路灯下

中考数学探秘之“路灯下的投影问题”

【课题背景】在2011年金华市中考数学“考试目标”中，投影问题没有单独列

出，似乎投影问题不是中考内容。仔细查阅，其实它是隐藏于“图形的相似”单

元的知识条目中的，要求学会通过典型事例观察和认识现实生活中的相似，考试

要求为b档次；学会利用图形的相似解决一些实际问题，考试要求为c档次。本

课题重点研究灯光下的投影问题，这是中心投影范畴，主要用三角形相似中的

“A”字形相似。纵观历年各省市的中考数学卷，出现灯光下的投影问题还是比

较丰富的，进行此类问题的中考复习很有必要。通过该专题，以进一步掌握投影

知识，学会熟练应用图形的相似进行求解说理。恰逢金华市首届特级教师带徒活

动，本人作为徒弟，在义乌市宾王中学上了一节题为“探索路灯下的投影问题”

的市级公开课，抛砖引玉，以其得到与会师兄弟和唐建华特级教师的的指导，提

升数学教学水平。

【设计流程】

课前语：数学是教人聪明的学问，学数学最重要的是体会数学中蕴含的思想

方法，并有意识的在生活中应用这些方法解决身边的问题。在现实生活中有些测

量可以直接实现，有些测量是无法直接实现的，如大树的高度、古塔的高度、灯

柱的高度等等。当我们遇到无法直接实现的测量时，该怎么办呢？

一、七嘴八舌，拓宽数学的思维

在宽阔平直的大路边有一盏路灯，高高的如柱子挺立

路旁，你能用什么方法来测一测这盏路灯的高度呢？

分析：路灯很普通，几乎每一个人来人往的地方都有路灯；路

灯也很伟大，它总是风雨无阻，在夜幕降临时为过不完的行

人和车流给以照明。今天我们就将从路灯谈起，走近路灯的世

界。首先，我们来看看他那高大修长的身躯，你能用什么方法

来测量这盏路灯的高度呢？学生各抒己见，其中有一种是借助它顶端的灯光照射

下形成的影子来测量该路灯的高度。

接下来，我们利用测得的数据，计算路灯的高度。

二、小试牛刀，品味投影的成功

1.义乌宾王中学的小辉同学身高1.7m，他很好学、爱动脑，看到城里一排排漂

亮的路灯，为了测出某路灯的高度，他从路灯垂直地面的位置出发沿平直道路以

1m/s的速度向东匀速走开，某时他的影子长

为1.3m，再过2s,他的影子长为1.8m，求该

路灯的高度。

2.如图4，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，

当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路

灯

AC

的底部，当他向前再步行20m到达

Q

点时，发现

身前他影子的顶部刚好到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路

灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是()

A．24mB．25mC．28mD．30m

分析：所举两例由一盏路灯到两盏路灯，复杂程度可想而知，再让人走动起来，

动中取静思考问题，通过多次相似构造比例式，用方程的思想解决问题。对（1）

解后及时总结方法，并让学生提出问题，再解决问题，以拓展学生的思维。

三、不断探索，感受路灯的无限魅力

如图甲，李华喜欢晚上在路灯下散步，抬头看看灯，低头看看路，真是美不

胜收、很是惬意！已知李华的身高AB＝k，灯柱的高OP＝•OˊP′＝h，两灯柱

之间的距离OO′＝m.

（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他的影子AC的长.

（2）若李华在两路灯之间行走

．．．．．．．

，则他前后的两个影子的长度之和（DA＋AC）

是否是定值？请说明理由.

(3)在点A朝着影子（如图乙

箭头）的方向以v

1

匀速行走，

它的影子的顶端在地面上移

动的速度v

2

，请通过计算用

P

OBN

AM

甲

乙

O

A

C

B

P

v

1

的代数式表示v

2。

分析：一盏路灯、两盏路灯的交叉应用，让学生理解影子的形成过程，在前后影

子的分析中借助方程模型解决（1）和（2），对（3）在行程问题中展现影子的

魅力，这里的速度指的是平均速度。要求学生在解题中能结合各种数学模型，学

会多角度探索，感受数学的拓展思维。

四、延伸拓展，尽情才华的展示

如图，现有一物体CD在路灯（图上A点处）

的照射下，影子正好不落在墙PQ上，已知路灯

杆AB距CD7.5m，物体CD高度为3m，其影长

为5m。

（1）求路灯AB的高度；

（2）现另有一高6m的物体EF，在距路灯3m远处，问EF的影长是否会落在

墙上？若会，请求出落在墙上的高度；若不会，请说明理由。

分析：本题是本节课的高潮，在思路分析时，对（1）可以把线段EF先拿掉，

转化为简单的利用“A”字形相似解决；对（2），我们把另一高为6m的物体

EF放在AB与PQ之间，再投影（2）的问题就顺理成章了，学生会有这样那样

的解法，这时教师是一个旁观者，鼓励学生畅所欲言，教师稍作点评即可，要注

意与平行投影的区别，不能平移光线，可以平移地面，或平移墙面，或让光线刚

好照在墙角，或让光线穿过墙体照在地面上。在本题的求解中，学生将充分感受

到综合题的知识系统化，灵活多变，方法多样，各显神通。

类比：某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1

米的竹竿的影长为.44码，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全

落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影

子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地

面上的影长为4.4米，则树高为（）

A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米

B

Q

C

D

A

E

F

P

分析：本题以中心投影的性质作为解决问题的关键，进而利用三角形相似和解直

角三角形的性质，背景自然合理，拉近了数学与实际的联系，有一定的难度，主

要考察学生的空间观念、图形的操作能力和问题的探究能力。

五、回味无穷，谈谈今天的收获

通过本节课的学习，你有哪些收获？

分析：“灯光下的相似”问题能引导我们用数学的眼光积极地去观察生活，并

构建数学模型来解决实际问题，这是新课程标准中的重要目标，也是中考的热点

之一。这类题主要考查我们利用灯光下的影子的有关性质、相似三角形的性质进

行几何计算的能力；考查我们运用所学知识建立数学模型，解决实际问题的能力。

六、巩固练习，迎接中考的锤炼

1.（2009，太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30

米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发

现自己的身影顶部

正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，

那么路灯甲的高为米．

2.（08山东聊城第20题）如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明

从距路灯的底部（O点）20米

的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的

长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

3.（07年金华市中考题第23题）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影

子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，

身高为1.6m的小明()AB的影子BC长是3m，而小颖()EH刚好在路灯灯泡的正

下方H点，并测得6mHB．

（1）请在图中画出形成影子的光线，试确定路灯灯泡所在的位置G；

（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；

甲

小华乙

P

OBNAM

（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点

1

B处时，

求其影子

11

BC的长；当小明继续走剩下路程的

1

3

到

2

B处时，求其影子

22

BC的长；

当小明继续走剩下路程的

1

4

到

3

B处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路

程的

1

1n

到

n

B处时，其影子

nn

BC的长为

m（直接用n的代数式表示）．

【教者反思】

投影往往作为问题背景，人或楼房、电线杆的影子构成了基本图形，与投影

有关的数学中考题中主要体现转化和数形结合思想，其答题技巧：识别图形及动

手操作，构造直角三角形或相似三角形，利用三角函数或比例式来解决问题。

这是一节本人精心准备的课，蕴含着教师的深情与汗水。上完本课时，以学

生为主体，教师为主导的课堂氛围浓厚，课堂由浅入深，学生思维由易到难，步

步深入，环环紧扣，上这样一节课，教师收获不少，更能让学生感受到教师的爱，

体验数学思维奥秘和成功路上的快乐。这样的课的不断磨练，还原真实的数学课

堂，提升快乐数学、思维数学的魅力，我愿为之不懈进取。但回味整节课，还有

一些细节有待在今后的教学中加以改进：

1.老师讲得太多，虽尽量给学生发言的机会，但流于形式，教师应腾出更多

的时间和空间让学生畅所欲言，或在座位上，或上讲台分析解题。

2.启发学生编题、变题时，教师的随机应变能力不够，花费很多的时间却不

了解学生的意图，这样使得课堂上耗时较多，但翻阅查找了那么多资料，思考了

那么多问题，教师受益匪浅，学生也更有兴趣。

3.一节课不完整，时间分配出了一点问题，以致延伸拓展的类比题没有安排，

A

B

A

1

B

1

H

E

C

就匆忙进行了本课小结。这与没有很好的备学生有关，借班教学备课是更有挑战

性的。

【专家点评】

唐建华（浙江省数学特级教师、金华市婺城区教研室主任）：

本节课，教师是花了一番心血的，每一个例题都是教师查阅了大量资料后精

心挑选的。通过六个环节的教学设计，既符合学生的认知特点，又遵循了教学规

律。教学中引导学生主动获取新知，并通过实验和学生动手，培养学生有意识地

将理论与实践相结合，让学生在实践中找到结论，使学生自觉地进入学习氛围，

有助于培养学生养成由被动学习转为自主探究的习惯，从而增强学生学习数学的

信心与兴趣。

1.选题精准，学有所用

初三复习课，选题是最重要的一个环节，题的优劣直接关系到数学知识复习

的效果。随着初三中考复习的全面展开，如何能把基础复习的成果转化成综合能

力的提升？怎样坚持能力立意，强化主干知识，从学科总体意义上考虑问题，在

知识交汇点上设计问题？如何深化新增内容与传统内容的有机整合，注意提升应

用意识和运算能力？“紧扣考纲细推敲，抓住重点强化练，善于总结归类，综合

运用见深化”是个好办法。解题训练是必要的，但万万不能陷入“题海”，题目

不在多，而在精；不在难，而在理清“算理、算法”，做一题，通一类，揭示出

规律。本节课的题目教师充分挖掘了灯光下的投影问题，通过课堂学习，让好题

生辉，促分析、认识深化，真正让学生学有所用、复习有提升。

2.环环紧扣，语言简练迷人

上好一堂课,教师的语言至关重要,谚语云:“它不是蜜,却能粘住一切。”这里

讲的就是语言艺术的魅力，数学教师要不断锤炼自己的教学语言,努力提高语言

艺术。本节课，教师准确生动的教学语言,始终紧扣学生的心弦,使学生保持高度

的注意力。正如教育家苏霍姆林斯基所说:“教师的语言修养,在极大程度上激发

着学生在课堂上的脑力劳动的效率。”如从人不动测影子到让人动起来，结合所

测数据，如何求路灯的高度呢？自然衔接，思维灵动；从一盏路灯到两盏路灯，

教师用了如下语言：“一盏路灯是孤单的，一排路灯是很壮观的。现在有两盏路

灯相对站着，一到晚上，人走在两路灯之间，会有什么现象呢？”拟人化的描述，

形象生动，学生在如此优美的意境中，上数学课不是为了做数学，而是在享受数

学。

3.步步深入，发展思维

《新课程标准》明确指出：“教学时不仅要使学生学到知识，还要重视学生

获取知识的思维过程，注意培养学生的初步思维能力。”学习是学生的心理活动

过程，是把书本知识通过操作、观察、思维，“内化”为自己的知识的过程。本

节课在教学过程中教师重视呈现思维过程，重视发展学生思维能力，从而提高学

习能力。在教学过程中，教师能积极引导学生自主参与、积极探索，重视学生的

创新意识，培养和发展学生的思维能力。

4.蹲下身来与学生交流，民主课堂

如果没有时间与学生玩成一片，就在平时的教育教学中多细心留意一下孩子

们丰富多彩的表情和富有新生代哲理的分析，他们脸上总写满大人们意想不到的

故事。作为教师，要细心观察每一个学生，全面了解学生心理动态，用心倾听学

生的谈话，才能真正走进他们的内心深处。而跟学生交流时,也应该放下师道尊

严，打破“师坐生站”的惯例，站起来、俯下身、甚至蹲下身去与学生交流，这

样才能让学生放下顾虑，为情所动，以诚相报。教师在课堂上学生练习时，总是

走下讲台，进到学生中去，蹲下身来看看这个学生怎么解，那个学生是如何分析

解题思路，在这时学生流露的是他们的真实想法，或独到的解法，或思考的困惑，

但看到老师蹲在自己身边，给学生的是信任、安全和快乐，是思维的激发、答案

的生成。

5.多媒体与黑板相结合，生动扎实

多媒体技术的运用在一定程度上为老师的教学减了负，但同时如果过分追求

多媒体本身，为了课件而课件就无法专心于教学过程中的机智，预先设计好的教

学程序和板书，无法根据当堂数学课上学生的实际情况进行适当调整。黑板相比

多媒体虽然显得简陋了点，但它也有自己亮丽的一面：板书内容可以根据不同班

级的学生水平灵活设计和调整，从而更加充分地为教学服务；部分课堂练习上黑

板很有必要，被抽上黑板的学生，所面临的竞争不仅是知识掌握的好和坏，还有

书法的优和劣，班上其他学生既充当比赛的参加者又是裁判，这将能激起学生的

竞争意识和学习积极性；在讲解的过程中，教师动手板书既能提高自己的基本技

能，又能根据学生对所学知识的信息反馈，及时调整板书内容，甚至改变讲解方

法，引导学生积极思考，从而激发学生兴趣，提高认知效果；黑板还给学生提供

了一个交流的天地，伟大的教育学家苏霍姆林斯基说过：“学生来到学校里，不

仅是为了取得一份知识的行囊，更重要的是为了变得更聪明。”在计算机迅猛发

展，网络连通世界的冲击下，传统教学下的“一支粉笔，一块黑板”，确应提升

为“一支粉笔，一块黑板，一台电脑”，但绝不是有了多媒体就全盘否定黑板，

本节课教师给以有机组合，既用多媒体增大了容量，也用黑板和其他教具使整节

课更加鲜活，更有品位。

6.徒手画图，彰显教师扎实的基本功

教几何需画图,教代数也常需画图，如函数图像。开始讲几何,为培养学生作

图和识图的能力,需按作图基本程序用尺规进行规范作图,为学生示范,这是必要

的。随着课程内容的深入,画图解题是一位数学教师上课的基本功，数学教师必

须在画图上下功夫，课堂上要画的图增多,虽然多媒体技术发展很快，但黑板画

图绝不能丢。好的画图设计能够统领全课，画龙点睛，教师的徒手画图能力就要

求更高了。今天教师展示了高超的徒手画图能力，解题的图画得又快又好，学生

易理解，对题目的讲解能起到起到事半功倍作用。徒手画图，又能吸引学生的兴

趣，给人一种美的感觉，让学生先崇拜老师，提高教师在学生中的威信，从而让

学生喜欢数学、学好数学。

7.不完整的课，悬念预留更能启智

本节课，教师没有把预设的环节都上完，但不影响整节课的教学效果，其实

数学课并不一定需要完整，追求完整的数学课其实是老师在作茧自缚，而不完整

更是一种美，一种悬念预留的美。课堂可以预设的目标有那么多，怎么选择？怎

么实现？我们唯有充分考虑，哪些目标是本课最重要的，哪些目标是课堂可以实

现的，哪些目标的实现对学生而言是有增量的，这样才能做到有的放矢。当我们

集中精力打了一场“歼灭战”，当一堂课结束时，这些经过比较和选择的目标实

现了，我们的课，哪怕还没来得及实现完美的“起承转合”，哪怕不完整，也便

成功了。