平面向量

平面向量知识点总结

16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

、

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：

ababab

．

⑷运算性质：①交换律：

abba

；

②结合律：abcabc；③00aaa．

⑸坐标运算：设

11

,axy，

22

,bxy，则

1212

,abxxyy．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设

11

,axy，

22

,bxy，则

1212

,abxxyy．

】

设、两点的坐标分别为

11

,xy，

22

,xy，则

1212

,xxyy．

19、向量数乘运算：

%

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．

，

20、向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设

11

,axy，

22

,bxy，其中0b，则当且仅当

1221

0xyxy时，向量a、0bb共线．

21、平面向量基本定理：如果

1

e、

2

e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有

且只有一对实数

1

、

2

，使

1122

aee．（不共线的向量

1

e、

2

e作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段

12

上的一点，

1



、

2



的坐标分别是

11

,xy，

22

,xy，当

12

时，

点的坐标是1212,

11

xxyy













．（当时，就为中点公式。）1

23、平面向量的数量积：

⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和

b

都是非零向量，则①

0abab

．②当a与

b

同向时，abab；当a与

b

反向时，

abab；

2

2aaaa或aaa．③abab．

<

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐标运算：设两个非零向量

11

,axy，

22

,bxy，则

1212

abxxyy．

若,axy，则

2

22axy，或22axy．设

11

,axy，

22

,bxy，则

1212

0abxxyy．

设a、

b

都是非零向量，

11

,axy，

22

,bxy，是a与b的夹角，则1212

2222

1122

cos

xxyy

ab

ab

xyxy











．

知识链接：空间向量

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结

归纳.

1、直线的方向向量和平面的法向量

】

⑴．直线的方向向量：

若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的

方向向量.

⑵．平面的法向量：

若向量

n

所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作

n

，如果

n

，那么向量

n

叫做

平面的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：

①建立适当的坐标系．

②设平面的法向量为

(,,)nxyz

．

③求出平面内两个不共线向量的坐标

123123

(,,),(,,)aaaabbbb．

④根据法向量定义建立方程组

0

0

na

nb















.

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.

<

（如图）

|

1、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行

设直线

12

,ll的方向向量分别是ab、，则要证明

1

l∥

2

l，只需证明a∥b，即()akbkR.

即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

⑵线面平行

①（法一）设直线l的方向向量是

a

，平面的法向量是

u

，则要证明l∥，只需证明

au

，即0au.

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

/

②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即

可.

⑶面面平行

若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证∥，只需证u∥v，即证uv.

即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直

设直线

12

,ll的方向向量分别是ab、，则要证明

12

ll，只需证明ab，即0ab.

即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直

①（法一）设直线l的方向向量是

a

，平面的法向量是

u

，则要证明l，只需证明

a

∥

u

，即au.

②（法二）设直线l的方向向量是

a

，平面内的两个相交向量分别为mn、，若

0

,.

0

am

l

an



















则

。

即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的

方向向量都垂直。

⑶面面垂直

若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证0uv.

即：两平面垂直两平面的法向量垂直。

4、利用向量求空间角

⑴求异面直线所成的角

已知,ab为两异面直线，A，C与B，D分别是,ab上的任意两点，,ab所成的角为，

则cos.

ACBD

ACBD







⑵求直线和平面所成的角

，

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

②求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则

为的余角或的补角

的余角.即有：

au

au







⑶求二面角

①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面

所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面

二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线lBOlAO,，

则AOB为二面角l的平面角.

如图：

,

②求法：设二面角l的两个半平面的法向量分别为mn、，再设mn、的夹角为，二面角l的

平面角为，则二面角为mn、的夹角或其补角.

！

O

A

B

OB

l

根据具体图形确定是锐角或是钝角：

◆如果是锐角，则coscos

mn

mn





，

即arccos

mn

mn





；

◆如果是钝角，则coscos

mn

mn





，

即arccos

mn

mn















.

5、利用法向量求空间距离

⑴点Q到直线l距离

（

若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的方向向量，

b

=PQ，则点Q到直线l距离为

22

1

(||||)()

||

habab

a



⑵点A到平面的距离

若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，

平面的法向量为

n

，则P到平面的距离就等于MP在法向量

n

方向上的投影的绝对值.

即

cos,dMPnMP

nMP

MP

nMP





nMP

n





$

⑶直线a与平面之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直

线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

即.

nMP

d

n





⑷两平行平面,之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

《

即.

nMP

d

n





⑸异面直线间的距离

设向量n与两异面直线,ab都垂直，,,MaPb则两异面直线,ab间的距离d就是MP在向量n方向上投

影的绝对值。

即.

nMP

d

n





6、三垂线定理及其逆定理

⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

推理模式：

,

,

POO

PAAaPA

aaOA























（

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂

直

推理模式：

,

,

POO

PAAaAO

aaAP























概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理

设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与(AD)

所成的角为

1

，AD与AC所成的角为

2

，AB与AC所成的角为．则

12

coscoscos.

8、面积射影定理

已知平面内一个多边形的面积为SS

原

，它在平面内的射影图形的面积为SS



射

，平面与平面

a

P



O

A







2



1A

B

D

C

所成的二面角的大小为锐二面角，则

'

cos=.

S

S

SS

射

原

9、一个结论

长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为

123

lll、、，夹角分别为

123

、、,则有

2222

123

llll222

123

coscoscos1222

123

sinsinsin2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.