重示

用心爱心专心121号编辑1

高考数学重点提示之十一

数学归纳法

一.知识体系

1、明确数学归纳法证题的步骤，证题时一定要按步骤顺次进行。

2、理解数学归纳法证题可行的理论依据，这里所体现的是一种递推关系，主要体现在初始

值0

n

成立后由

kn

成立到

1kn

也成立的顺次递推。

3、准确无误地把握数学归纳法证题的关键步骤。即由假设

kn

成立推证

1kn

也成立

的突破方法。应从下面两点去突破：（1）明确

1kn

时命题要证什么，应在草纸上写出要证

的式子或命题，把要证的命题中的

n

用

1k

替换即行。（2）证

1kn

时应明确无误地、坚定

不移地转化到

kn

的假设式子或命题来证，也就是说一定要用

kn

的假设作为一个条件去推

证出

1kn

的命题，才能体现数学归纳法的证题思想，这是决定性要点。在这个证题过程中

可使用各种方法，如式子的拆分与合并、分析法、综合法、比较法等。最后别忘了下二个结论。

二.常见题型的通归通法思想

1、所要求证的命题或式子与自然数关，这类问题直接推证有困难时，可考虑数学归纳法。

如自然数构成的等式、不等式、数列中的项与前

n

项和构成的式子、整除问题等等。

2、有些数列通项n

a

和前

n

项和n

S

中的问题，很难用数学方法推证解出，这时可考虑求出

前几项（一般是前3、4项即可）的值，然后由前几项的规律去猜想n

a

或n

S

的规律，再用数学

归纳法证明猜想成立。这就是著名的归纳猜想思想。

三.应试题型与解题策略

1、已知

nS

n

321



2

1



nn

，观察下列表格

n

123456````````

nS

n

321

136101521`````````

2222321nT

n



1514305591````````

n

n

S

T

1

3

5

3

73

3

11

3

13````````

从以上表中猜测出n

T

的一般规律，并用适当的数学方法表示出来，并证明它。

用心爱心专心121号编辑2

2、已知下列各等式：1=1=

21

2+3+4=9=

23

3+4+5+6+7=25=

25

4+5+6+7+8+9+10=49=

27

```````````````

从这些例子中猜测所示意的一般规律，用适当的数学方法表示出来，并证明它。

3、已知数列



n

a

满足条件：

111

1



nn

anan

，

6

2

a

，令

nab

nn



（1）

写出数列



n

b

的前4项；（2）求数列



n

b

的通项公式，并用数学归纳法证明。

4、已知

)(xf

在

1,1

上有定义且

1

2

1















f

，又当

1,1,yx

时，总有

yfxf





















xy

yx

f

1

。证明：（1）

)(xf

在

1,1

上为奇函数；（2）对数列

2

1

1

x

，

2

11

2

n

n

nx

x

x







，求



n

xf

；（3）在条件（2）下，求证：



1

1

xf

+



2

1

xf

+……+



n

xf

1

>-

2

52





n

n