勾股定理测试题

D

C

B

A

勾股定理评估试卷（1）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为().

（A）30（B）28（C）56（D）不能确定

2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长

（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm

3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

（A）25（B）14（C）7（D）7或25

4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为()

（A）13（B）8（C）25（D）64

5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中

正确的是（）

7

15

24

25

20

7

15

20

24

25

15

7

25

20

24

25

7

20

24

15

(A)

(B)

(C)

(D)

6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()

（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.

7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()

（A）25（B）12.5（C）9（D）8.5

8.三角形的三边长为abcba2)(22,则这个三角形是()

（A）等边三角形（B）钝角三角形

（C）直角三角形（D）锐角三角形.

9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，

如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮

a

元计算，那么共需要资金（）.

（A）50

a

元（B）600

a

元（C）1200

a

元（D）1500

a

元

10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC

的长为（）.

（A）12（B）7（C）5（D）13

5米

3米

（第10题）（第11题）（第14题）

二、填空题（每小题3分，24分）

11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需

要____________米.

12.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则222ABACBC=______.

13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.

14.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面

积是____________.

（第15题）（第16题）（第17题）

15.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一

棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

16.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D

若BC=8，AD=5，则AC等于______________.

17.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且

AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______.

18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，

C，D的面积之和为___________cm2.

E

A

B

CD

A

B

D

C

E

A

B

C

D

第

18

题

图

7cm

三、解答题（每小题8分，共40分）

19.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单

位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一

只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时

到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，

且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千

米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用

是多少？

22.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

A

B

CD

L

第21题图

C

A

D

B

23.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距

离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

C

A

1

B

1

A

B

四、综合探索（共26分）

24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台

风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么

台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受

到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危

险？

25.（14分）△ABC中，BC

a

，ACb，AB

c

，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定

A

B

C

D

第24题图

理，则222cba，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股

定理，试猜想22ba与2c的关系，并证明你的结论.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；

6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；

二、填空题（每小题3分，24分）

11.7；12.8；13.24；14.

25

8

；15.13；

16.4；17.19；18.49；

三、解答题

19.20；

20.设BD=x，则AB=8-x

由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是(8-x)2=x2+42.

所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6

21.作A点关于CD的对称点A′，连结BA′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150

万元.

22.116m2；

23.0.8米；

四、综合探索

24.4小时，2.5小时.

25.解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2

若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2

当△ABC是锐角三角形时，

证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x

根据勾股定理得b2－x2＝c2―(a―x)2

即b2－x2＝c2―a2＋2ax―x2

∴a2＋b2＝c2＋2ax

∵a>0，x>0

∴2ax>0

∴a2+b2>c2

当△ABC是钝角三角形时，

证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.

设CD为x，则有DB2=a2－x2

根据勾股定理得(b＋x)2＋a2―x2＝c2

即b2＋2bx＋x2＋a2―x2＝c2

∴a2＋b2＋2bx＝c2

∵b>0，x>0

∴2bx>0

∴a2+b2

探索勾股定理测试卷姓名_________

（满分：100分时间：45分钟）成绩_______________

选择题（每题6分）

1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________

A56B48C40D321

2、如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是____________

A2nBn+1Cn2－1Dn2+1

3、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折

叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________

A6cm2B8cm2C10cm2D12cm2

4、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航

行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离

开港口2小时后，则两船相距_________

A25海里B30海里C35海里D40海里

填空题（每题6分）

5、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则

b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________

6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，

C，D的面积之和为___________cm2。

7、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y

的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜

边为边长的正方形的面积为___________。

8、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20

米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以

直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高

____________米。

A

B

C

D

7cm

D

B

C

A

A

B

E

F

D

C

北

南

A

东

三、解答题（每题13分）

9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，

要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

10、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且

∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

11、太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才

左拐弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，他发现天色不早了，

而自己离出发点还足足有17俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出

发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。

你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？

12、如图1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边

长为c；如图2是以c为直角变的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明

勾股定理的图形。

画出拼成的这个图形的示意图，写出它的名称；

用这个图形证明勾股定理；

设图1中的直角三角形由若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾

股定理的图形吗？请画出拼成后的示意图。（无需证明）

探索勾股定理（二）

1．填空题

（1）某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木

板，则木板的长应取米．

（2）有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，

另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里．

（3）如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC

方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是_________．

cccb

a

cb

a

图1

图2

A

B

C

D

2．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积．

3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长．

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．

4．如图2，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长为12m，现要在棚顶上

覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

5．如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点

D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．

勾股定理练习题：练习一：（基础）

等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿＿.

一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.

3.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的

最短路程（



取3）是（）.

（A）20cm（B）10cm（C）14cm（D）无法确定

在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2＋BC2＋AC2=_____．

6．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（）

A、121B、120C、132D、不能确定

7．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对

8．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（）

A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+1

9.在△ABC中,

,90C

若

,7ba

△ABC的面积等于6，则边长c=

10.如图△ABC中，

BCBMACANBCACACB,,5,12,90

则MN=

11.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为10

12.若△ABC是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P，到两直

角边的距离相等，则这个距离等于六根二

13.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km

北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走

的最短路程是多少？

17km

A

B

A

B

C

A

B

小河

东

北

牧童

小屋

14、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB

的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

3cm

15.校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经

测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则

购买这种草皮至少需要支出多少？

16、如图，在△ABC中，∠B=90，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D

重合，BD:DC=1:2，折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。

提高题：

1、※直角三角形的面积为

S

，斜边上的中线长为

d

，则这个三角形周长为（）

（A）22dSd（B）2dSd

（C）222dSd（D）22dSd

2．在

ABC

中,

1ABAC

,

BC

边上有2006个不同的点

122006

,,PPP,

记21,2,2006

iiii

mAPBPPCi,则

122006

mmm=_____.

解:如图,作

ADBC

于D,因为

1ABAC

,则

BDCD

.

由勾股定理,得222222,ABADBDAPADPD.所以



2222ABAPBDPD

BDPDBDPDBPPC





所以2221APBPPCAB

.

因此2

122006

120062006mmm.

A

E

C

D

B

A

D

B

C

E

F

3※．如图所示，在

RtABC

中,

90,,45BACACABDAE

,且

3BD

,

4CE

,求DE的长.

解:如右图：因为

ABC

为等腰直角三角形,所以

45ABDC

.

所以把

AEC

绕点A旋转到AFB,则

AFBAEC

.

所以

4,,45BFECAFAEABFC

.连结DF.

所以DBF为直角三角形.

由勾股定理,得222222435DFBFBD=+=+=.所以5DF=.

因为

45,DAE??

所以45DAFDABEAC????.

所以ADEADFSASD@D.

所以

5DEDF==

.

4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PC·PA+PA2

的值。

5、※如图在Rt△ABC中,

3,4,90BCACC

，

在Rt△ABC的外部拼接一个

合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：

要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接

的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色

签字笔画出正确的图形）

A

B

P

C

解：要在Rt△ABC的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等

腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，

这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。

10

答案：

选择题

1、B2、D3、A4、D

填空题

5、①13②20③11④24；6、49；7、5；8、25

解答题

9、28m

10、解：连接BD

36125

2

1

43

2

1

13125

590

ABCD

22







四边形

是直角三角形是一组勾股数，，，又

S

BCD

ADABBDA





11、根据题意画出图形，已知AE=10,DC=EB=2,AD=17

（平方俄里））（面积为：

（俄里）周长为：

9015102

2

1

441721510

1522









AEADEDRt

AED



12、（1）直角梯形

（2）根据面积相等可得：

化简得：222cba

（3）

1．（1）2.5（2）30（3）30米

2．如图：等边△ABC中BC=12cm，AB=AC=10cm

AEB

DC

c

c

a

ab

b

2

111

)()2

222

abababc（

b

a

作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6cm

在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64

∴AD=8cm

∴S△ABD=

2

1

BC·AD=

2

1

×12×8=48（cm2）

3．解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm

∴AB2=AC2+BC2=2．12+2.82=12.25

∴AB=3.5cm

∵S△ABC=

2

1

AC·BC=

2

1

AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

∴CD=

AB

BCAC

=

5.3

8.21.2

=1.68（cm）

（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得：

AD2+CD2=AC2

∴AD2=AC2－CD2=2.12－1.682

=（2.1+1.68）（2.1－1.68）

=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21

=22×9×0.21×0.21

∴AD=2×3×0.21=1.26（cm）

∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24（cm）

4．解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3m，所以矩形塑料薄膜

的面积是：3×12=36（m2）

5．解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF

∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE

设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x

在Rt△ABF中由勾股定理得：

AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，

∴BF=6cm

∴CF=BC－BF=10－6=4（cm）

在Rt△ECF中由勾股定理可得：

EF2=CE2+CF2，即（8－x）2=x2+42

∴64－16x+x2=x2+16

∴x=3（cm），即CE=3cm