收到基

第３７卷第４期 ｌ 西南民族大学学报・自然 学版

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Ｊｏｕｍａ ｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ Ｎａｔｕｒａ ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ

１．２ｏ１１

ｌ ・ ｌ

文章编号：１００３－２８４３（２Ｏｌ １）０４—０５１９・０２

扩充基定理的应用

王明军

（渭南师范学院数学与信息科学系，陕西渭南７１４０００）

摘要：基的扩充定理是高等代数中研究及解决问题的一个重要工具，有着广泛的应用．本文利用扩充基定理证明了推

广后的维数公式，并且证明了满足一定条件的线性变换和基的存在性．

关键词：基；维数；扩充基定ＪＥ；线性空间；线性变换

中图分类号：Ｏ１５１．１ 文献标志码：Ａ

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３—２４８３，２０ｌ１。Ｏ７．０６

１扩充基定理及证明

基的扩充定理是高等代数中非常重要的一个定理，在文献［１・４】中都可以找到这个定理及其证明．

定理Ｉｖ／维线性空间 中，任意一个线性无关的向量组 ， ２，…， 都可以扩充成 的基．

证明：若厂＜ ，Ｖ中必有向量届不能由 ｌ， ２，…， 线性表示．否则， ｌ， ２，…， 是Ｖ的基，于是

ｄｉｍＶ＝，．，而ｒ＜ 与条件矛盾．所以 ｌ， ２，…， ，， 线性无关，若ｒ＋１＜ ，重复上述过程，如此进行下去，，－／￣Ｎ

线性无关的向量组 ， ２，…， ， ， ，．．．， 这里 ＋Ｓ＝ ，故 １， ２，…， ，， ， ，．．．， 是线性空间Ｖ的基．

２应用

基的扩充定理在许多证明题中有着非常广泛的应用，维数公式就是用该定理来证明的．下面给出基的扩充定

理在三个方面的应用．

应用１设（）－为线性空间Ｖ的线性变换，Ｗ是Ｖ的一个有限维子空间，记（）－（ ）＝｛（）－ ）ｌ ∈Ｗ）．则：

ｄｉｍ（ｏ－（Ｗ））＋ｄｉｍ（Ｋｅｒ（ｃｒ）ｎ ｒｖ）＝ｄｉｍＷ

证明：设ｄｉｍ（Ｋｅｒ（ｃｒ）ｎ ）＝ｒ，取Ｋｅｒ（ｏｒ）ｎ Ｗ的一组基 ｌ，Ｏｆ２，…， ，，将它扩充成 的一个基

ａ＇ｌ， ２，…，Ｏｆ，， ｒ＋ｌ，…， ｓ，即ｄｉｍＷ＝Ｓ．

从而 ｃｒ（ｃｒ￣）＝（）Ｉ（ ２）：…＝ （ ）＝０．

且 （）－（ ）＝Ｌ（ａ（ａ１），（）－（ ２），…，（）－（ ，）， （ ，＋１），…，ａ（ａ ））．

设ａｒ＋ｌ（）．（ ＋１）＋…＋ａｓＯ＇＠Ｚｓ）＝０，则（）＿（口Ｈ１ ＋ｌ＋…＋ａｓａｓ）＝０，

即ａｒ＋１６￣ｒ＋１＋…＋ ∈Ｋｅｒ（ｏ＇）ｆ＂ｌＷ．故它可由Ｋｅｒ（ｏ＇）￣Ｗ的基 ， ２，…， 线性表出．

令ａｒ＋１ 川＋…＋ ＝ａｌ ＋ａ２ ＋…＋ａｓ ， ｐ

口ｌ ｌ＋ ２口２＋…－＇Ｆａｓ￣ —ａｒ＋ｌ￣，＋１一…一 ＝０．

但 ｌ， ２，…， ，口，＋ｌ，…， 线性无关，所以ａ ＝…：ａ ＝０．

由此得ａ（ａ ），…， （ ）是（，－（ ）的一组基．

收稿日期：２０１１．Ｏ４—１Ｏ

作者简介：王明军（１９７２．），男，陕西合阳人，讲师，研究方向：数论．陕西省渭南师范学院数学与信息科学系．邮箱：

ｍｉｎ￣ｕｎ０８＠１ ６３．ｃｏｒｎ

基金项目：陕西省教育厅科研项目

５２０ 西南民族大学学报・自然科学版 第３７卷

所以ｄｉｍ（ｏｒ（Ｗ））＋ｄｉｍ（Ｋｅｒ（ｃｒ）ｎ Ｗ）＝（ 一，．）＋，．＝ｄｉｍ Ｗ．

应用２设 ， 是／７维线性空问 的任意两个子空间，维数之和等于／７．证明：存在线性变换 使

（）－（ ）＝ ，Ｋｅｒ（ｃｒ）＝ ．

证明：当 ， 中有平凡子空间时，结论显然．

当 ， 中没有平凡子空间时，由条件可设ｄｉｍ ＝ ，ｄｉｍ ＝／７一Ｓ， ｌ，口２，…， 是 的一组基，

小…， 是 的一组基．将 的这组基扩充为Ｖ的一组基 ，…， ， …，

对任意 ＝∑ ， 令ｃｒ（ａ）＝∑ ，．

易知（）－是Ｖ的一个线性变换，且（）Ｉ（ ）＝ 。，…，（）－（ ）＝ ，（）Ｉ（ ＋。）：０，…，（）Ｉ（ ）＝０．

从而ｃｒ（ｖ）＝ （ （ ），…，ｃｒ（ ），（）－（ ＋１），…，（）－（ ））＝Ｌ（ａ１， ２，…， ）＝ ．

另一方面，由 …， ∈Ｋｅｒ（ｃｒ），知 ＝ （ ＋１，…， ） Ｋｅｒ（ｃｒ），

再设 ＝∑砖 ∈Ｋｅｒ（ｃｒ），则有（）＿（ ）＝∑ ＝０，而 ， ，…， 线性无关，

Ｉ １

故ｋｉ＝ｋ２＝…＝ｋｓ＝０，从而有 ＝∑ ，即Ｋｅｒ（ｃｒ） （ ＋ｌ，…， ）＝ ．

ｉ＝ｓ＋ｌ

所以有Ｋｅｒ（ｃｒ）＝ ．

应用３设（）－是 维线性空间 的线性变换．若（）－的秩为ｒ，则可适当选取 的一个基，使（）＿在这个基下的

矩阵为Ａ＝（Ｐ， ＿ｒ１），其中Ｐ的列向量组线性无关；又可适当选取 的一个基，使在这组基下的矩阵为

厂 ｏ ］

＝Ｉ ｎ～ ｆ，其中Ｏ的行向量组线性无关（ ＿ｒ）， … 均表示零矩阵）． Ｌ

（ｎ—ｒ）×＂ｊ

证明：因为ｄｉｍｃｒ（Ｖ）＋ｄｉｍｃｒ （０）＝／７，ｄｉｍｃｒ（Ｖ）＝ｒ，所以ｄｉｍｃｒ叫（０）＝，２一，．．

取（）－ （Ｏ）的一个基 ＋．，…， ，并扩充为 的一个基 ，…， ， …， ，

由（）＿（ ，）＝０ （ ＝ ＋１，…，，２）

故（）－在基 ，…， ， …， 下的矩阵为：Ａ＝（Ｐ， ），其中Ｐ的列向量组线性无关．

取ｏ－（ｖ）＝Ｉｍ（ｃｒ）的一个基 ， ２，…，ａ＇ｒ，并扩充为Ｖ的一个基 ，…， ，， ｒ＋ｌ，…， ，由

（）＿（ ）∈ （ ）． 在基 一， ，， 川，…， 下的矩阵为：ＢＴ＝（Ｑ，Ｑ（ｎ．ｒ） ｎ），其中Ｏ的列向量组线性无关．

参考文献：

［１】 许甫华，张贤科．高等代数学【Ｍ】．北京：清华大学出版社，１９９８．

［２】２ 姚慕生．高等代数【Ｍ】．上海：复旦大学出版社，２００２．

［３】许甫华，张贤科．高等代数解题方法【Ｍ】．北京：清华大学出版社，２００１．

【４】钱吉林．高等代数题解精粹【Ｍ】．北京：中央民族大学出版社，２００２．

Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｂａｓｉｓ

ＷＡＮＧＭｉｎｇ－ｊｕｎ

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｗｅｉｎａｎ Ｔｅａｃｈｅｒ’Ｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，

Ｗｅｉｎａｎ ７ １ ４０００，ＲＲ．Ｃ．）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｂａｓｉｓ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏｏｌ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ａｌｇｅｂｒａ ｓｔｕｄｉｅｓ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ

ｏｆ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｂａｓｉｓ，ｔｈｅ ｔｅｘｔ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｐｏｐｕｌａｒｉｚｅｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｂａｓｉｓ

－ｍｅｅｔｉｎｇ ｓｐｅｃｉａｌ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂａｓｉｓ；ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ；ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｂａｓｉｓ；ｌｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅ；ｌｉｎｅａｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ