一元二次方程求根

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求一元二次方程的根

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生

今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。

根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程

一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)

未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它

是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那

么这个方程就是一元二次方程。

在过去我们学了一元一次方程的解法，我们就用求一元一次解的方法来求一元二次方程

的根。一元一次方程的形式：ax+b=0

例：3x+3=0求：x。3x2+3=01、求：x2，2、求：x。

下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它

化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；

3、公式法；4、因式分解法。

下面我们看一下第一个，直接开平方法。

（1）、什么是直接开平方法：直接开平方法就是平方的逆运算

例1：用开平方法解下面的一元二次方程。

（1）；（2）

（3）（3x—4）2=121；（4）

分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如

的方程，

第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用

直接开平方法解；

第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平

方法进行解答了。

解：（1）

∴（注意不要丢解）

由得，

由得，

∴原方程的解为：，

（2）

由得，

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由得

∴原方程的解为：，

（3）（3x—4）2=121

∴，

∴

∴，

∴原方程的解为：，

（4）

∴，即

∴，

∴，

∴原方程的解为：，

说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，

像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两

边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。

（2）、例2：用配方法解下列一元二次方程。

（1）；（2）

分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项

系数化为1，

变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加

一次项系数的一半的平方，

即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，

即：，

接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时

加上一次项系数的一半的平方。

解：（1）

二次项系数化为1，移常数项得：，

配方得：，即

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直接开平方得：

∴，

∴原方程的解为：，

（2）

二次项系数化为1，移常数项得：

方程两边都加上一次项系数一半的平方得：

即

直接开平方得：

∴，

∴原方程的解为：，

说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。

配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边

同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任

务。

例4：用公式法解下列方程。

（1）；（2）

（2）分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二

次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当≥0时，把各项系数

的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当＜0时，方程无解。

第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是

否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，可变形为，

求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。

解：（1），

化为一般式：

求出判别式的值：＞0

代入求根公式：，

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∴，

（2）

化为一般式：

求出判别式的值：＞0

∴

∴，

说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般

形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，

解得的根要进行化简。

例5：用分解因式法解下列方程。

（1）；（2）

分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次

因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次

方程所得到的根，就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；

第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。

解：（1）

左边分解成两个因式的积得：

于是可得：，

∴，

（2）

化简变为一般式得：

左边分解成两个因式的积得：

于是可得：，

∴，

说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。

把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这

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是把方程降次的重要手段之一。

从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，

转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用

求根公式法。

另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方

法，找不到简单方法时，

即考虑化为一般形式后使用公式法。

总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法

适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，

而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工

具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次

方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方

法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，

同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、

分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方

程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。