数学勾股定理

勾股定理

勾股定理（基础）

学习目标

1。掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的

两条边长求出第三条边长。

2.掌握勾股定理,能够运用勾股定理解决简单的实际问题,会运用方程思想解决问题．

3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

要点梳理

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为

，斜边长为，

那么。

要点诠释:

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建

立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的。

（3）理解勾股定理的一些变式:，,.

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1)所示的正方形.

图(1）中，所以.

方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以.

要点三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长,求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为的线段.

典型例题

类型一、勾股定理的直接应用

1、在△ABC中,∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．

（1）若＝5，＝12，求；

（2）若＝26，＝24，求．

【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．

（1）已知＝2，＝3，求；

(2）已知，＝32，求、．

类型二、勾股定理的证明

2、如图所示，在Rt△ABC中,∠C＝90°,AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明

．

类型三、利用勾股定理作长度为√n的线段

3、作长为、、的线段.

类型四、利用勾股定理解决实际问题

4、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计）,那

么筷子最长不超过多少,可正好盖上盒盖？

【变式】如图所示,一旗杆在离地面5处断裂,旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断

前有多高?

5、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点

F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（)

A．3B．4C．5D．6

巩固练习

一。选择题

1.在△ABC中，AB＝12，AC＝9,BC＝15，则△ABC的面积等于（）

A。108B。90C。180D。54

2．若直角三角形的三边长分别为2，4,，则的值可能有()

A。1个B。2个

C.3个D.4个

3。小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子

的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是()

A．12米B．10米C．8米D．6米

4．Rt△ABC中，斜边BC＝2,则的值为（）

A。8B。4C.6D.无法计算

5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于(）

A.4B。6C。8D.

6．如图,Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面

积和为()

A.150B。200

C。225D.无法计算

二.填空题

7.在直角坐标系中,点P(－2，3)到原点的距离是_______．

8．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时

甲、乙两人相距___．

9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一

条“路”，他们仅仅少走了_____路,却踩伤了花草．

10．如图，有两棵树，一棵高8,另一棵高2,两树相距8,一只小鸟从一棵树的

树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．

11．如图,直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是1、2，则

正方形的边长是______．

12。如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE

折叠，点B恰好与AC上的点重合,则AC＝______.

三。解答题

13.如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．

14。已知在三角形ABC中，∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC

的长．

15。如图，将矩形ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的

长．