极限的求法

一、极限计算方法总结

（一）基本方法

1、初等函数的连续性

初等函数)(xf在其定义域

f

D内的任一点

0

x处都连续。从而根据连续的定义，有

)()(lim

0

0

xfxf

xx





。即：对于初等函数求某一点

0

x处的极限值，把

0

x代入)(xf之后若有

意义，即)(

0

xf存在，则)(

0

xf即为其极限值。

例如，1sin

sin

lim

1



x

x

x

4

arctan

lim

1





x

x

x

2、根据基本初等函数的图象

（1）常数函数：Cy

（2）幂函数：axy

（3）指数函数与对数函数：xay

)10(a与xy

a

log

)10(a

（4）三角函数

（5）反三角函数

2

arctanlim







x

x2

arctanlim







x

x

0cotlim



xarc

x





xarc

x

cotlim

例1：判断

x

x

arctanlim



，

|arctan|limx

x

，

xarc

x

cotlim



，

|cot|limxarc

x

的存在性。

3、因式分解法

定理：若

0

xx是多项式方程

)(xP

n

=0

01

1

1





axaxaxan

n

n

n

，（0

n

a）的一个根，则

)(xP

n

=)(

0

xx)(

1

xP

n

若极限

)(

)(

lim

0xQ

xP

n

n

xx

为“

0

0

”型，则可以把分子分母因式分解，此时必有

)(

)(

lim

0xQ

xP

n

n

xx

=

)()(

)()(

lim

10

10

0xQxx

xPxx

n

n

xx









=

)(

)(

lim

1

1

0xQ

xP

n

n

xx







。

例2：求极限

45

86

lim

2

2

4



xx

xx

x

4、无穷小与无穷大的关系

例3：求下列极限：

（1）

x

x

csclim

0

（2）

2

2

1)1(

2

lim





x

xx

x

解题经验：当分子存在非0极限，分母为无穷小量时，该分式的极限为无穷大。

5、有理化

含无理式“

0

0

”型，可尝试有理化变换分式后再进一步计算。

例4：求下列极限：

（1）

2

321

lim

4



x

x

x

（2）

x

xx

x

211

lim

0





（3）)2(lim2nn

x





分子有理化

6、变元代换法

例5：利用换元法求极限：

4

2

lim

4



x

xx

x

解：设tx，则原式

4

2

lim

4



x

xx

x

=

4

2

lim

2

2

2



t

tt

t

=

)2)(2(

)1)(2(

lim

2



tt

tt

t

=

)2(

)1(

lim

2



t

t

t

=

4

3

注：变元代换的方法，在数学的许多领域都可以用到。如，解复杂的方程中，解常微分

方程中等。但这种方法要结合其它方法使用，才能灵活运用。

练习4、利用换元法求极限

3

21

lim

3



x

x

x

7、同除变量的最高次幂

当自变量x趋向无穷大（有三种形式）求分式函数极限时，可尝试分子分母同除以x的

最高次幂，把无穷大的问题转化为无穷小的计算。

此法可延伸为分子分母含无理式的极限问题。其结论是：





















。xgxxf

xgxxf

xgxxf

a

b

xg

xf

x

中的相等的最高次数与中分子

中的小的最高次数比中分子

中的大的最高次数比中分子

)()(

;)()(

;)()(

,

,0

,

)(

)(

lim

此结果可以利用比拟：分子分母跑向无穷大的速度比较来助记。次数高的速度大。

例6：求下列极限：

（1）

100

3

2

1002

1003

lim





















x

x

x

（2）

3

4

3

24

284

91

lim





nn

nnn

n

（3）

3

2

3

24

284

91

lim





nn

nnn

n

（4）

















xxx

n

lim

练习5：求下列极限

（1）

50

3020

)15(

)23()32(

lim





x

xx

n

（2）)1(lim2xxx

n





（3）)

21

(lim

222n

n

nnn







（4）

















xxxx

n

lim

8、“



”型的分式，可尝试通分求解。

例：求下列极限：

（1）





















12

12

lim

2

2

3

x

x

x

x

n

（2）)csc(cotlimxx

n





练6求下列级限：

（1）















1

1

1

2

lim

2

1x

xx

（2）xx

x

ctanlim

2







（3）

















22

321

lim

n

n

n

n



分析：（1）这里求极限函数的前后项，分子中x的次数都比分母中的高，分子跑向无穷

大的速度更快，故属于“”型，可以先通分；（2）中没有明显的分式，可利用三角交

换公式转化为分式结构之后，再尝试通分方法。

9、利用当1||q时，)(0nqn

例：

































n

n

n

)3(

1

9

1

3

1

1

2

1

4

1

2

1

1

lim





练7：n

n

2

8

42222lim





10、利用定理“无穷小量乘有界量无穷小量”

例：求下列极限：

（1）

x

x

x

sin

lim



（2）

xx

xx

xcos3

arctan2

lim

2

2







11、两个重要极限公式

例：求下列极限：

（1）x

x

x

2

0

)1(lim



（2）

x

xx

x

















1

1

lim

（3）

x

xx

















1

1lim

（4）x

n

x

mx)1(lim

0





（5）x

x

x



1

1

1

lim

例：已知：10

0

)51(limexx

k

x





，其中k为常数，则k=______________

练：已知：27

2

lim



















x

xax

ax

，则a=______________