反比例函数知识点

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反比例函数

一、基础知识

1.定义：形如

x

k

y（ok）的函数称为反比例函数。还可以写

成kxy1或xy=k

2.反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是分式，分子是不为零的常数k

（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数0k

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3.反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为

相反的数）

②描点（有小到大的顺序）

③连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，

x

k

y（k为常数，0k）中自

变量0x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的

两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不及坐标

轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy）。

⑷反比例函数

x

k

y（0k）中比例系数k的几何意义是：过双

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曲线

x

k

y（0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为

k。（三角形类似可以总结）

4．反比例函数性质如下表：

k的取

值

图像所在象

限

函数的增减性

ok

一、三象限

在每个象限内，y值随x的增大而

减小

ok

二、四象限

在每个象限内，y值随x的增大而

增大

5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需图像上一

个点的坐标即可求出k）

二、例题

【例1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限

内，那么的值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数

x

k

y，

（0k）即kxy1（0k）又在第二，四象限内，则0k可以求

出的值

【答案】由反比例函数的定义，得：











0

1222

k

kk

得















0

2

1

1

k

kk或

1k1k时函数222kkkxy为

x

y

1



【例2】在反比例函数

x

y

1

的图像上有三点



1

x，



1

y，



2

x，



2

y，



3

x，



3

y。若

321

0xxx则下列各式正确的是（）

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A．

213

yyyB．

123

yyyC．

321

yyyD．

231

yyy

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特

殊值法。

解法一：由题意得

1

1

1

x

y，

2

2

1

x

y，

3

3

1

x

y

321

0xxx，

213

yyy所以选A

解法二：用图像法，在直角坐标系中作出

x

y

1

的图像

描出三个点，满足

321

0xxx观察图像直接得到

213

yyy选A

解法三：用特殊值法

【例3】如果一次函数的图像与反比例函数

x

mn

ymnmxy





3

0相

交于点（2

2

1

，），那么该直线及双曲线的另一个交点为（）

【解析】











































1

2

13

2

2

1

2

2

13

n

m

mn

nm

x

x

mn

ynmxy解得，，相交于与双曲线直线

【例4】如图，在AOBRt中，点A是直线mxy及双曲线

x

m

y

在第一象限的交点，且2

AOB

S，则m的值是_____.

图

解:因为直线mxy及双曲线

x

m

y过点A,设A点的坐标为



AA

yx,.

则有

A

AAAx

m

ymxy,.所以

AA

yxm.

又点A在第一象限,所以

AAAA

yyABxxOB,.

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所以myxABOBS

AAAOB2

1

2

1

2

1

•



.而已知2

AOB

S.所以4m.

三、练习题

1.反比例函数

x

y

2

的图像位于（）

A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第

二、四象限

2.若y及x成反比例，x及z成正比例，则y是z的（）

A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、

不能确定

3.如果函数22(1)mymx为反比例函数，则m的值是（）

A、1B、0C、1/2D、1

3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长

y

cm及宽xcm之间的函数

图象大致为（）

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体

的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比

例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120

kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体

积应（）

A、不小于

5

4

m3B、小于

5

4

m3C、不小于

4

5

m3D、小于

4

5

m3

5．如图，A、C是函数

x

y

1

的图象上的任意两点，过

A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂

足为D，记RtΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为

S2则（）

O

y

x

A

B

C

D

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A、S1＞S2B、S1

C、S1=S2D、S1及S2的大小关系不能确定

6．对及反比例函数

x

y

2

，下列说法不正确的是（）

A．点（1,2）在它的图像上B．它的图像在第一、三象限

C．当0x时，的增大而增大随xyD．当0x时，的增大而减小随xy

7．在同一直角坐标平面内，如果直线xky

1

及双曲线

x

k

y2没有

交点，那么

1

k和

2

k的关系一定是（）

A.

1

k+

2

k=0B.

1

k·

2

k<0C.

1

k·

2

k>0D.

1

k=

2

k

8在同一直角坐标系中，函数)0k(

x

k

y及kkxy的图象大致是

（）

A.B.C.D.

9.已知反比例函数

)0(k

x

k

y

的图像上有两点A(

1

x，

1

y)，B(

2

x，

2

y)，

且

21

xx，则

21

yy的值是（）

A、正数B、负数C、非正数D、不能确定

10.y及2x成反比例，且x=4时，y=1,那么x=0时，y等于

__________.

11.如图，点A是x轴正半轴上的一定点，点B是双曲线

3

y

x



（0x）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，OAB△

的面积将会___________________.

（第11题图）（第

12题图）

12.如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点

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B的坐标为B（-20/3,5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直

线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E

在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是

__________________.

13．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=

1n

x



的图象都经

过点A（-2，1）.

求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象

的另一个交点B的坐标；

（3）△AOB的面积．

14.已知反比例函数

x

m

y

21

的图象上两点

2211

,,,yxByxA，当

21

0xx时，有

21

yy，则m的取值范围是？

15.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，

该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当

售价定为100元/件时，每日可售出30件.

（1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其

售价应为多少元？