数学因式分解

1

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且

222abcabbcca，

则ABC的形状是（）

A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形

解：

222222222222abcabbccaabcabbcca

222()()()0abbccaabc

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用

公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，

因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两

组之间的联系。

解：原式=)()(bnbmanam

=)()(nmbnma每组之间还有公因式！

=))((banm

例2、分解因式：bxbyayax5102

解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax

2

=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax

=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba

练习：分解因式1、bcacaba22、1yxxy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ayaxyx22

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因

式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ayaxyx

=)())((yxayxyx

=))((ayxyx

例4、分解因式：

2222cbaba

解：原式=

222)2(cbaba

=22)(cba

=))((cbacba

练习：分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222

综合练习：（1）

3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22

（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622

（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244

（7）

222yyzxzxyx（8）122222abbbaa

（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2())((abbcaca

（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a≤5，且a为整数，若

223xxa能用十字相乘法分解因式，

3

求符合条件的a.

解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax

2+bx+c，都要求

24bac>0

而且是一个完全平方数。

于是98a为完全平方数，1a

例5、分解因式：652xx

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3

的分解适合，即2+3=5。12

解：652xx=32)32(2xx13

=)3)(2(xx1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数

的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672xx

解：原式=)6)(1()]6()1[(2xx1-1

=)6)(1(xx1-6

（-1）+（-6）=-7

练习5、分解因式(1)24142xx(2)36152aa(3)542xx

练习6、分解因式(1)22xx(2)1522yy(3)24102xx

（二）二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2

条件：（1）

21

aaa

1

a

1

c

（2）

21

ccc

2

a

2

c

（3）

1221

cacab

1221

cacab

分解结果：cbxax2=))((

2211

cxacxa

例7、分解因式：101132xx

分析：1-2

4

3-5

（-6）+（-5）=-11

解：101132xx=)53)(2(xx

练习7、分解因式：（1）6752xx（2）2732xx

（3）317102xx（4）101162yy

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：

221288baba

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相

乘法进行分解。

18b

1-16b

8b+(-16b)=-8b

解：

221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba

=)16)(8(baba

练习8、分解因式(1)

2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、

22672yxyx例10、2322xyyx

1-2y把xy看作一个整体1-1

2-3y1-2

(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3

解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy

练习9、分解因式：（1）

224715yxyx（2）8622axxa

综合练习10、（1）17836xx（2）

22151112yxyx

（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba

（5）

222265xyxyx（6）2634422nmnmnm

（7）3424422yxyxyx（8）

2222)(10)(23)(5bababa

（9）10364422yyxxyx（10）

2222)(2)(11)(12yxyxyx

思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222

5

五、换元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(200522xx

（2）

2)6)(3)(2)(1(xxxxx

解：（1）设2005=a，则原式=axaax)1(22

=))(1(axax

=)2005)(12005(xx

（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=

222)65)(67(xxxxx

设Axx652

，则xAxx2672

∴原式=

2)2(xAxA=222xAxA

=2)(xA=22)66(xx

练习13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx

（2）90)384)(23(22xxxx

（3）

222222)3(4)5()1(aaa

例14、分解因式（1）262234xxxx

观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，

并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=)

11

62(

2

22

x

x

xxx=6)

1

()

1

(2

2

22

x

x

x

xx

设t

x

x

1

，则2

1

2

2

2t

x

x

∴原式=6)2222ttx（=10222ttx

=2522ttx=

























2

1

5

2

22

x

x

x

xx

=

























2

1

··5

2

2·

x

xx

x

xx=1225222xxxx

=)2)(12()1(2xxx

（2）144234xxxx

解：原式=

22

2

41

(41)xxx

xx

=









































1

1

4

1

2

22

x

x

x

xx

6

设y

x

x

1

，则2

1

2

2

2y

x

x

∴原式=

22(43)xyy=2(1)(3)xyy

=)3

1

)(1

1

(2

x

x

x

xx=13122xxxx

练习14、（1）673676234xxxx

（2）)(2122234xxxxx

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）4323xx

解法1——拆项。解法2——添项。

原式=33123xx原式=444323xxxx

=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx

=)331)(1(2xxxx=)1(4)4)(1(xxxx

=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx

=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx

（2）3369xxx

解：原式=)1()1()1(369xxx

=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx

=)111)(1(3363xxxx

=)32)(1)(1(362xxxxx

练习15、分解因式

（1）893xx（2）

4224)1()1()1(xxx

（3）1724xx（4）

22412aaxxx

（5）

444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba

七、待定系数法。

例16、分解因式613622yxyxyx

分析：原式的前3项

226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式

必定可分为)2)(3(nyxmyx

解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx

∵)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622

7

∴

613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622

对比左右两边相同项的系数可得

















6

1323

1

mn

mn

nm

，解得











3

2

n

m

∴原式=)32)(23(yxyx

例17、（1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分

解此多项式。

（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((yxyx，故此多项式分解的形式必

为))((byxayx

解：设6522ymxyx=))((byxayx

则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22

比较对应的系数可得：

















6

5

ab

ab

mba

，解得：

















1

3

2

m

b

a

或

















1

3

2

m

b

a

∴当1m时，原多项式可以分解；

当1m时，原式=)3)(2(yxyx；

当1m时，原式=)3)(2(yxyx

（2）分析：823bxaxx是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，

因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。

解：设823bxaxx=))(2)(1(cxxx

则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(23

∴

















82

32

3

c

cb

ca

解得

















4

14

7

c

b

a

，

∴ba=21

练习17、（1）分解因式2910322yxyxyx

（2）分解因式6752322yxyxyx

（3）已知：pyxyxyx1463222

能分解成两个一次因式

之积，求常数p并且分解因式。

8

（4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次

因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全

经典一：

一、填空题

1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解

因式。

2分解因式：m3-4m=.

3.分解因式：x2-4y2=_______.

4、分解因式：

244xx

=_________________。

5.将xn-y

n

分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值

为.

6、若

5,6xyxy

，则

22xyxy

=_________，

2222xy

=__________。

二、选择题

7、多项式

3222315520mnmnmn

的公因式是()

A、

5mn

B、

225mn

C、

25mn

D、

25mn

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()

A、

2339aaa

B、

22ababab

C、

24545aaaa

D、

2

3

232mmmm

m









10.下列多项式能分解因式的是（）

(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4

11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）

A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）

C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）

12．下列各个分解因式中正确的是（）

A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）

9

B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）

C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）

D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）

13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）

A.2B.4C.2y2D.4y2

三、把下列各式分解因式：

14、

nxny

15、

2294nm

16、

mmnnnm

17、

3222aabab

18、

2

22416xx

19、

22)(16)(9nmnm

；

五、解答题

20、如图，在一块边长

a

=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长

b

=3.33cm

的正方形。求纸片剩余部分的面积。

10

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径

45dcm

，外径

75Dcm，

长

3lm

。利用分解因式计算浇制一节这样

的管道需要多少立方米的混凝土？(



取3.14，结果保留2位有效数字)

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。









2

42

842

16842

(1)111

(2)1111

(3)11111

(4)111111

(5)_________________________________________________

xxx

xxxx

xxxxx

xxxxxx









经典二：

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法

互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广

泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

l

d

D

11

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首

先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不

能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利

用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、

试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

例1.分解因式

xxxxx

54321

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把

xxxxx54321和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取

公因式后，再进一步分解；也可把

xx

54



，

xx

32



，

x1

分别看成一组，

此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式

()()xxxxx

54321







xxxxx

xxx

xxxxx

322

32

22

11

11

111

()()

()()

()()()

解二：原式=

()()()xxxxx

54321

12











xxxxx

xxx

xxxx

xxxxx

42

4

422

22

111

11

121

111

()()()

()()

()[()]

()()()

2.通过变形达到分解的目的

例1.分解因式

xx

3234

解一：将

3

2x

拆成

222xx

，则有

原式







xxx

xxxx

xxx

xx

322

2

2

2

24

222

22

12

()

()()()

()()

()()

解二：将常数

4

拆成

13

，则有

原式







xx

xxxxx

xxx

xx

32

2

2

2

133

11133

144

12

()

()()()()

()()

()()

3.在证明题中的应用

例：求证：多项式

()()xxx

2241021100的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：

()()xxx

2241021100







()()()()

()()()()

()()

xxxx

xxxx

xxxx

2237100

2723100

5145610022

设

yxx

25

，则

13

原式

无论取何值都有

的值一定是非负数







()()()

()

()()

yyyyy

yy

xxx

1461008164

40

41021100

22

2

22



4.因式分解中的转化思想

例：分解因式：

()()()abcabbc2

333

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c

的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B











原式()

()

()()()

ABAB

AABABBAB

ABAB

ABAB

abbcabc

333

322333

22

33

33

3

32

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要

的。

中考点拨

例1.在ABC中，三边a,b,c满足

abcabbc

222166100

求证：

acb2

证明：

abcabbc

222166100

14















aabbcbcb

abcb

abcabc

abc

abcabc

abc

acb

2222

22

6910250

350

820

880

20

2

即

，即

于是有

即

()()

()()



说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不

能丢分。

例2.已知：

x

x

x

x



1

2

1

3

3

，则

__________

解：

x

x

x

x

x

x

3

3

2

11

1

1

()()







()[()]x

x

x

x

11

21

21

2

2

说明：利用

x

x

x

x

2

2

2

11

2()

等式化繁为易。

题型展示

1.若x为任意整数，求证：

()()()734

2

xxx的值不大于100。

解：100)4)(3)(7(2xxx











()()()()

()()

[()()]

()

()()()

xxxx

xxxx

xxxx

xx

xxx

7232100

51456100

58516

540

734100

22

22

22

2

15

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大

于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形

成完全平方是一种常用的方法。

2.将

aaaa222222216742()()分解因式，并用分解结果计算。

解：

aaaa

22221()()







aaaaa

aaaa

aa

2222

222

22

21

21

1

()

()()

()

67423661431849

22222()

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟

1.分解因式：

（）

（）

131083108

233315

5432

22

xxxxx

aaaa



()()

（）

（）

323352

476

22

3

xxyyxy

xx





2.已知：

xyxyxy61

33

，，求：

的值。

16

3.矩形的周长是28cm，两边x,y使

xxyxyy

32230

，求矩形的面

积。

4.求证：

nn

35

是6的倍数。（其中n为整数）

5.已知：a、b、c是非零实数，且

abca

bc

b

ca

c

ab

2221

111111

3，()()()

，求a+b+c的值。

6.已知：a、b、c为三角形的三边，比较

abcab

222224和的大小。

经典三：因式分解练习题精选

一、填空：（30分）

1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于_____。

17

2、22)(nxmxx则m=____n=____

3、232yx与yx612的公因式是＿

4、若nmyx=))()((4222yxyxyx，则m=_______，n=_________。

5、在多项式2353515yyy中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________，其结果是_____________________。

6、若16)3(22xmx是完全平方式，则m=_______。

7、_____))(2(2(_____)2xxxx

8、已知,xxxx则.________2006x

9、若25)(162Mba是完全平方式M=________。

10、22)3(__6xxx，22)3(9___xx

11、若229ykx是完全平方式，则k=_______。

12、若442xx的值为0，则51232xx的值是________。

13、若)15)(1(152xxaxx则a=_____。

14、若6,422yxyx则xy___。

15、方程042xx，的解是________。

二、选择题：（10分）

18

1、多项式))(())((xbxaabbxxaa的公因式是（）

A、－a、B、))((bxxaaC、)(xaaD、)(axa

2、若22)32(9xkxmx，则m，k的值分别是（）

A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、

3、下列名式：4422222222,)()(,,,yxyxyxyxyx中能

用平方差公

式分解因式的有（）

A、1个，B、2个，C、3个，D、4个

4、计算)

10

1

1)(

9

1

1()

3

1

1)(

2

1

1(

2232

的值是（）

A、

2

1

B、

20

11

.,

10

1

.,

20

1

DC

三、分解因式：（30分）

1、234352xxx

2、2633xx

3、22)2(4)2(25xyyx

4、22414yxyx

5、xx5

6、13x

19

7、2axabaxbxbx2

8、811824xx

9、24369yx

10、24)4)(3)(2)(1(xxxx

四、代数式求值（15分）

1、已知

3

1

2yx，2xy，求43342yxyx的值。

2、若x、y互为相反数，且4)1()2(22yx，求x、y的值

3、已知2ba，求)(8)(22222baba的值

五、计算：（15）

（1）0.7566.2

4

3

66.3

（2）

20002001

2

1

2

1





























（3）

2244222568562

六、试说明：（8分）

20

1、对于任意自然数n，22)5()7(nn都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇

数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分）

1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果

保留两位有效数字）

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘

米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进

行了描述：

甲：这是一个三次四项式

乙：三次项系数为1，常数项为1。

丙：这个多项式前三项有公因式

丁：这个多项式分解因式时要用到公式法

若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将

它分解因式。（4分）

经典四：

因式分解

一、选择题

1、代数式a3b2

－

2

1

a2b3,

2

1

a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（）

A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b3

2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式应当

21

为（）

A、5a－10bB、5a＋10bC、5(x－y)D、y－x

3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，结果是（）

A、－4m(2m2－3m)B、－4m(2m2＋3m－1)

C、－4m(2m2－3m－1)D、－2m(4m2－6m＋2)

4、把多项式－2x4－4x2分解因式，其结果是（）

A、2(－x4－2x2)B、－2(x4＋2x2)C、－x2(2x2＋4)D、－2x2(x2＋

2)

5、（－2）1998＋（－2）1999等于（）

A、－21998B、21998C、－21999D、21999

6、把16－x4分解因式，其结果是（）

A、(2－x)4B、(4＋x2)(4－x2)

C、(4＋x2)(2＋x)(2－x)D、(2＋x)3(2－x)

7、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（）

A、a2(a2－2b2)＋b4B、(a2－b2)2C、(a－b)4D、(a＋b)2(a－b)2

8、把多项式2x2－2x＋

2

1

分解因式，其结果是（）

A、(2x－

2

1

)2B、2(x－

2

1

)2C、(x－

2

1

)2D、

2

1

(x－1)2

9、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，则k的值是（）

A、±4B、±2C、3D、4或2

10、－（2x－y）(2x＋y)是下列哪个多项式分解因式的结果（）

A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y2

11、多项式x2＋3x－54分解因式为（）

A、(x＋6)(x－9)B、(x－6)(x＋9)

C、(x＋6)(x＋9)D、(x－6)(x－9)

22

二、填空题

1、2x2－4xy－2x=_______(x－2y－1)

2、4a3b2－10a2b3=2a2b2(________)

3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)

4、m(m－n)2－(n－m)2=(__________)(__________)

5、x2－(_______)＋16y2=()2

6、x2－(_______)2=(x＋5y)(x－5y)

7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)

8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)=(x＋y－z)·(________)

9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)

10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)

11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)

12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，则p=_______.

三、解答题

1、把下列各式因式分解。

(1)x2－2x3(2)3y3－6y2＋3y

(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2(4)(x－2)2－x＋2

(5)25m2－10mn＋n2(6)12a2b(x－y)－4ab(y－x)

23

(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)(8)a2＋5a＋6

(9)x2－11x＋24(10)y2－12y－28

(11)x2＋4x－5(12)y4－3y3－28y2

2、用简便方法计算。

（1）9992＋999（2）2022－542＋256×352

(3)

7

1997

2

3、已知：x＋y=

2

1

,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。

24

四、探究创新乐园

1、若a－b=2,a－c=

2

1

,求(b－c)2＋3(b－c)＋

4

9

的值。

2、求证：1111－1110－119=119×109

经典五：

因式分解练习题

一、填空题：

2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；

25

12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；

15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．

二、选择题：

1．下列各式的因式分解结果中，正确的是

[]

A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)

B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)

26

C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)

D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)

2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于

[]

A．(n－2)(m＋m2)B．(n－2)(m－m2)

C．m(n－2)(m＋1)D．m(n－2)(m－1)

3．在下列等式中，属于因式分解的是

[]

A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn

B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1

C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)

D．x2－7x－8=x(x－7)－8

4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是

[]

A．a2＋b2B．－a2＋b2

C．－a2－b2D．－(－a2)＋b2

5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是

[]

A．－12B．±24

C．12D．±12

27

6．把多项式an+4－an+1分解得

[]

A．an(a4－a)B．an-1(a3

－1)

C．an+1(a－1)(a2－a＋1)D．an+1(a－1)(a2

＋a＋1)

7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为

[]

A．8B．7

C．10D．12

8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为

[]

A．x=1，y=3B．x=1，y=

－3

C．x=－1，y=3D．x=1，y=－3

9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得

[]

A．(m＋1)4(m＋2)2B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)

C．(m＋4)2(m－1)2D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2

10．把x2－7x－60分解因式，得

[]

28

A．(x－10)(x＋6)B．(x＋5)(x－12)

C．(x＋3)(x－20)D．(x－5)(x＋12)

11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得

[]

A．(3x＋4)(x－2)B．(3x－4)(x

＋2)

C．(3x＋4y)(x－2y)D．(3x－4y)(x

＋2y)

12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得

[]

A．(a＋11)(a－3)B．(a－11b)(a

－3b)

C．(a＋11b)(a－3b)D．(a－11b)(a

＋3b)

13．把x4－3x2＋2分解因式，得

[]

A．(x2－2)(x2－1)B．(x2－2)(x

＋1)(x－1)

C．(x2＋2)(x2＋1)D．(x2＋2)(x

＋1)(x－1)

14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为

[]

29

A．－(x＋a)(x＋b)B．(x－a)(x＋

b)

C．(x－a)(x－b)D．(x＋a)(x

＋b)

15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，

且能分解因式，这样的二次三项式是

[]

A．x2－11x－12或x2＋11x－12

B．x2－x－12或x2＋x－12

C．x2－4x－12或x2＋4x－12

D．以上都可以

16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2

＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有

[]

A．1个B．2

个

C．3个D．4

个

17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为

[]

A．(x－6y＋3)(x－6x－3)

B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)

C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3)

30

D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)

18．下列因式分解错误的是

[]

A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c)

B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)

C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2)

D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)

19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b

的关系为

[]

A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数

C．相等的数D．任意有理

数

20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是

[]

A．不能分解因式B．有因式x2＋2x

＋2

C．(xy＋2)(xy－8)D．(xy－2)(xy

－8)

21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为

[]

31

A．(a2＋b2＋ab)2B．(a2＋b2＋ab)(a2＋

b2－ab)

C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab)D．(a2＋b2－ab)2

22．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果

[]

A．3x2＋6xy－x－2yB．3x2－6xy＋x－

2y

C．x＋2y＋3x2＋6xyD．x＋2y－3x2－6xy

23．64a8－b2因式分解为

[]

A．(64a4－b)(a4＋b)B．(16a2－

b)(4a2＋b)

C．(8a4－b)(8a4＋b)D．(8a2－b)(8a4

＋b)

24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为

[]

A．(5x－y)2B．(5x＋y)2

C．(3x－2y)(3x＋2y)D．(5x－2y)2

25．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为

[]

A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2

C．(3x－2y＋1)2D．(2y－3x－1)2

32

26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为

[]

A．(3a－b)2B．(3b＋a)2

C．(3b－a)2D．(3a＋b)2

27．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为

[]

A．c(a＋b)2B．c(a－b)2

C．c2(a＋b)2D．c2(a－b)

28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为

[]

A．0B．1

C．－1D．4

29．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是

[]

A．－(a2＋b2)(3x＋4y)B．(a－b)(a＋

b)(3x＋4y)

C．(a2＋b2)(3x－4y)D．(a－b)(a＋

b)(3x－4y)

30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是

[]

33

A．2(a＋b－2c)B．2(a＋b＋

c)(a＋b－c)

C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c)D．2(a＋b＋2c)(a＋b－

2c)

三、因式分解：

1．m2(p－q)－p＋q；

2．a(ab＋bc＋ac)－abc；

3．x4－2y4－2x3y＋xy3；

4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；

5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；

6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；

7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；

8．x2－4ax＋8ab－4b2；

9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；

10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；

11．(x＋1)2－9(x－1)2；

12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；

13．ab2－ac2＋4ac－4a；

14．x3n＋y3n；

15．(x＋y)3＋125；

16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；

34

17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；

18．8(x＋y)3＋1；

19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；

20．x2＋4xy＋3y2；

21．x2＋18x－144；

22．x4＋2x2－8；

23．－m4＋18m2－17；

24．x5－2x3－8x；

25．x8＋19x5－216x2；

26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；

27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；

28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；

29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；

30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；

31．x2－y2－x－y；

32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；

33．m4＋m2＋1；

34．a2－b2＋2ac＋c2；

35．a3－ab2＋a－b；

36．625b4－(a－b)4；

35

37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；

38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；

39．m2－a2＋4ab－4b2；

40．5m－5n－m2＋2mn－n2．

四、证明(求值)：

1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．

2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．

3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．

4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac

的值．

5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．

6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两

个一次因式的乘积．

7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．

8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．