相似多边形

第八节相似多边形的周长比和面积比

第十课时

●课题

§相似多边形的性质（一）

●教学目标

（一）教学知识点

相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.

（二）能力训练要求

1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似多边形的性

质.

2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.

（三）情感与价值观要求

1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作

意识.

2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.

●教学重点

1.相似三角形中对应线段比值的推导.

2.运用相似三角形的性质解决实际问题.

●教学难点

相似三角形的性质的运用.

●教学方法

引导启发式

●教具准备

投影片两张

第一张：（记作§A）

第二张：（记作§B）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边

成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.

那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们

将进行研究相似三角形的其他性质.

Ⅱ.新课讲解

1.做一做

投影片（§A）

钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图4－38，图纸上的△ABC

表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.

（1）

BA

AB



,

CB

BC



,

CA

AC



各等于多少？

（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.

（3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形.

（4）

DC

CD



等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.

图4－38

［生］解：（1）

BA

AB



=

CB

BC



=

CA

AC



=

4

3

（2）△ABC∽△A′B′C′

∵

BA

AB



=

CB

BC



=

CA

AC



∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶4.

（3）△BCD∽△B′C′D′.（△ADC∽△A′D′C′）

∵由△ABC∽△A′B′C′得

∠B=∠B′

∵∠BCD=∠B′C′D′

∴△BCD∽△B′C′D′（同理△ADC∽△A′D′C′）

（4）

DC

CD



=

4

3

∵△BDC∽△B′D′C′

∴

DC

CD



=

CB

BC



=

4

3

2.议一议

已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.

（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么

DC

CD



等于多少？

（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么

DC

CD



等于多少？如果CD和C′D′

是它们的对应中线呢？

［师］请大家互相交流后写出过程.

［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它们的对应

高，那么

DC

CD



=

CB

BC



=k.

［生乙］如4－39图，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，

那么

DC

CD



=

CA

AC



=k.

图4－39

∵△ABC∽△A′B′C′

∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′

∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.

∴∠ACD=∠A′C′D′

∴△ACD∽△A′C′D′

∴

DC

CD



=

CA

AC



=k.

［生丙］如图4－40中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则

DC

CD



=

CA

AC



=k.

图4－40

∵△ABC∽△A′B′C′

∴∠A=∠A′，

CA

AC



=

BA

AB



=k.

∵CD、C′D′分别是中线

∴

DA

AD



=

BA

AB



2

1

2

1

=

BA

AB



=k.

∴△ACD∽△A′C′D′

∴

DC

CD



=

CA

AC



=k.

由此可知相似三角形还有以下性质.

相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.

3.例题讲解

投影片（§B）

图4－41

如图4－41所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60cm,高AD=40cm，四边形PQRS

是正方形.

（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？

（2）求正方形PQRS的边长.

解：（1）△ASR∽△ABC，理由是：

四边形PQRS是正方形SR∥BC

（2）由（1）可知△ASR∽△ABC.

根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得

BC

SR

AD

AE



设正方形PQRS的边长为xcm，则AE=（40－x）cm，

所以

6040

40xx





解得：

x=24

所以，正方形PQRS的边长为24cm.

Ⅲ.课堂练习

如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对

应中线的比，对应角平分线的比呢？

（都是4∶5）.

Ⅳ.课时小结

本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的

对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.

Ⅴ.课后作业

习题.

1.解：∵△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′是它们的对应中线，且

CA

AC



=

2

3

.

∴

DB

BD



=

CA

AC



=

2

3

∴

2

3

4



BD

∴BD=6

2.解：∵△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD=8cm,

A′D′=3cm.

∴

DA

AD



=

BA

AB



,

设△ABC与△A′B′C′对应高为h1,h2.

∴

BA

AB



=

2

1

h

h

∴

2

1

h

h

=

DBA

ABD



=

3

8

.

Ⅵ.活动与探索

图4－42

如图4－42，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且

BA

AB



=

DB

BD



=

DA

AD



你认为△ABC∽△A′B′C′吗？

解：△ABC∽△A′B′C′成立.

∵

BA

AB



=

DB

BD



=

DA

AD



∴△ABD∽△A′B′D′

∴∠B=∠B′,∠BAD=∠B′A′D′

∵∠BAC=2∠BAD,

∠B′A′C′=2∠B′A′D′

∴∠BAC=∠B′A′C′

∴△ABC∽△A′B′C′

●板书设计

§相似多边形的性质（一）

一、1.做一做

2.议一议

3.例题讲解

二、课堂练习

三、课时小节

四、课后作业

●备课资料

如图4－43，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.

图4－43

（1）则图中有几对相似三角形.

（2）若AD=9cm,CD=6cm,求BD.

（3）若AB=25cm,BC=15cm,求BD.

解：（1）∵CD⊥AB

∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°

在△ADC和△ACB中

∠ADC=∠ACB=90°

∠A=∠A

∴△ADC∽△ACB

同理可知，△CDB∽△ACB

∴△ADC∽△CDB

所以图中有三对相似三角形.

（2）∵△ACD∽△CBD

∴

BD

CD

CD

AD



即

BD

6

6

9



∴BD=4（cm）

（3）∵△CBD∽△ABC

∴

BC

BD

BA

BC

.

∴

1525

15BD



∴BD=

25

1515

=9（cm）.

第十一课时

●课题

§相似多边形的性质（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.

2.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用.

（二）能力训练要求

1.经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力.

2.利用相似多边形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.

（三）情感与价值观要求

1.学生通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知

识迁移、温故知新的好处.

2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.

●教学重点

1.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导.

2.运用相似多边形的比例关系解决实际问题.

●教学难点

相似多边形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.

●教学方法

引导启发式

通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知

识达到理解并掌握的目的.

●教具准备

投影片四张

第一张：（记作§A）

第二张：（记作§B）

第三张：（记作§C）

第四张：（记作§D）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小

不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后

告诉大家数据.

（让学生把数据写在黑板上）

［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.

1.两三角形是否相似.

2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.

［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角

形.

周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.

［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？

［生］面积比与相似比的平方相等.

［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，

我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.

Ⅱ.新课讲解

1.做一做

投影片（§A）

图4－44

在图4－44中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为

4

3

.

（1）请你写出图中所有成比例的线段.

（2）△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？你是怎么做的？

（3）△ABC的面积如何表示？△A′B′C′的面积呢？△ABC与△A′B′C′的面积比

是多少？与同伴交流.

［生］（1）∵△ABC∽△A′B′C′

∴

BA

AB



=

CB

BC



=

CA

AC



=

DC

CD



=

DB

BD



=

DA

AD



=

4

3

.

（2）

4

3









的周长

的周长

CBA

ABC

.

∵

BA

AB



=

CB

BC



=

CA

AC



=

4

3

.

∴

CACBBA

ACBCAB

l

l

CBA

ABC





















=

CACBBA

CACBBA





















4

3

4

3

4

3

=

4

3

)(

4

3























CACBBA

CACBBA

.

（3）S△ABC=

2

1

AB·CD.

S△A′B′C′=

2

1

A′B′·C′D′.

∴2)

4

3

(

2

1

2

1



























DC

CD

BA

AB

DCBA

CDAB

S

S

CBA

ABC.

2.想一想

如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比

分别是多少？

［生］由上可知

若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积

比为k2.

3.议一议

投影片（§B）.

如图4－45，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k.

图4－45

（1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？

（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？

△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？

（3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是

,

111

CBA

S



222222111

,,

DCACBADCA

SSS



那么

222

111

222

111

DCA

DCA

CBA

CBA

S

S

S

S







各是多少？

（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？

如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？

［生］解：（1）∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2.相似比为k.

（2）△A1B1C1∽△A2B2C2、△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比都为k.

∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2

∴

22

11

22

11

22

11

22

11

DA

DA

DC

DC

CB

CB

BA

BA



∠D1A1B1=∠D2A2B2,∠B1=∠B2.

∠B1C1D1=∠B2C2D2,∠D1=∠D2.

在△A1B1C1与△A2B2C2中

∵

22

11

22

11

CB

CB

BA

BA

∠B1=∠B2.

∴△A1B1C1∽△A2B2C2.

∴

22

11

BA

BA

=k.

同理可知，△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比为k.

（3）∵△A1B1C1∽△A2B2C2,△A1C1D1∽△A2C2D2.

2

2

222222

222222

)(

k

SS

SSk

DCACBA

DCACBA









照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.

由此可知：

相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

4.做一做

投影片（§C）

图4－46是某城市地图的一部分，比例尺为1∶100000.

（1）设法求出图上环形快速路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长度.

（2）估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流.

图4－46

解：（1）量出图上距离约为20cm，则实际长度约为20千米.

（2）图上区域围成的面积约为cm2.根据相似多边形面积的比等于相似比1∶100000

的平方，则实际区域的面积约为平方千米.

Ⅲ.随堂练习

投影片（§D）

在设计图上，某城市中心有一个矩形广场，设计图的比例尺是1∶10000,图上矩形与

实际矩形相似吗？如果相似，它们的相似比是多少？图上矩形与实际矩形的周长比是多

少？面积比呢？

答案：相似，相似比是1∶10000.

周长比是1∶10000.

面积比是1∶100002.

Ⅳ.课时小结

本节课我们重点研究了相似多边形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比

都等于相似比，面积比等于相似比的平方.

Ⅴ.课后作业

习题

预习位似图形的定义、性质.

Ⅵ.活动与探究

如图4－47已知，M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面

积与平行四边形ABCD的面积比是多少？

图4－47

过程：这是一道综合性较高的题目，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定

理等，所以让学生进行讨论、总结，利用所学知识解决这个问题.

讨论结果：

作DN⊥AB于N，过E作GF⊥AB于F.

∵M为AB中点

∴S△AMD=S△DMB=

2

1

S△ABD=

4

1

S□ABCD

∵S△MBD=S△MBC（同底等高的两个三角形面积相等）.

∴S△MBD－S△MBE=S△MBC－S△MBE即S△DME=S△CBE

因此图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比是

3

1

.

●板书设计

§相似多边形的性质（二）

一、1.做一做

2.想一想

3.议一议

4.做一做

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

●备课资料

参考例题

［例1］如图４－48，在△ABC中EF∥BC且EF=

3

2

BC=2cm，

△AEF的周长为10cm，求梯形BCFE的周长.

图4－48

解：∵EF=

3

2

BC

∴

3

2



BC

EF

∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC

3

2







BC

EF

ABC

AEF

周长

周长

∴

3

210



周长ABC

∴△ABC周长=15（cm）

∴梯形BCF的周长=△ABC的周长－△AEF的周长+2EF=15－10+4=9（cm）

［例2］如图4－49△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S△ABC=4∶9

（1）求AE∶EC;

（2）求S△ADE∶S△CDE.

图4－49

解：（1）∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

又∵

9

4







ABC

ADE

S

S

∴

3

2



AC

AE

∴

2

3



AE

AC

2

1





AE

AEAC

即

2

1



AE

EC

∴AE∶EC=2∶1

（2）连结CD，过D作DH⊥AC交AC于H

1

2

2

1

2

1













CE

AE

DHCE

DHAE

S

S

CDE

ADE

参考练习

如图4－50平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点F，已知BE∶EC=3∶1，

S△FBE=18,求S△FDA.

图4－50

答案：32

§相似多边形的周长比和面积比

班级：_______姓名：_______

一、请你填一填

（1）若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那

么它们的相似比是________,△A′B′C′的周长是________.

图4—8—1

（2）两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长

是________.

（3）如图4—8—1，在ABCD中，延长AB到E，使BE=

2

1

AB，延长CD到F，使DF=DC，

EF交BC于G，交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是________.

（4）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的

2

1

倍，那么边

长应缩小到原来的________倍.

二、认真选一选

(1)如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形

AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（）

∶1B.

3

∶1C.2∶1∶1

图4—8—2图4—8—3

(2)如图4—8—3，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，△ADE和四边形BCED

的面积分别记为S1、S2，那么

2

1

S

S

的值为（）

A.

2

1

B.

4

1

C.

3

1

D.

3

2

图4—8—4

(3)如图4—8—4，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB∶AC

等于（）

∶3∶4∶

3

∶2

(4)顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（）

∶4∶3∶

2

∶2

三、灵机一动！哇……

某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶

200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.

四、用数学眼光看世界

如图4—8—5，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12cm，高AD=8cm，现在要

把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC

上，问这个正方形材料的边长是多少？

图4—8—5

参考答案

一、（1）2∶5(2)75(3)1∶16(4)

2

2

二、（1）C(2)C(3)C(4)D

三、解：设这块矩形绿地的面积为S，在甲、乙两张规划图上的面积分别为S1、S2

则

S

S

1=（

200

1

）2，

S

S

2=（

500

1

）2

∴S1=

40000

S

，S2=

250000

S

∴S1∶S2=

40000

S

∶

250000

S

=

4

1

∶

25

1

=25∶4

即：这块草地在甲、乙两张图上的面积比为25∶4

四、解：设这个正方形材料的边长为xcm

则△PAN的边PN上的高为（8－x）cm

∵由已知得：△APN∽△ABC

∴

BC

PN

=

AD

x8

，即

12

x

=

8

8x

解得：x=

答：这个正方形材料的边长为cm.