探索勾股定理

1.1探索勾股定理

创设情境：2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，它是最高水平的

全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的

图案.它象一个转动的风车，挥舞着手臂，欢迎来自世界各国的数学家们.

（1）你见过这个图案吗？

（2）你听说过“勾股定理”吗？

会徽

（1）观察下图中的地面，看看能发现些什么？

地面图18.1-1

（2）找出图18.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？

（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?

通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小

等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形

C的面积.

由正方形的面积等于边长的平方归纳

出:_________________________________

深入探究

（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两

直角边的平方和等于斜边的平方”呢？

图18.1-2

如图18.1-2，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是2、

3的直角三角形.仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正

方形.

A

B

C

图1

直角三

角形三

边关系

A、B、

C面积

关系

图2

图1

C的面

积(单位

面积)

B的面积

(单位

面积)

A的面积

(单位

面积)

（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？

（3）正方形A、B、C面积之间的关系是什

么？

（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式

怎样表述？

勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

如图所示，在△ABC，∠C=90°。

∴a2+b2=c2（AC2+BC2=AB2）

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，

斜边称为弦．

拼图验证（弦图验证）

（1）观察赵爽弦图，思考：

如何利用此图的面积表示式验证勾股定理？

赵爽弦图

（拼图验证）

（2）仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将边长为a、b的两个连体正方形，

拼成一个新的正方形？

图18.1-3（1）图18.1-3（2）图18.1-3（3）

拼图的关键是：构造以a、b为直角边的直角三角形.

（3）怎样根据拼图活动的结果证明勾股定理呢？

下面让我们来验证一下，以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两

b

b

a

a

b



ac

M

N

P

a

b

c

C

A

b



a

ba

b

a

C

ba

b

a

C

个直角三角形拼成如图6所示形状，使A、E、B三点在同一直线上。利用面积法来说明勾

股定理的准确性

实践应用→拓展提高

1.求出下列直角三角形中未知边的长度.

2.试一试：

剪四个与图1完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图2所示的图形.

大正方形的面积可以表示为________________________,

又可以表示为____________.

对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论.

3.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶

落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？

1.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多

少?

B

图1

图2

A

B

8

15

C

B

10

C

A

6

2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大

的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

3.如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示,求两孔中心A,B之间的

距离.(单位:毫米)

4.以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关

系？

5.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，

发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这

是为什么吗？

我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度

例：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，

过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？

练一练

1、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积

补充练习：

1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若

小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，

小红和小颖家的距离为（）

A、600米；B、800米；C、1000米；D、不能确定

2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）

A、6厘米；B、8厘米；C、80/13厘米；D、60/13厘米

课堂练习：

3、在ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.

(2)若a=9,b=40,则c=______.

4、在ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC面积为_____,斜边为上的高为

______.

5、一轮船以16海里/小时的速度离A港向东北方向航行，另一艘轮船同时以12

海里/小时的速度离A港向西北方向航行，2小时后，两船相距多少海里？

6、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积

7、如图在△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.

求①△ABC的面积；

②斜边AB的长；

③斜边AB上的高CD的长。

应用拓展

（1）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c。

①若a=1，b=2，求c；

②若a=15，c=17，求b。

（2）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c

①如果a=4/5，b=3/5，求c

②如果a=12，b=13，求c

③如果c=34，a:b=8:15，求a，b

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，试说明：

（1）AB2＝AD2＋DB2＋2CD2；

（2）CD2＝AD·DB。

如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四

边形ABCD的面积。

【专题训练】

1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，

求：（1）AC的长；

（2）△ABC的面积；

（3）CD的长。

2、如图，长方形的一边AD＝8，另一边AB＝4，现将它折叠，使点D与点B

重合，求重合部分△BFG的面积。

3、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b，AD＝BC＝c，AC＝

BD＝n，等式n2＝c2＋ab成立吗？说明你的理由。

课内练习与训练

1.一个等腰直角三角形的斜边长为42

，则其面积为（）

A．82

B.8C.16D.

162

2

2.

5

正方形的面积是，它的对角线长是（）

25141

.B.2C.D.10

5555

A

=45C30BC=333BC

A.3B.22C.32D.33

。。已知在中，，，，那么的长为（）

3

A.3B.32C.3D.3

2

2

=90,A,B,C,,.

10,:3:4a=____b____;

,____.

CDAB=AC=AD=a,

ABC

ac

cab

ma











2

在中,所对边分别是b

(1)若，则，

(2)若a=b,c则

在中，垂直于于，

则的面积是____.

。9.已知.ABD=C=90,AC=BC,DAB=30,AD=12

求：BC=?

=90,1=2,CD=1.5,BD=.在中，求