相似三角形判定定理

初中数学相似三角形定理知识点总结

第一篇：初中数学相似三角形定理知识点总结

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实

是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形

中，边、角的关系。下面是小编为大家带来的初中数学相似三角形定

理知识点总结，欢迎阅读。

相似三角形定理

1.相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，

所截成的三角形与原三角形相似。

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”

的条件改为“对应边

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的

用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握

的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形

的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的

比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么

△ABC∽A2B2C2

第二篇：初中数学知识点总结：相似三角形

知识点总结

一、平行线分线段成比例定理及其推论：

1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所

得的对应线段成比例。

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)

所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

二、相似预备定理：

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角

形的三边与原三角形三边对应成比例。

三、相似三角形：

1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；

（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比

等于高之比；②要注意两个图形元素的对应。

3.判定定理：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似；

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角

形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。四、

三角形相似的证题思路：

五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：

一定：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；

二找：再找出两个三角形相似所需的条件；

三证：根据分析，写出证明过程。

如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引

平行线等。

六、相似与全等：

全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三

角形的特例，它们之间的区别与联系：

1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形

的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。

2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，

所以改对应边相等成对应边成比例。

常见考法

（1）利用判定定理证明三角形相似；（2）利用三角形相似解决

圆、函数的有关问题。

误区提醒

（1）根据相似三角形找对应边时，出现失误找错对应边，因此在

写比例式时出错，导致解题错误信息；（2）在定理的实际应用中，常

常忽视夹角相等这个重条件，错误认为有两边对应比相等，再有一组

角相等，就能得到两个三角形相似。

第三篇：相似三角形-知识点总结

第一节

相似形与相似三角形

基本概念：

1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它

们互为相似形。

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做

相似三角形。

1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）

（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对

应线段成比例.已知a∥b∥c,A

D

a

B

E

b

C

F

c

可得

等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长

线)所得的对应线段成比例.A

D

E

B

C

由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）

推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的

对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一

种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三

角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角

形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，

所构成的三角形与原三角形相似。

②比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与

d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比

例线段。

2．比例的有关性质

①比例的基本性质：如果，那么ad=bc。如果ad=bc（a，b，c，

d都不等于0），那么。

②合比性质：如果，那么。

③等比性质：如果==(b+d++n≠0)，那么

④b是线段a、d的比例中项，则b2＝ad.典例剖析

例1：①

在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约

7cm，则它的实际长度约为______Km.②

若

=

则=__________.③

若

=

则a：b=__________.3．

相似三角形的判定

（1）

如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那

么这两个三角形相似。

（2）

两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

（3）

三边对应成比例的两个三角形相似。

补充：相似三角形的识别方法

(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长

线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)

(3)三边对应成比例的两个三角形相似。

(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

(5)两角对应相等的两个三角形相似。

(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。

(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

【基础练习】

（1）如图1，当

时，△ABC∽

△ADE

（2）如图2，当

时，△ABC∽

△AED。

（3）如图3，当

时，△ABC∽

△ACD。

小结：以上三类归为基本图形：母子型或A型

（3）如图4，如图1，当AB∥ED时，则△

∽△。

（4）如图5，当

时，则△

∽△。

小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X型

典例剖析

例1：判断

①所有的等腰三角形都相似．

（）

②所有的直角三角形都相似．

（）

③所有的等边三角形都相似．

（）

④所有的等腰直角三角形都相似．

（）

例2：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分

线交AD于E,交BC的延长线于F

求证：

△ABF∽

△CAF.例3：如图：在Rt

△

ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若

AB=6

；AD=2；

则AC=

；BD=

；BC=；

例3：如图：在Rt

△

ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若E是BC中点，ED的延

长线交BA的延长线于F，求证：AB

:

AC=DF

:

BF

第二节

相似三角形的判定

(一)相似三角形：定义

1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．

温馨提示：

①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角

对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似

三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；

②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；

③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。

④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．

温馨提示：

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角

形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要

求对应边成比例．

②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似

比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有

k=k′=1．

③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质

它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得

出．

3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那

么这两个多边形叫做相似多边形．

4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，

且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的

三角形与原三角形相似．

温馨提示：

①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：

∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定

理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个

判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；

③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比

例”，还要想到“见平行，想相似”．

(二)相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．

判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．

温馨提示：

①有平行线时，用上节学习的预备定理；

②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利

用判定定理1或判定定理2；

③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理

3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两

边的夹角对应相等．

例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线

交AB于D

点，与AC的延长线将于F点，且FD=3ED，求证：AF=3CF2、

直角三角形相似的判定：

斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

温馨提示：

①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角

形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对

应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相

似；

②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，

可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．

③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则

△ABC∽△CBD∽△ACD．

直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB

CD2=AD*BD

BC2=BD*AB

总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的

一项基本功．通常有以下几种方法：

(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的

对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角

形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的

夹边是对应边；

(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对

应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．

2、常见的相似三角形的基本图形：

学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明

三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高

的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，

形成一整套完整的判定方法．如：

(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想

相似”是解这类题的基本思路；

(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共

角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”

是解这类题的基本思路；

(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或

∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A

旋转某一角度而形成的．

第三节

相似三角形中的辅助线

一、作平行线

例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，

DE延长线与BC延长线相交于F，求证：