双曲线的方程

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课题:双曲线的标准方程

[教学目标]:

掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据条件求双曲线的标准方程.

教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.

3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问

题、分析问题、解决问题的能力.

[教学重点]:双曲线的定义、标准方程及其简单应用

[教学难点]:双曲线标准方程的推导

[授课类型]：新授课

[课时安排]：1课时

[教具]：多媒体、实物投影仪

[教学过程]:

(1)复习提问：

(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题1：椭圆的定义是什么？

问题2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和〞改为“距离的差〞，那么点的轨迹

会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？

(2)探究新知:

(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟

实验，思考以下问题。

(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？

②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？

③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？

〔请学生回答：应小于|F1F2|且大于零，当常数等于|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两

条射线；当常数大于|F1F2|时，无轨迹〕

引导学生概括出双曲线的定义：

定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数〔小于<|F1F2|〕的点轨迹叫做

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双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。〔投影〕

概念中几个关键词：“平面内〞、“距离的差的绝对值〞、“常数小于

21

FF〞

2.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回

忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导〔教师使用多媒体演

示〕

〔1〕建系

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。

(2)设点

设M〔x,y〕为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c〔c>0〕，那么F1〔－c，0〕、

F2〔c，0〕，又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a〔2a<2c〕.

〔3〕列式

由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}.

即:

〔4〕化简方程

由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：

移项两边平方得

两边再平方后整理得

由双曲线定义知

这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1〔-c，

0〕、F2〔c，0〕，

思考:双曲线的焦点F1〔0,－c〕、F2〔0,c〕在y轴上的标准方程是什么?

,22

2

2

2aycxycx

aycxycx22

2

2

2

2

2

2ycxaacx

22222222acayaxac

)0,0(1

)0(,0,22

2

2

2

2

22222





ba

b

y

a

x

bbacacacac

代入上式整理得

设即

y

Ox

M

F

1

F

2

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学生得到:双曲线的标准方程:)0(,1

2

2

2

2

ba

b

x

a

y

.

注:

(1)双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

焦点在

x

轴上时双曲线的标准方程为：1

2

2

2

2



b

y

a

x

(0a,0b)；

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：1

2

2

2

2



b

x

a

y

(0a,0b)

②cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba

其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x、2y项

的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据

项的正负来判断焦点所在的位置，即2x项的系数是正的，那么焦点在

x

轴上；2y项的系数

是正的，那么焦点在y轴上

例1双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(

21

FF，，双曲线上一点P到

21

FF，的距离之差的

绝对值等于8，求双曲线标准方程

解：因为双曲线的焦点在

x

轴上，所以设它的标准方程为

1

2

2

2

2



b

y

a

x

(0a,0b)

∵102,82ca∴5,4ca∴1645222b

所求双曲线标准方程为1

169

22



yx

变式1:假设|PF1|-|PF2|=6呢？

变式2:假设||PF1|-|PF2||=8呢？

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变式3:假设||PF1|-|PF2||=10呢？

四.课堂小结:

双曲线的两类标准方程是)0,0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

焦点在

x

轴上，

)0,0(1

2

2

2

2

ba

b

x

a

y

焦点在y轴上,cba,,有关系式222bac成立，且

0,0,0cba其中a与b的大小关系:可以为bababa,,