外角和

多边形内角和与外角和专题训练（模型）

【模型一】“A字”模型

求证：∠1+∠2=180°+∠A

证法一：连接BC，利用“三角形内和为180°”.

证法二：连接BC，利用“三角形内和为180°”与“四边形内和为360°”.

证法三：利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”.

证法四：延长EA至F，利用“多边形外角和为360°”.

【模型二】飞镖模型

求证：∠A+∠B+∠C=∠D

证法一、

证明：连接BC，

证法二、连接并延长AD，

证法三、连接并延长BD，交AC于点E,

【模型三】“8字”模型

求证：∠A+∠B=∠C+∠D

证法一、利用“三角形内角和为180°”

证法二、利用“三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和”

注意：“8字”模型的变式.

如图，∠1+∠2=∠C+∠D

【模型四】“五角星”模型

求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

【模型五】“角平分线”模型

1、两条内角平分线

已知：如图，∠B、∠C的平分线BP、CP交于点P

求证：∠BPC=90°+

2

1

∠A

2、两条外角平分线

已知：如图，∠CBE、∠BCF的平分线BP、CP交于点P

求证：∠P=90°-

2

1

∠A

3、一条内角平分线和一条外角平分线

已知：如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P

求证：∠P=

2

1

∠A

【模型六】“高线角平分线”模型

A

B

C

P

1

2

A

B

C

D

O

A

BC

D

1

2

A

BC

D

12

3

4

A

BC

D

1

E

A

B

C

D

O

1

P

A

B

C

1

2

E

F

P

A

B

C

1

2

D

D

A

B

O

C

1

2

C

A

B

D

E

2

1

C

A

B

D

E

2

1

C

A

B

D

E

2

1

3

4

C

A

B

D

E

2

1

3

F

C

D

E

A

B

求证：∠DCE=

2

1

（∠B-∠A）.（其中∠B>∠A）

【模型七】“折角”模型

求证：∠1+∠2=2∠A

求证：∠2-∠1=2∠A

求证：∠1-∠2=2∠A

【直接运用】

在“填空题”、“选择题”的客观题型中，可以直接运用模

型结论解题.注意结论的准确性.

1.☆如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则∠

ACD=°

2.☆如图，∠1+∠2=260°，则∠A=°

3.☆如图，∠1=25°，∠2=75°，∠C=65°，则∠D=°

4.☆如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°，则∠BDC=°

5.☆如图，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，则∠A=°

6.☆如图，若∠A=40°，则∠P=°

7.☆如图，△ABC中，CD⊥AB，CE平分∠ACB，∠B=50°，∠A=20°,则∠DCE=°

8.☆如图，纸片△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使C点落在△ABC内

的C’处，则∠1+∠2=°

9.☆☆如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=°

10.☆☆如图，∠A+∠B+∠C+∠D=°

11.☆☆如图，BE、CF交于点O，∠EOF=105°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°.

12.☆☆如图，∠ABD与∠ACB的角平分线相交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P=

°.

【过程重现】

在“解答题”中，重现模型证明过程.注意方法的选择.

1.☆☆如图，在∠AMB的两边AM、BM上分别取点P、Q，在∠AMB内取一点N，连接PN、

QN，探索∠PNQ、∠AMB、∠MPN、∠MQN之间的数量关系，并证明你的结论.

2.☆☆如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线PM、PN上，∠MAB和∠NBA的平分线相交

于点P.点A和点B在运动过程中，∠P的大小是否发生变化？请说明你的理由.

3.☆☆如图，已知AB∥CD，BD平分∠ABC交AC于点O，CE平分∠DCG.若∠ACE=90°，

试判断BD与AC的位置关系，并说明理由.

4.☆☆在△ABC中，内角∠ABC、∠ACB的平分线夹角为α，外角∠DBC、∠ECB的平分线夹

角为β.

C

A

B

DE

A

B

C

M

N

A

’

2

1

M

B

A

’

2

3

D

C1

N

A

A

B

C

M

N

A

’

1

2

3

D

A

B

C

D

第1题

A

B

C

D

1

2

第2题

D

A

B

O

C

1

2

第3题

A

BC

D

1

2

第4题

A

B

C

P

C

D

E

A

B

第5题第6题

C

A

B

DE

第7题

2C

A

B

C’

1

第8题

A

B

N

O

M

P

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

G

第9题

A

B

C

D

120

100

第10

A

B

C

D

P

第12题

A

M

B

A

M

B

A

M

B

A

BC

105°

O

D

E

F

第11题

（1）若α=110°，则∠A=°，

（2）若∠A=40°，则β=°，

（3）猜想α与β之间的关系，并说明理由.

【探索新知】

在模型的基础上探索新知，或用与探索模型类似的方法探索新知.注意的模型生成过程.

1.☆☆如图①，则∠1+∠2+∠3+∠4=°；

如图②，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°；

如图③，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.

2.☆☆（1）如图（1）,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠FJ=°；

（2）如图（2），则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠HJ=°；

（3）如图（3），则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J=°.

3.☆☆☆已知：如图，在△ABC中，BO

1

、BO

2

是∠ABC的三等分线，CO

1

、CO

2

是∠ACB的三

等分线.

（1）当∠A=60°时，∠BO

2

C=°；

（2）探索∠BO

1

C与∠BO

2

C之间的数量关系，并证明你的结论.

4.☆☆☆已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E.

（1）若∠D=140°，∠E=110°，则∠A°；

（2）求证：∠E=

2

1

（∠A+∠D）

5.☆☆☆☆如图，线段AB、CD交于点O，连接AD、BC，我们把形如图1的图形称为“8字

形”.

（1）如图（1），直接写出∠A+∠D与∠B+∠C的关系；

（2）如图（2），∠DAB和∠BCD的平分线AP、CP交于点P，且分别与AB、CD交于点M、N，

∠D=46°，∠B=30°.先观察图中还有哪些“8字形”，再利用（1）的结论求∠P的度数；

（3）在（2）中，若∠D=α，∠B=β，直接写出∠P的度数(用含有α、β的式子表示).

6.☆☆☆☆如图，在△ABC中，将点A向下拖动，依次可以得到图1、图2、图3.分别探究图

（1）、图（2）、图（3）中∠EAD、∠B、∠C、∠D与∠E之间有什么数量关系？

7.☆☆☆☆如图，线段AB、CD交于点O.将图（1）中线段AD上一点E（点A、D除外）向

下拖动，依次可以得到图（2）、图（3）、图（4）.分别探究图（2）、图（3）、图（4）中∠A、∠

B、∠C、∠D与∠AED之间有什么数量关系？

8.☆☆☆☆转化是数学中的重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化

简单的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题.

（1）请你根据学过的知识求出下面星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

（2）若将图（1）中的星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的

度数；

（3）若再将图（2）中角进一步截去，如图（2），你能由题（2）中的方法或规律，猜想出图（3）

中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数？（直接写出结果，不需要写出解

题过程）

10.☆☆☆☆☆如图，四边形ABCD中，内角∠ABC的角平分线与外角∠DCE的角平分线交于点

A

BC

E

D

5

1

2

3

4

1

2

3

4

6

1

2

3

5

4

①

②

③

A

B

C

D

E

F

H

H

G

F

E

D

C

B

F

A

F

A

B

C

D

E

G

H

I

J

F

(1)

(2)

(3)

A

B

C

A

B

C

D

E

B

C

D

E

A

B

C

D

E

（1）

（2）

（3）

A

B

C

O

1

O

2

D

A

B

C

E

P

O

C

D

E

A

B

A

F

B

F

C

F

D

F

E

F

F

F

G

F

A

F

B

F

C

F

D

F

E

F

F

F

H

F

I

J

（1）

（2）

（3）

A

D

B

C

O

A

B

C

D

E

O

A

D

C

B

E

O

A

B

C

D

O

E

（2）

（3）

（4）

（1）

A

D

B

C

O

P

M

N

A

D

B

C

O

（2）

（1）

F，且∠F为锐角.设∠A=α，∠D=β.

（1）如图①，α+β>180°，试用α、β表示∠F；

（2）如图②，α+β<180°，请在图中画出∠F，并试用α、β表示∠F；

（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值；如不一定，指出α、β满足什么条件时，不存在∠

F.

9.☆☆☆☆☆如图①，把三角形纸片ABC折叠，使3个顶点重合于点P，这时∠α+∠β+∠γ=

°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.

如果三角形纸片ABC折叠后，3个顶点并不重合于点P（如图②），那么（1）中关于“∠1+∠2+

∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明理由.

A

B

C

D

E

F

①

A

B

C

D

E

②

G

1

2

A

B

C

D

E

F

H

I

3

4

5

6

α

β

γ

P

A’

B’

C’

A

B

C

D

E

F

G

I

H

1

2

3

6

5

4

4

①②