三阶无穷小

无穷小阶的比较的讲授方法

摘要：对无穷小和无穷小阶的比较的理解是掌握极限理论的关键对同一极限过程下的一组无

穷小，抽象的阶的比较往往使初学者难以接受。本文考虑在课堂上讲授这一局部时运用类比，

力图将无穷小阶的比较过程形象地呈现出来。这一类比也可用于对无穷大及其阶的比较的课

堂讲授。

关键词：无穷小阶的比较；类比

一、无穷小及其阶的比较

无穷小量，即无穷小，指在自变量的某一变化过程下趋于零的函数。在微积分的开展过程中，

人们对无穷小量的认识经历了一个漫长的过程，这与极限理论的遭遇密切相关：无穷小是极

限理论中最使人难以接受的局部，对当时的人们来说，它似乎带有某种“神秘气氛〞，见【1】。

无穷小的定义是“如果一个量的绝对值能变得小于任意选定的无论怎样小的量，那么说它能

变为无穷小〞，正是这个说法，引出了一般极限定义的ε.δ语言，毋庸讳言，〞某量的绝对

值小于任意选定的无论怎样小的量〞表达成的数学语言〔即无穷小的ε.δ定义〕仍困扰着今

天的初学者，而无穷小阶的比较，那么是在自变量的某变化过程下，比较出不同无穷小趋于

零的相对快慢。这个比较过程，在教科书中是考虑这些无穷小量的比值在自变量的该变化过

程下的极限〔可参见任一本微积分教材，如文献【2】〕：

二、用类比法讲授“无穷小量阶的比较〞过程

极限理论对初学者往往较难理解，这源于极限概念〔ε.δ语言〕的抽象性和高度的动态性：

据说这是一个有四个逻辑层次的杂逻辑结构，【3】而中学的数学对象多是静态的，即使略显

抽象，也可在数次〞亲密〞接触后形成印象.但对于ε.δ语言，即使靠〞死记硬背闯关了〞，

理解起来仍无所适从，基于此，人们曾改造极限概念的表达方式，提出所谓非ε语言定义来

代替ε.δ语言，【3】这种做法，不会降低学生的理解难度，甚至可以说，有意绕开极限理论

的精髓反而加大了以后学习的难度，最终还是要返回去重新理解ε.δ语言。那么，怎样才能

让初学者对ε.δ语言形成一个根本印象呢？由前述的极限定义的ε.δ语言和无穷小之间的关

联，即正是无穷小的定义，引出了极限定义的ε.δ语言，笔者认为，讲授这一局部时，通过

对某一动态过程的类比考察，形象的再现无穷小及其阶的比较经过，对于初步理解极限定义

的ε.δ语言大有裨益。

设定一个长跑比赛的场景，假设沿一个800米跑道跑下去，以终点作为各运发动在比赛过程〞

要趋于〞的点：这就对应于假设干同一过程下的极限过程。经过最初的几圈，参赛队员依实

力就会自然地形成梯队，各梯队的组成人员随着比赛的继续是相对固定的，而且相邻梯队相

距很远。这时，我们可以认定，前面梯队的人员〞趋于〞终点的速度要远大于其后梯队的人

员，而在梯队内部，运发动们的速度是相差不多的〔否那么就会冲到前一梯队或掉出该梯队

而拉到后面梯队〕。

在这个场景下，回到无穷小量阶的比较上。假设将比赛的终点视为极限值0，在比赛过程中，

每一个运发动都在趋于终点，也就是说参赛的运发动都可视为相应的无穷小。我们先考虑处

于不同梯队的运发动，显然，如前述，属于前面梯队的运发动要远快于其后梯队的，如果比

较前面梯队中人员的速度和其后梯队人员的速度，在前面梯队接近终点时，可以认为对应的

无穷小接近极限值0，对应的，其后的梯队距终点还有很长一段，对应的无穷小还远未接近

0，那么这个比的极限就是0，我们称作为分子的无穷小较作为分母的无穷小高阶，对应到

场景中就是前面梯队的速度远大于后面梯队的。在同一个梯队中，不同运发动之间的速度也

有差异，除非二者〞并驾齐驱〞，否那么，这个相对速度之比会趋于一个非零常数，这时我

们可称位于同一梯队中的运发动相对静止，这类比于两个无穷小量是同阶的，而假设这个比

值趋于1，对应于运发动〞并驾齐驱〞，那么这两个无穷小量就是等价无穷小了。以上过程

中假设将终点类比成无穷远点，那么比赛过程就可想象为无穷大量的阶的比较过程，不同的，

由于是趋于无穷远，当相应的极限为0时，类比的情形是，极限过程下，分母远大于分子。

此时称分母为较分子高阶的无穷大，反过来也可以称分子为较分母低阶的无穷大，类似可有

其他结论。

三、其他

对应于某无穷小较另一无穷小低阶，场景中就是后面梯队的速度低于前面梯队的；而当两运

发动〞并驾齐驱〞时，他们的速度当然是可以互换的，這就可联系接下来的等价无穷小替换

了。

四、结论

本文用长跑比赛中的梯队现象类比无穷小〔大〕阶的比较过程，可帮助初学者呈现比较的经

过，理解这一过程及极限定义的ε.δ语言。

参考文献：

【1】齐民友.重温微积分[M].北京：高等教育出版社，2021.

【2】陈纪修，於崇华，金路.数学分析〔上册〕[M].北京：高等教育出版社，1999.

【3】张景中.教育数学探索[M].成都：四川教育出版社，1994.