数学六年级

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小学六年级数学知识点归纳

六年级上册

知识点概念总结

1.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。

2.分数乘法的计算法则：

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相

乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。

3.分数乘法意义

分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运

算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。

4.分数乘整数：数形结合、转化化归

5.倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。

6.分数的倒数

找一个分数的倒数，例如3/4把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来

的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是

3/4的倒数。

7.整数的倒数

找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1，再把12/1这个分数

的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12，

12是1/12的倒数。

8.小数的倒数：

普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25，把0.25化成分数，即1/4，再把

1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则

是4/1

9.用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25，1/0.25等于4，所以0.25

的倒数4，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。

10.分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。

11.分数除法计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

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12.分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因

数求另一个因数。

13.分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单

位1用除法。

14.比和比例：

比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以

用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；比

例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：

a:b=c:d）。

所以，比和比例的联系就可以说成是：比是比例的一部分；而比例是由至少两个

比值相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4

项,前项后项各2个.

15.比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。

比的性质用于化简比。

比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。

比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。

16.比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于

解比例。

17.比和比例的区别

(1)意义、项数、各部分名称不同。比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和

后项。如：a:b这是比比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和

两个内项。a:b=3:4这是比例。

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(2)比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。比的性质：比的前项和

后项都乘或除以一个不为零的数。比值不变。比例的性质：在比例里，两个外项的乘

积等于两个内项的乘积相等。比例的性质用于解比例。联系：比例是由两个相等的

比组成。

18.比和比例的意义

比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的式

子是叫做比例。比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，

有四项。因此，比和比例的意义也有所不同。而且，比号没有括号的含义而另一种

形式，分数有括号的含义！

19.比和比例的联系：

比和比例有着密切联系。比是研究两个量之间的关系，所以它有两项；比例是

研究相关联的两种量中两组相对应数的关系，所以比例是由四项组成。比例是由比

组成的，如果没有两种量的比，比例就不会存在。比例是比的发展，如果把比例式中

右边的比看成一个数，比和比例此时又可以统一起来。如果两个比相等，那么这两

个比就可以组成比例。成比例的两个比的比值一定相等。

20.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

21.圆心：圆任意两条对称轴的交点为圆心。注：圆心一般符号O表示

22.直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表

示。

23.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

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圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

24.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

25.圆周率：圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环

小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

26.圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2;，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也

相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，

所对的弦心距也相等。

27.周长计算公式

（1）已知直径：C=πd

（2）已知半径：C=2πr

（3）已知周长：D=c/π

（4）圆周长的一半:1/2周长(曲线)

（5）半圆的周长：1/2周长+直径（π÷2+1）

28.面积计算公式：

（1）已知半径：S=πr2

（2）已知直径：S=π(d/2)2

（3）已知周长：S=π[c÷(2π)]2

29.百分数与分数的区别

（1）意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示

两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。因此，百分数后面不能带单位名称。

分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数还可以表

示两数之间的倍数关系.

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（2）应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比

较。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。

（3）书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”来表示。因

此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是

自然数，也可以是小数。

而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算

结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。任何

一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的

意义.

（4）百分数不能带单位名称；当分数表示具体数时可带单位名称。

30.百分数应用

百分数一般有三种情况：①100%以上，如：增长率、增产率等。②100%以下，

如：发芽率、成长率等。③刚好100%，如：正确率，合格率等。

31.百分数的意义

百分数只可以表示分率，而不能表示具体量,所以不能带单位。百分数概念的形

成应以学生实际生活中的事例或工农业生产中的事例引入。

32.日常应用

每天在电视里的天气预报节目中，都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降

水概率等，提示大家提前做好准备，就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有

五~六级大风，降水概率是10%，早晚应增加衣服。20%、10%让人一目了然，既清楚又

简练。

知识点扩展

1.圆的定义

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆

心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，

简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

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2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小

于半圆的弧称为劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做

弦。圆中最长的弦为直径。

3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别

与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4.内心和外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个

扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

6.圆的种类：（1）整体圆形，（2）弧形圆，（3）扁圆，（4）椭形圆，（5）缠丝

圆，（6）螺旋圆，（7）圆中圆、圆外圆，（8）重圆，（9）横圆，（10）竖圆，（11）

斜圆。

7.圆和其他图形的位置关系：圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，

则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO=r；P在⊙O内，0≤

PO

8.百分数的由来

200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根

绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成

三等份，每份是7/3米，就是一种新的数，我们把它叫做分数。而后，人们在分数的

基础上又以100做基数，发明了百分数。

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六年级下册

知识点归纳总结

1.负数：负数是数学术语，指小于0的实数，如−3。

任何正数前加上负号都等于负数。在数轴线上，负数都在0的左侧，所有的负数都比

自然数小。负数用负号“－”标记，如−2，−5.33，−45，−0.6等。

2.正数：大于0的数叫正数(不包括0）

若一个数大于零（>0），则称它是一个正数。正数的前面可以加上正号“+”来

表示。正数有无数个，其中分正整数,正分数和正无理数。

3.正数的几何意义:数轴上0右边的数叫做正数

4.数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。

所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。

5.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。

6.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

即AG矩形的一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。

其中AG叫做圆柱的轴，AG的长度叫做圆柱的高，所有平行于AG的线段叫做圆柱的母

线，DA和D'G旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面，DD'旋转形成的曲面叫做圆柱的侧

面。

7.圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。设一个圆柱底面半径

为r，高为h，则体积V：V=πr2h；如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh

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8.圆柱的侧面积：圆柱的侧面积=底面的周长*高，S侧=Ch（注：c为πd)

圆柱的两个圆面叫做底面（又分上底和下底）；圆柱有一个曲面，叫做侧面；两个底

面之间的距离叫做高（高有无数条）。

特征：圆柱的底面都是圆，并且大小一样。

9.圆锥解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆

锥。

10.圆锥立体几何定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成

的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。

11.圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积

等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。

根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh），得出圆锥体积公式：V=1/3Sh

S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径

12.圆锥体展开图的绘制：圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的

底面）组成。(如右图）在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a（母线长）和d（底

面直径）

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13.圆锥的表面积：一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积。

圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。

S=πR2(n/360)+πr2或(1/2)αR2+πr2(此n为角度制,α为弧度制,α=π(n/180)

14.圆柱与圆锥的关系：与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。

体积和高相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍。

体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍。

底面积和高不相等的圆柱圆锥不相等。

15.生活中的圆锥：生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子。圆锥在日常生活

中也是不可或缺的。

16.比的意义

（1）两个数相除又叫做两个数的比

（2）“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后

项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

（5）比的后项不能是零。

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（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分

数值。

17.比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比

的基本性质。

18.求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整

数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、

后项是互质的数。

19.比例尺：图上距离：实际距离=比例尺

要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距

离。

线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

20.按比例分配：

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的

方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

21.比例的意义：比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

22.比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。

23.解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中

的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

24.成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中

相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做

正比例关系。用字母表示y/x=k(一定）

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25.成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中

相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用

字母表示x×y=k(一定)

26.统计表：把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格

就叫做统计表。

27.统计组成部分：一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明

和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

28.统计种类：

单式统计表：只含有一个项目的统计表。

复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。

百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分

比的统计表。

29.统计表制作步骤：

（1）搜集数据

（2）整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。

（3）设计草表：要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏

各需几格，每格长度。

（4）正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统

计表的名称和制表日期。

30.统计图：用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。

31.条形统计图

（1）用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些

直线按一定的顺序排列起来。

（2）优点：很容易看出各种数量的多少。注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。

（3）取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定

（4）复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日

期下面注明图例。

（5）制作条形统计图的一般步骤:

a)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

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b)在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。

c)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示

多少。

d)按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。

32.折线统计图

（1）用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次

连接起来。

（2）优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。注意：

折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份

的间隔来确定。

（3）制作折线统计图的一般步骤:

a)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

b)在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。

c)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示

多少。

d)按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。

33.扇形统计图

（1）用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。

（2）优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。

（3）制扇形统计图的一般步骤：

a)先算出各部分数量占总量的百分之几。

b)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。

c)取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各

个扇形。

d)在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜

色或条纹把各个扇形区别开。

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小学数学公式大全

一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式

长方形的周长=（长+宽）×2C=(a+b)×2

正方形的周长=边长×4C=4a

长方形的面积=长×宽S=ab

正方形的面积=边长×边长S=a.a=a

三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2

平行四边形的面积=底×高S=ah

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2S=（a＋b）h÷2

直径=半径×2d=2r半径=直径÷2r=d÷2

圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr

圆的面积=圆周率×半径×半径

三角形的面积＝底×高÷2。公式S=a×h÷2

正方形的面积＝边长×边长公式S=a×a

长方形的面积＝长×宽公式S=a×b

平行四边形的面积＝底×高公式S=a×h

梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2公式S=(a+b)h÷2

内角和：三角形的内角和＝180度。

长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh

长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh

正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa

圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr

圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2

圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh

＝2πrh

圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公

式：S=ch+2s=ch+2πr2

圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh

圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh

分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母

的分数相加减，先通分，然后再加减。

分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。

分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

二、单位换算

（1）1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米1分米＝10厘米1厘米

＝10毫米

（2）1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平

方毫米

（3）1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000

立方毫米

（4）1吨＝1000千克1千克=1000克=1公斤=2市斤

（5）1公顷＝10000平方米1亩＝666.666平方米

（6）1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米

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（7）1元=10角1角=10分1元=100分

（8）1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:135781012月小月(30天)

的有:46911月

平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天1日=24小

时1时=60分

1分=60秒1时=3600秒

三、数量关系计算公式方面

1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数

2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数

3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度

4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价

5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工

作时间＝工作效率

6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数

7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数

8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数

9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数

四、算术方面

1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。

2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同

第

三个数相加，和不变。

3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

4．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和

第三个数相乘，它们的积不变。

5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，

再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5。

6．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商

不变。0除以任何不是0的数都得0。

7．等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本

性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。

8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。

9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一

元一次方程式。

学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。

10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。

11．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分

母的分数相加减，先通分，然后再加减。

12．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分

母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

13．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

14．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。

15．分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

16．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

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17．假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大

于或等于1。

18．带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。

19．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），

分数的大小不变。

20．一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。

21．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

五、特殊问题

和差问题的公式

(和＋差)÷2＝大数

(和－差)÷2＝小数

和倍问题

和÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数

(或者和－小数＝大数)

差倍问题

差÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数

(或小数＋差＝大数)

植树问题

1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

（1）如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数－1)

株距＝全长÷(株数－1)

（2）如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

（3）如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数＋1)

株距＝全长÷(株数＋1)

2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

盈亏问题

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

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速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

流水问题

（1）一般公式：

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2

水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

（2）两船相向航行的公式：

甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度

（3）两船同向航行的公式：

后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度

浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润与折扣问题

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－5%)

工程问题

（1）一般公式：

工作效率×工作时间=工作总量

工作总量÷工作时间=工作效率

工作总量÷工作效率=工作时间

（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：

1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几

1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间

附赠材料优秀的教学是练出来的

在上一堂课里,你已经学会了区分高效教学法和低效

教学法之间的区别。现在,我们还要继续巩固这一概念。在高

17

效教学法和低效教学法之间,是否存在一个灰色的中间地带

呢?是的,这个灰色地带确实存在。如果能带领那些还不够高

效的教师们进人这一中间地带,那也是很大的进步。当然,本

课的主要目的是发掘出教师的最大潜力,以最终实现高效教

学。如果能成功做到这一点,那么你最终会发现学生的表现有

了显著的提高。

显而易见,教师能力的优劣会直接影响到学生的表现。教师越

优秀,学生的表现就越好。

课程：

首先,我们回顾一下上一节课所学的如何区分高效和低

效教学上一节课,我已经要求你总结出自身存在的弱项,并且

在课后进行针对性的练习。今天,请你仔细思考,在下面列举

的教学情景中高效和低效的教师将如何做出不同的应对措

施。

高效教学与低效教学实践

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一个学生在课堂上一直和其他学生聊天。他这个举动非

常明显,必须及时制止。面对这个情形时,低效的教师会如何

应对?高效的教师又会如何应对?

一个学生在课堂上不断发出声响,这个声音越来越吵,并

且影响到了班级里的其他学生。低效的教师会如何应对?高效

的教师又会如何应对

一个学生总是没有完成课后布置的家庭作业。对这个学

生低效的教师会如何应对?高效的教师又会如何应对?

一个学生总是随便讲话。教师在讲课的时候她讲话,同

学们在做课堂练习的时候她讲话,午餐之前大家都应该安静

等待的时候她也在讲话,在类似的其他场合她也经常随便讲

话。面对这个情形低效的教师会如何应对?高效的教师又会如

何应对?

学校准备开展一个新的教学项目,大家都不清楚这个项

目效果如何。为了顺利实施该项目,部分教师将被挑选出来进

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行培训培训过程很可能十分艰苦。面对新项目的挑战,低效的

教师会如何应对?高效的教师又会如何应对?

当你回答完这些问题时,你一定会明白:高效的教师一定

是个冷静、专业、细心的教师。你愿意做这样的教师吗?如果

愿意,那么就拿出你的实际行动来吧!

实践：

将你今天的感悟记录下来,这样可以让你意识到,自己之

前的处理方式哪些是低效的手段,哪些是高效的手段。在这之

后,你的教学技能将会变得更加丰富。