定积分的应用

--.

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院系:经济与管理学院

题目:定积分在生活中的应用

年级专业:11级市场营销班

学生姓名:天鹏

PINGDINGSHANUNIVERSITY

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定积分在生活中的应用

定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是

与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星

三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类

知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

一、定积分的概述

1、定积分的定义：

设函数fx在区间,ab上有界.

①在,ab中任意插入若干个分点

011nn

axxxxb



,把区间,ab分成n

个小区间

01121

,,,,,,,

nn

xxxxxx



且各个小区间的长度依次为

110

xxx，

221

xxx，…，

1nnn

xxx



。

②在每个小区间

1

,

ii

xx



上任取一点

i

，作函数

i

f与小区间长度

i

x的乘积



ii

fx（1,2,,in），

③作出和

1

n

ii

i

Sfx



。记

12

max,,,

n

Pxxx作极限

0

1

lim

n

ii

P

i

fx







如果不论对,ab怎样分法，也不论在小区间

1

,

ii

xx



上点

i

怎样取法，只要当

0P时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数fx在

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区间,ab上的定积分（简称积分），记作b

a

fxdx，即

b

a

fxdx=

I

=

0

1

lim

n

ii

P

i

fx





,

其中fx叫做被积函数，fxdx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做

积分下限，b叫做积分上限，,ab





叫做积分区间。

2．定积分的性质

设函数fx和gx在,ab上都可积，k是常数，则kfx和fx+gx都

可积，并且

性质1b

a

kfxdx=b

a

kfxdx;

性质2b

a

fxgxdx



=b

a

fxdx+b

a

gxdx

b

a

fxgxdx



=b

a

fxdx-b

a

gxdx.

性质3定积分对于积分区间的可加性

设fx在区间上可积，且a，b和c都是区间内的点，则不论a，b和c的

相对位置如何，都有c

a

fxdx=b

a

fxdx+c

b

fxdx。

性质4如果在区间,ab上fx1，则1b

a

dx=b

a

dx=ba。

性质5如果在区间,ab上fx

0,则b

a

fxdx0ab。

性质6如果在],[ba上,Mxfm)(,则

b

a

abMdxxfabm)()()(

性质7（定积分中值定理）如果)(xf在],[ba上连续，则在],[ba上至少

存一点使得

b

a

abfdxxf))(()(

3．定理

定理1微积分基本定理

如果函数fx在区间,ab上连续,则积分上限函数x

=x

a

ftdt在,ab上可

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导,并且它的导数是'x

=

x

a

dftdt

dx



=fxaxb.

定理2原函数存在定理

如果函数fx在区间,ab上连续,则函数x

=x

a

ftdt就是fx在,ab

上的一个原函数.

定理3如果函数Fx是连续函数fx在区间,ab上的一个原函数,

则b

a

fxdx=FbFa

称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.

二、定积分的应用

1、定积分在几何中的应用

（1）设连续函数)(xf和)(xg满足条件)(xg)(xf，x

],[ba．求曲线

y)(xf，y)(xg及直线bxax,所围成的平面图形的面积S．（如图1）

解法步骤：

第一步：在区间],[ba上任取一小区间],[dxxx，并考虑它上面的图形的

面积，这块面积可用以)]()([xgxf为

高，以dx为底的矩形面积近似，于是

dxxgxfdS)]()([．

第二步：在区间],[ba上将dS无限求

和，得到b

a

dxxgxfS)]()([.

（2）上面所诉方法是以x为积分变量进

行微元，再求得所围成图形的面积；我

们还可以将y作为积分变量进行微元，

再求围成的面积。由连续曲线)(yx、

)(yx其中)()(yy与直线cy、

dy所围成的平面图形（图2）的面积

为：

d

c

dyyyS)]()([

例1求由曲线xysin，xycos及

图2

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直线0x，x所围成图形的面积A．

解（1）作出图形，如图所示．

易知，在],0[上，曲线xysin与

xycos

的交点为)

2

2

,

4

(



；

（2）取x为积分变量，积分区间为],0[．从图中可以看出，所围成的

图形可以分成两部分；

（3）区间]

4

,0[



上这一部分的面积

1

A和区间],

4

[



上这一部分的面积

2

A

分别为

4

0

1

)sin(cos



dxxxA，





4

2

)cos(sindxxxA，

所以，所求图形的面积为

21

AAA=4

0

)sin(cos



dxxx+





4

)cos(sindxxx

22sincoscossin

4

4

0







xxxx．

例2求椭圆22

22

1

xy

ab

的面积.

解椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4

倍,即

1

0

44aSSydx利用椭圆的参数方程

cos

sin

xat

ybt











应用定积分的换元法,sindxatdt,且当0x时,,

2

txa



时,0t,于是

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0

2

2

2

0

2

0

4sin(cos)

4sin

1cos2

4

2

1

4sin2

2

24

0

Sbtatdt

abtdt

t

abdt

t

abtab

































2．求旋转体体积

用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例

如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割bxxxaT

n



10

:划分

成许多基本的小块，每一块的厚度为),,2,1(nix

i

，假设每一个基本的小

块横切面积为),,2,1)((nixA

i

，)(xA为ba,上连续函数，则此小块的体积大

约是

ii

xxA)(，将所有的小块加起来，令0T，我们可以得到其体积：









b

a

n

i

ii

T

dxxAxxAV)()(lim

1

0

。

例2求由曲线4xy,直线1x,4x,0y绕x轴旋转一周而形成的

立体体积.

解先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化

区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+xd]的小窄条，绕x轴旋转

而形成的小旋转体体积，可用高为xd，底面积为2πy的小圆柱体体积近似代

替，

即体积微元为

Vd=2πyxd=π2)

4

(

x

xd,

于是，体积

V=π4

1

2d)

4

(x

xOx

xx+dx

xy=4

y

1

4

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=16π4

1

2

d

1

x

x

16π4

1

1

x

=12π.

3.求曲线的弧长

（1）设曲线)(xfy在ba,上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，

取x为积分变量，在ba,上任取小区间xxxd,，切线上相应小区间的小段

MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即dsl

MN

.得弧长微元为：

dxyyxMTs222)(1)d()d(d



,再对其积分，

则曲线的弧长为：dxxfdxydssb

a

b

a

b

a





22)]([1)(1

（2）参数方程表示的函数的弧长计

算，设曲线











)(

)(

ty

tx





上,t一段的弧

长.这时弧长微元为：

22

22dxdy

dsdxdydt

dtdt









即

22dsttdt



则曲线的弧长为

dtttdss















22)]([)]([

例3(1)求曲线2

3

3

2

xy上从0到3一段弧的长度

解由公式s=xyb

a

d12

（ba）知,弧长为

s=xyd13

0

2

=xx3

0

d1=

3

2

3

0

2

3

)1(x=

3

16

3

2

=

3

14

.

(2)求摆线

(sin),

(1cos)

xatt

yat











在20t上的一段弧的长度（0a）．

解取t为积分变量，积分区间为]2,0[．由摆线的参数方程，得

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)cos1(tax

，taysin

，

tatayx222222sin)cos1(







|

2

sin|2)cos1(2

t

ata．

于是，由公式（16-13），在

20t上的一段弧的长度为

22

00

2|sin|2sin

22

tt

sadtadt



2

0

4cos8

2

t

aa









2、定积分在经济中的应用

（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量

根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[,]ab上的改

变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]ab上的定积分：

()()()b

a

RbRaRxdx



（1）

()()()b

a

CbCaCxdx



（2）

()()()b

a

LbLaLxdx



（3）

例1已知某商品边际收入为0.0825x（万元/t），边际成本为5（万元

/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入()Rx，总成本C()x，利润()Ix的

改变量（增量）。

解首先求边际利润

()()()0.082550.0820LxRxCxxx





所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：

300

250

(300)(250)()RRRxdx



300

250

(0.0825)xdx=150万元

300300

250250

(300)(250)()CCCxdxdx



=250万元

300300

250250

(300)(250)()(0.0820)LLLxdxxdx



=100万元

（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率

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设某经济函数的变化率为()ft，则称2

1

21

()t

t

ftdt

tt



为该经济函数在时间间隔

21

[,]tt

内的平均变化率。

例2某银行的利息连续计算，利息率是时间

t

（单位：年）的函数：

()0.080.015rtt

求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。

解由于

22

00

()(0.080.015)rtdttdt2

0

0.160.010.160.022tt

所以开始2年的平均利息率为

2

0

()

0.080.012

20

rtdt

r





0.094

例3某公司运行

t

（年）所获利润为()Lt（元）利润的年变化率为

5()3101Ltt



（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，

8]内年平均变化率

解由于

3

88

5585

2

3

33

()3101210(1)3810Ltdttdtt





所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为

8

5

3

()

7.610

83

Ltdt









（元/年）

即在这5年内公司平均每年平均获利57.610元。

（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量

设某个项目在

t

（年）时的收入为()ft（万元），年利率为r，即贴现

率是()rtfte，则应用定积分计算，该项目在时间区间[,]ab上总贴现值的增量

为()b

rt

a

ftendt。

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设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计

为a（万元）年利率为r，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把

竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式

0

T

rtaedtA

成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。

例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预

计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。

解这里1000A，200a，0.08r，则该工程竣工后T年内收入的总

贴现值为0.080.080.08

0

0

200

2002500(1)

0.08

T

ttTTedtee





令0.082500(1)Te=1000，即得该工程回收期为

110001

ln(1)ln0.6

0.0825000.08

T=6.39（年）

3、定积分在物理中的应用

1、求变速直线运动的路程

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v

(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分，即()b

a

svtdt

例1、一辆汽车的速度一时间曲线如图

所示．求汽车在这1min行驶的路程．

解：由速度一时间曲线可知：

3,010,

()30,1040

1.590,4060.

tt

vtt

tt

















因此汽车在这1min行驶的路程是：

104060

01040

3[30(1.590)stdtdttdt

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21040260

01040

33

|30|(90)|1350()

24

ttttm

答：汽车在这1min行驶的路程是1350m.

总结：从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定

积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向

学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的，

若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅

能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃

思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.