÷-15)=-=-.

三小结

1.除法的两个法则:两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何非0

的数都得0.除以一个数等于乘这个数的倒数.用字母表示:a÷b=a×(b≠0).

2.解题技巧:(1)有理数乘除法法则遵循“符号优先”原则,即先确定符号,再把绝对值相乘

除.(2)对于多个有理数相乘除,运算时可以从左到右进行,也可把除法转化成乘法后再进行

计算.(3)要正确使用符号法则,确定各步运算结果的符号

四作业

课后习题1,2，3预习下节课内容

五板书

有理数的乘方

一导入：同学们都吃过拉面吧?拉面师傅第1次对折捏合,能拉出2根面条,第2次对折捏合

能拉出4根面条,第3次对折捏合能拉出8根面条,如果对折捏合100次,你们知道能拉出多

少根面条吗?带着这个问题,我们进入本课“有理数的乘方”的学习.

二新知：

1.某种细胞每过30min,便由1个分裂成2个,经过5h,这种细胞由1个分裂成多少个?

由学生思考交流,合作探讨如何解决问题.教师就势设计下列问题:

问题1这个细胞分裂一次可得多少个细胞?

问题2分裂两次呢?

问题3分裂三次呢?四次呢?

问题45h共分裂了多少次?分裂成多少个细胞?

不同学生回答,当学生回答细胞分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2个细胞时,教师让

学生思考下列问题:

（1）这个式子有什么特点?2.想一想:这样的运算能像平方、立方那样简写吗?

教师总结：1.一般地,n个相同因数a相乘,即…

个

,记作.

（2）求n个相同因数a的的运算叫做乘方,乘方的结果叫做,a叫

做,n叫作.an读作,或读作.

2.一分钟随堂练习

填空：(1)(-5×-5×-5×-5×-5)写成乘方的式子是.

(2)在210中,2是数,10是数,读作,表示个相乘.

总结:(1)乘方具有双重意义,一是它是一种运算——求相同因数的积的运算;二是它表示乘

方运算的结果——幂.(2)在书写幂时注意底数,当底数是负数、分数或式子时,应加上括号,

再写指数

3.既然已经明确了乘方的概念及意义,那么如何进行乘方运算呢?

例1计算:(1)53;(2)(-3)4;(3)-.

先让学生思考解题过程,然后师生合作板书第(1)小题,规范解题格式,其他各题由学生

独立完成,教师巡视、点拨,注意学生出现的问题,学生时常会产生如下误区:(1)混淆乘方与

乘法的概念,如把53当作5×3来计算;(2)运算中出现符号错误,如(-3)4=-81.为此,应要

求学生把解答过程写出来,不要直接写出结果.如按乘方的定义,将乘方运算先转为乘法运算

再进行计算,并注意乘方运算符号法则的运用.

解:(1)53=5×5×5=125.(2)(-3)4=(-3×-3)×-3×-3)=81.

(3)----=-.

例2计算:(1)-(-2)3;(2)-24;(3)-.

让一名学生板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨,校正答案.同时,注意

矫正学生可能出现的错误,如-24=(-2×-2×-2×-2)=16是错误的.接着给

出下列问题:

4.巩固训练

计算:(1)-;(2)-(-2)3;(3)--.

三小结

n个——n叫做指数(n取正整数).相同的因数——a叫做底数(a为有理数).运算的结果—

—an叫做幂.

四作业

课后习题1,2，预习下节课内容

五板书

有理数的混合运算

一导入:前面我们已经学习了加、减、乘、除、乘方五种运算,本节课我们一起学习有理数

的混合运算.

二新知

1.有理数的混合运算顺序

试着计算:3+50÷52×-–1

问题1算式3+50÷52×--1里含有哪几种运算?

问题2哪些运算是同一级运算?分别是第几级运算?

问题3根据以上分析你能解答该题吗?你能归纳出有理数混合运算法则吗?

【师生活动】对于问题1及问题2,要给学生一定的思考、讨论、交流的时间.鼓励学生积极

参与和发表见解,对于学生的答案,只要意思正确,就给予正面评价,并将准确的叙述展示即

可;对于问题3,要让学生合作完成,并请一个小组派代表板演并讲解,然后师生共同评价,对

出现的问题做出适当处理

[知识拓展]有理数的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号

里面的.

2．有理数混合运算的法则的应用

例1计算:18-6÷-2×-.解:18-6÷-2×-=18-(-3×-=18-1=17.

例2计算:(-3)2×--.解法1:(-3)2×--=9×-=-11.

解法2:(-3)2×--=9×--=9×-+9×-=-6+(-5)=-11.

[处理方式]让学生独立完成,要相信学生有能力完成,并请两名学生板演,然后由学生自行评

价,对出现的问题做出适当批改处理,尤其是对例2的解题方法的评价要注意肯定两种不同

的方法,允许对问题认识的差异存在,不必强求统一

3．生活中的有理数混合运算——“24点”游戏

按课本中的“做一做”与你的同伴玩“24点”游戏.游戏规则:从一副扑克牌(去掉大、

小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次),使得运算结果

为24或-24.其中红色扑克牌代表负数,黑色扑克牌代表正数,J,Q,K分别代表11,12,13.

多媒体演示:如果抽到了,可以运用下面的方法凑成24:7×3+3÷7=24.

(1)如果抽到的是,你能凑成24吗?

分析:联系第一组,你能列出相应的算式吗?

(2)如果是呢?你有何启示?

(3)请将下列每组扑克牌凑成24.

(-1×12-(-12×3=24或(-12×3-12×-1)=-24.

23×[1-(-2)]=24或(-2)3×1+2=-24.

4.巩固练习

计算(1)

三小结

同级运算,从左至右,异级运算,由高到低,若有括号,先算内部,简便方法,优先采用.

四作业

课后习题1，预习下节课内容

五板书