数学分析

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第一章实数集与函数

第一章实数集与函数

教学目的：

1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理

解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并熟练运

用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对

值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有

关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有

界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等

函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。

教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。

教学时数：10学时

§1实数（2学时）

教学目的：使学生掌握实数的基本性质．

教学重点：

1.理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；

2.牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是

分析论证的重要工具）

教学难点：实数集的概念及其应用．

教学方法：讲授．（部分内容自学）

一．复习引新：

1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义.

2.四则运算封闭性:

3.三歧性(即有序性):

edes性:

5.稠密性:有理数和无理数的稠密性,给出稠密性的定义.

6.实数集的几何表示───数轴:

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7.两实数相等的充要条件:

8.区间和邻域:

二.讲授新课：

（一）.几个重要不等式:

1.绝对值不等式:定义[1]P3的六个不等式.

2.其他不等式:

⑴

⑵均值不等式:对记

(算术平均值)

(几何平均值)

(调和平均值)

有平均值不等式:

等号当且仅当时成立.

⑶Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)

有不等式

当且,且时,有严格不等式

证：由且

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⑷利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式

有上式右端任何一项.

作业：Ｐ４．１．（１）２．（２）、（３）３

§2数集确界原理（4时）

教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。

教学要求：

1.掌握邻域的概念；

2.理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运

用。

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。

教学难点：确界的定义及其应用。

教学方法：讲授为主。

一、区间与邻域

二、有界数集与确界原理:

1.有界数集:定义(上、下有界,有界)，闭区间、为有限数）、

邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.

无界数集:定义,等都是无界数集,

集合也是无界数集.

2.确界:给出直观和刻画两种定义.

例1⑴则

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⑵则

例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

例3设和是非空数集，且有则有.

例4设和是非空数集.若对和都有则有

证是的上界,是的下界,

例5和为非空数集,试证明:

证有或由和分别是和的下界,有

或即是数集的

下界,又的下界就是的下界,

是的下界,是的下界,同理有于是

有.综上,有.

3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.

4.确界与最值的关系:设为数集.

⑴的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.

⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.

⑶若存在,必有对下确界有类似的结论.

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三、确界原理:

Th1.1(确界原理)

设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确

界。

作业：Ｐ９：５；６；８

§3函数概念(2学时)

教学目的：使学生深刻理解函数概念。

教学要求：

1.深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数

的各种表示方法；

2.牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分

析初等函数的复合关系。

教学重点：函数的概念。

教学难点：初等函数复合关系的分析。

一、函数:

1.函数:[1]P10—11的四点说明.

2.定义域:定义域和存在域.

3.函数的表示法:

4.反函数:一一对应,反函数存在定理.

5.函数的代数运算:

二、分段函数:以函数和为例介

绍概念.

例1去掉绝对值符号.

例2求

例3设求(答案为8)三、

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6

函数的复合:

例4求并求

定义域.

例5⑴

⑵则

A.B.C.D.

[4]P407E62.

四、初等函数:

1.基本初等函数:

2.初等函数:

3.初等函数的几个特例:设函数和都是初等函数,则

⑴是初等函数,因为

⑵和都是初等函数,

因为,

.

⑶幂指函数是初等函数,因为

作业：P153；4.(2)(3)；5.(2)；7:(3)；11

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§4具有某些特性的函数(2学时)

教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.

教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数

的定义；会求一些简单周期函数的周期。

教学重点：函数的有界性、单调性。

教学难点：周期函数周期的计算、验证。

一、有界函数:有界函数概念.

例6验证函数在内有界.

解法一由当时,有

,

对总有即在内有界.

解法二令关于的二次方程有实数根.

解法三令对应于是

二、单调函数

三、奇函数和偶函数

四、周期函数

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第二章数列极限

教学目的：

1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；

2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会

用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的

概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列

极限的定义证明有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某定数

为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不

等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，

会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意

义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；

教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的定

义及其应用.

教学时数：14学时

§1数列极限的定义

教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数

列极限等有关命题。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。

教学时数：4学时

一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——

二、讲授新课：

（一）数列：

1.数列定义——整标函数.数列给出方法:通项,递推公式.数列的几何意义.

2.特殊数列:常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.

（二）数列极限:以为例.

定义(的“”定义)

定义(数列收敛的“”定义)

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注：1.关于：的正值性,任意性与确定性,以小为贵;2.关于：的

存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.

（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.

例1

例2

例3

例4

证

注意到对任何正整数时有就有

于是，对取

例5

证法一令有用Bernoulli不等式，有

或

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证法二（用均值不等式）

例6

证时，

例7设证明

（四）收敛的否定:

定义(的“”定义).

定义(数列发散的“”定义).

例8验证

（五）数列极限的记註:

1.满足条件“”的数列

2.改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变

数列敛散性:

3.数列极限的等价定义:

对

任有理数

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对任正整数

（六）无穷小数列:定义.

Th2.1(数列极限与无穷小数列的关系).

§2收敛数列的性质（4学时）

教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。

教学重点、难点：：迫敛性定理及四则运算法则及其应用，数列极限的计算。

教学时数：4学时

一.收敛数列的性质:

1.极限唯一性：（证）

2.收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）

3.收敛数列保号性：

Th1设若则

（证）

系1设若，（注

意“=”；并注意和的情况）.

系2设或.则对(或

(或

系3若则对

绝对值收敛性见后.

4.迫敛性(双逼原理):

Th2(双逼原理).(证)

5.绝对值收敛性:

Th3(注意反之不正确).

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(证)

系设数列{}和{}收敛,则

(证明用到以下6所述极限的运算性质).

6.四则运算性质:

Th4(四则运算性质,其中包括常数因子可提到极限号外).(证)

7.子列收敛性:子列概念.

Th5(数列收敛充要条件){}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.

Th6(数列收敛充要条件){}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.

Th7(数列收敛充要条件){}收敛子列{}、{}和{都

收敛.(简证)

二.利用数列极限性质求极限:

两个基本极限：

1．利用四则运算性质求极限：

例1

註：关于的有理分式当时的极限情况

例2填空:

⑴

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⑵

例3

例4

2.双逼基本技法:大小项双逼法，参阅[4]P53.

例5求下列极限:

⑴

⑵

⑶

例6(

例7求证

例8设存在.若则

三.利用子列性质证明数列发散:

例9证明数列发散.

§3收敛条件（4学时）

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教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。

教学要求：

1.掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；

2.初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准

则判断某些数列的敛散性。

教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。

教学难点：相关定理的应用。

教学方法：讲练结合。

一．数列收敛的一个充分条件——单调有界原理：回顾单调有界数列.

Th1(单调有界定理).(证)

例1设证明数列{}收敛.

例2(重根号),证明数

列{}单调有界,并求极限.

例3求(计算的逐次逼近

法,亦即迭代法).

解由均值不等式,有有下界;

注意到对有有

↘,

二、收敛的充要条件——Cauchy收敛准则：

1．Cauchy列：

2．Cauchy收敛准则：

Th2数列{收敛，

（或数列{收敛，}

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Th2又可叙述为：收敛列就是Cauchy列.(此处“就是”理解为“等价于”).

(简证必要性)

例4证明:任一无限十进小数的不足近似值所

组成的数列

收敛.其中是中的数.

证令有

……

例5设试证明数列

{收敛.

三.关于极限证明留在下节进行.

例6

例7

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例8

四.数列单调有界证法欣赏:

Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出

以下证法一.

证法一（Riemann最先给出这一证法）设应用二项式展开，

得

，

+

注意到

且比多一项即

↗.

有界.

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综上,数列{}单调有界.

评註:该证法朴素而稳健,不失大将风度.

证法二(利用Bernoulli不等式)

注意到Bernoulli不等式为正整数),有

由利用Bernoulli不等式,有

↗.

为证{}上方有界,考虑数列可类证↘.事实上,

(此处利用了Bernoulli不等

式)

↘.

显然有有即数列{}有上界.

评註:该证法的特点是惊而无险，恰到好处.

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证法三(利用均值不等式)在均值不等式

中,令

就有

即↗.

令可仿上证得时↗,

(时无意义,时诸=,不能用均值不等式.)当时,由

由↗↘.<

4.

证法四(仍利用均值不等式)

<

即↗.

有界性证法可参阅上述各证法.

证法五先证明：对和正整数，有不等式

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事实上，

<该不等式又可变形为

(为正整数)

在此不等式中,取则有就有

↗.

取又有对成立，

又由

评註:该证法真叫绝.[1]采用这一证法.

小结、习题（2学时）

第三章函数极限

教学目的：

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；

2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；

3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；

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4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。

教学重（难）点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则

的应用。

教学时数：14学时

§1函数极限概念（2学时）

教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函

数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的

定义的清晰概念。会应用函数

极限的

定义证明函数的有关命题，并能运用

语言正确表述函数不以某实

数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的

定义及其应用。

一、复习：数列极限的概念、性质等

二、讲授新课：

（一）时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域

其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．

例1验证

例2验证

例3验证

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证……

（二）时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证

例5验证

例6验证

证由=

为使需有

为使需有

于是,倘限制,就有

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例7验证

例8验证(类似有

（三）单侧极限:

1．定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域

然后介绍

等的几何意义.

例9验证

证考虑使的

2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th

类似有:

例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=

§2函数极限的性质（2学时）

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教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以

及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

（一）函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,

使，都有

证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就

有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

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（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公

式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限

化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2

例3

註:关于的有理分式当时的极限.

例4[利用公式]

例5

例6

例7

例8

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例9

例10已知求和

补充题:已知求和()

§3函数极限存在的条件（4学时）

教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。

教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。

教学重点：海涅定理及柯西准则。

教学难点：海涅定理及柯西准则运用。

教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。

本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.

一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th1设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存

在,对任何且都存在且相等.(证)

Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的

有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.

例1证明函数极限的双逼原理.

例2证明

例3证明不存在.

二.Cauchy准则:

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Th2(Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.

则存在,,

证

(利用Heine归并原则)

Cauchy准则的否定:不存在的充要条件.

例4用Cauchy准则证明极限不存在.

证取

例5设在[上函数↘.则极限存在,在

[上有界.(简证,留为作业).

§4两个重要极限（2时）

教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。

教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并

能灵活运用。

教学重点：两个重要极限的证明及运用。

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。

一．（证）（同理有）

例1

例2.

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例3

例4

例5证明极限不存在.

二.

证对有

例6特别当等.

例7

例8

例9

§5无穷小量与无穷大量阶的比较（2学时）

教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极

限。

教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概

念，并由此求出某些函数的极限。

一.无穷小量:定义.记法.

例1判断:⑴可怜虫是很小很可怜的虫;()

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⑵无穷小量是很小很小的量.()

无穷小的性质:

性质1(无穷小的和差)

性质2(无穷小与有界量的积)

例2

无穷小与极限的关系:

Th1(证)

二.无穷小的阶:设时

1．高阶（或低阶）无穷小：

2．同阶无穷小：

三．等价无穷小：

Th2(等价关系的传递性).

等价无穷小在极限计算中的应用:

Th3(等价无穷小替换法则)

几组常用等价无穷小:（见[2]）

例3时,无穷小与是否等价?

例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1同号无穷大的和是无穷大.

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性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.

性质3与无界量的关系.

无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.

3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习题课（2学时）

一、理论概述：

二、范例讲析：

例1设数集无界.试证明:存在数列{}使

例2设为定义在上的递增函数.证明:极限存在

的充要条件是函数在上有上界.

例3证明:对其中是Riemann函数.

例4设函数定义在内,且满足条件ⅰ>

ⅱ>对有试证明是内的常值函数.

例5求极限

{

注意=有界}

例6求和.

解法一

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又

解法二，由且原式极限存在，

，即.

例7.求.

注意时,且.先求由Heine归并原则

即求得所求极限.

例8求和.并说明极限

是否存在.

解;

可见极限不存在.

第四章函数的连续性

教学目的：

1.使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；

2.熟练连续函数的性质并能加以应用；

3.知道所有初等函数都是在其定义域上的连续函数，并能加以证明；

4.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上

连续与这一区间上一致连续的联系与区别。

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教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续

函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明。

教学时数：14学时

§1函数的连续性（4学时）

教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。

教学要求：

1.使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数

在一点连续的各种等价叙述；

2.应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数

在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理

解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；

3.明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清

楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

教学重点：函数连续性概念。

教学难点：函数连续性概念。

一、引入新课：通过生活和科学研究中的实例说明学习连续函数的必要性。

二、讲授新课：

（一）函数在一点的连续性：

1．连续的直观图解：由图解引出解析定义.

2.函数在一点连续的定义:设函数在点某邻域有定义.

定义用例如[1]P87例1和例2,P88例3.

定义用

定义用先定义和

定义连续的Heine定义.

定义(“”定义.)

（注：强调函数在点连续必须满足的三个条件。）

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例1用“”定义验证函数在点连续.

例2试证明:若

则在点连续.

3.单侧连续:定义单侧连续,并图解.

Th(单、双侧连续的关系)

例3讨论函数在点的连续或单侧连续性.

（二）间断点及其分类:图解介绍间断点的分类.

跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点,其他情况

即或中至少有一个不存在称为第二类间断点.

例4讨论函数的间断点类型.

例5延拓函数使在点连续.

例6举出定义在[0,1]上且仅在点三点间断的函数的例.

例7讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性.

（三）区间上的连续函数：

开区间上连续，闭区间上连续,按段连续.

§2连续函数的性质（6学时）

教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。

教学要求：

1.掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并

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能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中

正确运用连续函数的这些重要性质；

2.掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关

的具体问题中加以运用；

3.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上

连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。

教学重点：闭区间上连续函数的性质；

教学难点：一致连续的概念。

一、复习：连续、间断的含义.

二、讲授新课：

（一）连续函数的局部性质:叙述为Th1—4.

1.局部有界性：

2.局部保号性：

3.四则运算性质：

4.复合函数连续性：

Th4若函数在点连续，函数在点连续,且,则

复合函数在点连续.(证)

註Th4可简写为（即

在条件满足的前提下，极限运算与函数运算可以交换顺序。）

例1求极限

例2求极限:

⑴⑵

例3求极限的连续性见后.

（二）闭区间上连续函数的基本性质:

临沂师范学院《数学分析》教案

--

34

1.最值性:先定义最值.

Th5(最值性)

推论(有界性)

2.介值性:定义介值.

Th6(介值性)

连续函数的值域,连续的单调函数的值域.

推论(零点定理)

例4证明:方程在到之间有实根.

例5设是正数,为正整数.证明方程有唯一正实

根.唯一性的证明用在内的严格递增性.

（三）反函数的连续性:

Th7若函数在上严格递增(或减)且连续,则其反函数在

相应的定义域或上连续.(证)

关于函数等的连续性([1]P99E5,6.)

（四）函数的整体连续性——一致连续：

1．连续定义中对的依赖性：

例6考查函数在区间上的连续性.对作限制

就有

对,取这里与有关,有时特记为.

临沂师范学院《数学分析》教案

--

35

本例中不存在可在区间上通用的,即不存在最小的(正数).

例7考查函数在区间上的连续性.

本例中可取得最小的,也就是可通用的该却与无关,

可记为.

2.一致连续性:

定义(一致连续)顺便介绍一致连续与连续的关系.

用定义验证一致连续的方法:对,确证存在.为此,从不失

真地放大式入手,使在放大后的式子中,除因子之外,

其余部分中不含有和,然后使所得式子,从中解出

例8验证函数在内一致连续.

例9验证函在区间内一致连续.

证

例10若函数在有限区间内一致连续,则在内有界.

3.一致连续的否定:

否定定义.

例11证明函数在区间内非一致连续.

证法一(用一致连续的否定定义验证)取取

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--

36

与便有但

证法二(用例10的结果).

4.一致连续的判定:

Th8(Cantor)若函数在闭区间上连续,在上一致连续.

§3初等函数的连续性（2学时）

教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够

加以证明。

教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续

性概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。

教学重点：初等函数的连续性的阐明。

教学难点：初等函数连续性命题的证明。

教学方法：学导式教学。

回顾基本初等函数中,已证明了连续性的几个函数.

指数函数和对数函数的连续性.(证)

一.初等函数的连续性:

Th1一切基本初等函数都在其定义域上连续.

Th2任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.

註:初等函数的连续区间和间断点:初等函数的间断点是其连续区间的开

端点.闭端点是其单侧连续点.

例1求函数的连续区间和间断点.

解

的连续区间为:、、和

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--

37

.间断点为:和.在点右连续.

二.利用函数的连续性求极限:

例2

例3作倒代换

例4

解I=

例5

解

I=

习题课（2学时）

一、理论概述：

二、范例讲析：

例1设函数在区间上连续,且证

明:在区间上至少存在某个使

证若,取或即可;若不妨设

设,应用零点定理即得所证.

临沂师范学院《数学分析》教案

--

38

例2设函数在区间上连续，试证

明：使

例3设试证明：方程在区间

内有实根.

例4设函数在内连续且则在内有最

小值.与比较.

例5设函数和在区间I上连续,且在I的有理点,有

证明:在I上.

例6设函数和在区间I上一致连续.证明函数

在区间I上一致连续.

例7设函数在有限开区间内连续.则在

有限开区间内一致连续,和存在(有限).

例8设函数在有限开区间内连续.则在内一致连续,

在内一致连续.

第四章函数的连续性

引言

在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是

连续函数。从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题：

１．什么是“函数的连续性”？

２．“间断”或“不连续”有哪些情形？

临沂师范学院《数学分析》教案

--

39

３．连续函数有哪些性质？

４．初等函数的连续性有何特点？

§１连续性概念

教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。

教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练

写出函数在一点连续的各种等价叙述；（２）应使学生从分析导致函数

在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数

间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能

熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是

以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与

“函数连续”所表述的不同内涵。

教学重点：函数连续性概念。

教学难点：函数连续性概念。

教学程序：

引言

“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。例如下图１中

的函数()yfx，我们说它是连续的，而图２中的函数在

0

x处是间断的。

由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连

绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断

开”了。

当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形

只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。

例如，可以举出这样的例子，它在(0,1)内的任意无理数点都连续但却无法用

图形表示出来（如Rieman函数）。

因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。

从图２看出，在

0

x处，函数值有一个跳跃，当自变量从

1

x左侧的近傍变到

1

x右

侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。而在其它点处（如

1

x处），情况则

完全相反。：当自变量从

1

x向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微

小的改变；这就是说，当自变量x靠近

1

x时，函数值就靠近

1

()fx，而当

1

xx时，

1

()()fxfx。换句话说，当

1

xx时，()fx以

1

()fx为极限，即

1

1

lim()()

xx

fxfx



。

根据这一分析，引入下面的定义：

一函数在一点的连续性

１．函数f在点

0

x连续的定义

定义１（f在点

0

x连续）设函数f在某

0

()Ux内有定义，若

0

0

lim()()

xx

fxfx



，

则称f在点

0

x连续。

临沂师范学院《数学分析》教案

--

40

注

00

0

lim()()(lim)

xxxx

fxfxfx



，即“

f

在点

0

x连续”意味着“极限运算与

对应法则

f

可交换。

２．例子

例１．

0

,sin,cosxRxx在

0

x处连续。

例２．

2

lim(21)5(2)

x

xf



。

例３．讨论函数

1

sin,0

()

0,0

xx

fx

x

x

















在点x=0处连续性。

３．函数f在点

0

x连续的等价定义

１）记号：

0

xxx——自变量x在点的增量或改变量。设

00

()yfx，

0000

()()()()yfxfxfxxfxyy——函数y在点

0

x的增量。

注：自变量的增量x或函数的增量

y

可正、可负、也可为零。（区别于“增加”）。

２）等价定义１：函数

f

在点

0

x连续

0

lim0

x

y



。

３）等价定义２：函数f在点

0

x连续0,0，当

0

||xx时，

0

|()()|fxfx。

注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种

定义，可以证明以下命题：

例４．证明函数()()fxxDx在点0x连续，其中()Dx为Dirichlet函数。

４．函数f在点

0

x有极限与函数f在点

0

x连续之间的关系

１）从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f在0

0

()Ux内不定义（f在

点

0

x可以没有定义）。而f在点

0

x连续则要求f在某

0

()Ux内有定义（包括

0

x）。

２）在极限中，要求

0

0||xx，而当“f在点

0

x连续”时，由于x=

0

x

时，

0

|()()|fxfx恒成立。所以换为：

0

||xx.

３）从对极限的要求看：“f在点

0

x连续”不仅要求“f在点

0

x有极限”，

而且

0

0

lim()()

xx

fxfx



；而在讨论

0

lim()

xx

fx



时，不要求它等于

0

()fx，甚至于

0

()fx

可以不存在。

临沂师范学院《数学分析》教案

--

41

总的来讲，函数在点

0

x连续的要求是：①

()fx

在点

0

x有定义；②

0

lim()

xx

fx



存在；③

0

0

lim()()

xx

fxfx



.任何一条不满足，

f

在点

0

x就不连续。同时，由定义

可知，函数在某点是可连续，是函数在这点的局部性质。

５．

f

在点

0

x左（右）连续定义

①定义２：设函数

f

在点

0

()Ux



（

0

()Ux



内有定义），若

0

0

lim()()

xx

fxfx





（

0

0

lim()()

xx

fxfx



），则称

f

在点

0

x右（左）连续。

②

f

在点

0

x连续的等价刻划

定理4.1函数f在点

0

x连续f在点

0

x既是右连续，又是左连续。

如上例４：

00

lim()lim0(0)

xx

xDxxf



（右连续），

00

lim()lim0(0)

xx

xDxxf





（左连续）。

例５．讨论函数

2,0

()

2,0

xx

fx

xx













在点0x的连续性。

二区间上的连续函数

１．定义

若函数

f

在区间Ｉ上每一点都连续，则称

f

为Ｉ上的连续函数。对于闭区

间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。若函数

f在区间[,]ab上仅有有限个第一类间断点，则称f在[,]ab上分段连续。

２．例子

（１）函数,,sin,cosyCyxyxyx是Ｒ上的连续函数；（２）函数

21yx在(1,1)内每一点都连续。在1x处为左连续，在1x处为右连续，

因而它在[1,1]上连续。

命题：初等函数在其定义区间上为连续函数。

函数[]yx，sgnyx在[1,1]上是分段连续的[]yx在Ｒ上是分段连续

吗？sgnx在Ｒ上是分段连续吗？

三间断点及其分类

１．不连续点（间断点）定义

定义３设函数f在某0

0

()Ux内有定义，若f在点

0

x无定义，或f在点

0

x

有定义而不２，不则称点

0

x为函数f的间断点或不连续点。

临沂师范学院《数学分析》教案

--

42

注这个定义不好；还不如说：设

f

在0

0

()Ux内不定义，如果

()fx

在

0

x不

连续，则称

0

x是()fx的不连续点（或间断点）。由上述分析可见，若

0

x为函数

f

的间断点，则必出现下列情形之一：①

()fx

在点

0

x无定义；②

0

lim()

xx

fx



不存

在；③

0

0

lim()()

xx

fxfx



。据此，对函数的间断点作如下分类：

２．间断点分类

１）可去间断点若

0

lim()

xx

fxA



，而

f

在点

0

x无定义，或有定义但

0

()fxA，

则称

0

x为

f

的可去间断点。

例如：0x是函数

sin

()|sgn|,()

x

fxxgx

x

的可去间断点。

“可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”。设

0

x是()fx的

可去间断点，且

0

lim()

xx

fxA



。0

0

(),

()

,

fxxx

fx

Axx











则

0

x是()fx的连续点。

例如，对

sin

()

x

gx

x

，定义

sin

,0

()

1,0

x

x

gx

x

x

















，则()gx在0x连续。

２）跳跃间断点若

00

lim(),lim()

xxxx

fxfx



存在，但

00

(0),(0)fxfx，则称点

0

x

为函数f的跳跃间断点。

例如，对[]yx，

00

lim[]0,lim[]1

xx

xx



故0x是它的跳跃间断点。

再如0x是sgnx的跳跃间断点。

可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的

左、右极限都存在。

３）第二类间断点函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极

限不存在的点）称为函数的第二类间断点。

例如，0x是函数

1

x

，

1

sin

x

的第二类间断点。

§２连续函数的性质

教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。

教学要求：（１）掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算

性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够

在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；（２）掌握闭

区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的

具体问题中加以运用；（３）理解函数在某区间上一致连续的概念，并

能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者

临沂师范学院《数学分析》教案

--

43

之间的联系与原则区别。

教学重点：闭区间上连续函数的性质；

教学难点：一致连续的概念。

引言

函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移

到连续函数中来。

一连续函数的局部性质

性质１（局部有界性）若

f

在

0

x连续。则

f

在某

0

()Ux有界。

性质２（局部保号性）若

f

在

0

x连续，且

0

()0(0)fxor则对任何正数

0

(0,())rfx

0

(((),0))rfx，存在某

0

()Ux有()0(()0)fxrfxr。

注①在具体应用局部保号性时，r取一些特殊值，如当

0

()0fx时，可取

0

()

2

fx

r，则存在

0

()Ux，使得当

0

()xUx有0

()

()

2

fx

fx；②与极限相应的性质

做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续”，把

0

()Ux改为0

0

()Ux其余一

致。

性质３。（四则运算）若

f

和g在

0

x点连续，则

0

,,(()0)

f

fgfggx

g



也都

在点

0

x连续。

问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否

仍旧连续？

性质４（复合函数的连续性）若f在点

0

x连续，记

00

()fxu，函数g在

0

u连

续，则复合函数gf在点

0

x连续。

注1)据连续性定义，上述定理可表为：

00

0

lim[()][()][lim()]

xxxx

gfxgfxgfx



.

（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极

限。）

例１．求2

1

limsin(1)

x

x



.

2)若复合函数gf的内函数f当

0

xx时极限为a，又外函数g在ua连

续，上面的等式仍成立。（因此时若

0

0

lim()()

xx

fxafx



的话是显然的；若

0

0

lim()()

xx

fxafx



，或()fx在

0

xx无定义，即

0

x是f的可去间断点时，只需对

性质４的证明做修改：“

0

||xx”为“

0

0||xx”即可）。故可用来求一些

临沂师范学院《数学分析》教案

--

44

函数的极限。

例２求极限（１）

0

sin

lim2

x

x

x

;（２）

sin

lim2

x

x

x

.

性质５（反函数的连续性）若函数

f

在[,]ab上严格单调并连续，则反函数1f

在其定义域

[(),()]fafb

或

[(),()]fbfa

上连续。

二、初等函数的连续性

１．复习（关于初等函数）

（１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函

数。

（２）基本初等函数：

常量函数yC；

幂函数yx；

指数函数(0,1)xyaaa；

对数函数log(0,1)

a

yxaa；

三角函数sin,cos,,yxxtgxctgx；

反三角函数arcsin,arccos,,yxxarctgxarcctgx。

２．初等函数的连续

定理１任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。

定理２一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。

３．利用初等函数的连续性可计算极限

例３．设

0

lim()0

xx

uxa



，

0

lim()

xx

vxb



，证明：

0

()lim()vxb

xx

uxa



。

例４．求

0

ln(1)

lim

x

x

x



。

例５求

2

0

ln(1)

lim

cosx

x

x



。

三区间上连续函数的基本性质

引言

闭区间上的连续函数具有一些重要的性质。现将将基本的列举如下。从几

何上看，这些性质都是十分明显的。但要严格证明它们，还需其它知识，将在

第七章§２给出。先给出下面的关于“最大大值”的定义：

定义１设f为定义在数集Ｄ上的函数，若存在

0

xD，使得对一切xD

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--

45

都有

0

()()fxfx（

0

()()fxfx），则称

f

在Ｄ上有最大（小）值，并称

0

()fx

为

f

在Ｄ上的最大（小）值。

例如，sin,[0,]yx。

max

1y、

min

0y。

一般而言，

f

在其定义域上不一定有最大（小）值，即使

()fx

在Ｄ上有界。

例如：

(),(0,1)fxxx

无最大（小）值；

1

,(0,1)

()

2,0,1

x

fx

x

x

















在［０，１］上也无最大（小）值。

１．性质

性质１（最大、最小值定理）若

f

在闭区间[,]ab上连续，则

f

在[,]ab上有最

大值与最小值。

性质２（有界性定理）若

f

在[,]ab上连续，则

f

在[,]ab上有界。

思考①考虑函数(),(0,1)fxxx，

1

,(0,1)

()

2,0,1

x

gx

x

x

















上述结论成立否？说

明理由；②f要存在最大（小）值或有界是否一定要f连续？是否一定要闭区

间呢？

结论上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。

性质３（介值定理）设f在[,]ab上连续，且()()fafb。若



是介于()fa和()fb

之间的任何实数，则至少存在一点

0

(,)xab，使得

0

()fx。

注表明若f在[,]ab上连续，又()()fafb的话，则f在[,]ab上可以取得()fa

和()fb之间的一切值。（如左图）。

性质４（根存在定理）若f在[,]ab上连续，且()fa和()fb异号

（()()0fafb），则至少存在一点

0

[,]xab，使得

0

()0fx。

几何意义若点(,())Aafa和(,())Bbfb分别在x轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线

()yfx与x轴至少有一个交点。

２．闭区间上连续函数性质应用举例

临沂师范学院《数学分析》教案

--

46

关健构造适当的

f

；构造适当的闭区间。

例６．证明：若0r，n为正整数，则存在唯一正数

0

x，使得

0

nxr。

例７．设

f

在[,]ab上连续，满足([,])[,]fabab。证明：存在

0

[,]xab，

使得

00

()fxx。

四一致连续性

引言

在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续。我

们先叙述何谓一致连续。

设()fx在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是()fx在区间Ｉ内每一点都连

续。即对

00

,0,(;)xIxUx时，就有

0

|()()|fxfx。

一般说来，对同一个，当

0

x不同时，



一般是不同的。例如图左。中

1

y

x



的曲线，对接近于原点的

0

x，



就应取小一些。而当

0

x离原点较远时，



取大

一些。（对后者的



值就不一定可用于前者。但在以后的讨论中，有时要求能取

到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的



，这就需要引进一个新概念——一致连

续。

１．一致连续的定义

定义（一致连续）设f为定义在区间Ｉ上的函数。若对任给的

0，存在一个()0，使得对任何,xxI



，只要||xx

，就有

||fxfx

，则称函数f在区间Ｉ上一致连续。

２．函数在区间上连续与一致连续的比较

（１）区别：

定

义

函数f在Ｉ连续，

0

,0,0xI，当

0

(;)xUx

时，



0

||fxfx



函数f在Ｉ上一致连

续，0,0，当

,xxI



，

0

,(;)xxUx

时，

||fxfx



临沂师范学院《数学分析》教案

--

47

对



的

要

求

对于Ｉ上的不同的点

0

x，

相应的



是不同的，换言

之，



的取值除依赖于

外，还与

0

x有关，由此记

为

0

(;)x表示



与

和

0

x有关。



的取值只与有关，

而与

0

x无关，或者说，

存在适合于Ｉ上所有

点

0

x的公共的



，记作

()，它对任意的

0

x都适用。

性

质

与区间中每一点及其附近

的

()fx

情形有关，即只要

在区间中每一点，连续就

行。也即在每一点中可有

适合定义中的



，这是局

部性质。

要知

f

在整个区间的

情形，在整个区间内来

找适合定义中的



，这

种性质称为整体性质。

（２）关系

若

f

在Ｉ上一致连续，则

f

在Ｉ上连续；反之不成立（即若

f

在Ｉ上连续，

f

不一定在Ｉ上一致连续。

３．问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：

定理（康托Cantor定理）若函数

f

在闭区间[,]ab上连续，则

f

在[,]ab上

一致连续。

４．一致连续的例子

例１．证明()fxaxb(0)a在(,)上一致连续。

例２．（１）证明函数

1

y

x

在(0,1)内不一致连续。

（２）0c，证明

1

y

x

在(,1)c内是一致连续的。

例３．证明

1

sin

x

在(,1)c(0)c内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非

一致连续。

例４．设区间

1

I的右端点为

1

cI，区间

2

I的左端点也为

2

cI（

12

,II可分

别为有限或无限区间）。试按一致连续性定义证明：若f分别在

1

I和

2

I上的一致

连续，则f在

12

III上也一致连续。

§３初等函数的连续性

教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以

证明。

教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概

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--

48

念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的

极限。

教学重点：初等函数的连续性的阐明。

教学难点：初等函数连续性命题的证明。

教学方法：学导式教学。

第五章导数和微分

教学目的：

1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出

发求一些简单函数的导数与微分；

2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算

性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分

运算；

3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。

教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函

数的导数。

教学时数：16学时

§1导数的概念（4学时）

教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义

出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算

问题。

教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给

出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相

互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决

一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。

教学重点：导数的概念。

教学难点：导数的概念。

教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。

一、问题提出：导数的背景.

背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.

二、讲授新课：

1.导数的定义:定义的各种形式.的定义.导数的记法.

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49

有限增量公式:

例1求

例2设函数在点可导,求极限

2.单侧导数:定义.单侧可导与可导的关系.曲线的尖点.

例3考查在点的可导情况.

3.导数的几何意义:

可导的几何意义,导数的几何意义,单侧导数的几何意义.

例4求曲线在点处的切线与法线方程.

4.可导与连续的关系:

5.导函数:函数在区间上的可导性,导函数,导函数的记法.

注意:等具体函数的导函数不能记为应记为

6.费马定理及达布定理

§2求导法则（4学时）

教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，

并熟练进行初等函数的导数运算。

教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函

数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟

练准确地求出初等函数的导数。

教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；

教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。

教学方法：以问题教学法为主，结合课堂练习。

一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课.

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50

二、讲授新课：

（一）.基本初等函数求导

推导基本初等函数的求导公式.

（二）.导数的四则运算法则:推导导数四则运算公式.(只证“”和“”)

例1求

例2求(

例3求

例4证明:(用商的求导公式证明).

例5证明:

例6证明:.

例7求曲线在点处的切线方程.

（三）.反函数的导数:推导公式并指出几何意义.

例8证明反三角函数的求导公式.(只证反正弦)

（四）.复合函数求导法——链锁公式：

例9设为实数，求幂函数的导数.

解

例10求和

例11求

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51

例12求

§3.参变量函数的导数（2学时）

教学目的：熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。

教学要求：会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合

应用。

教学重点：含参量方程的求导法则。

教学难点：含参量函数导数的计算。

教学方法：以问题教学为主，结合练习。

一.复习：导数公式及其运算法则.

二.讲授新课：

1.参变量函数的导数公式：

设函数可导且

证（法一）用定义证明.

（法二）由恒有或严格单

调.(这些事实的证明将在下一章给出.)因此,有反函数,设反函数为

),有用复合函数求导法,并注意利用反函数求导

公式.就有

例1.设求

2.取对数求导法:

例2.设求

例3.设求

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52

例4.设求

3..抽象函数求导:

例5.求和

例6若可导,求.

§4高阶导数（2学时）

教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。

教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。能

正确理解和运用一阶微分的形式不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。

教学重点：高阶导数（微分）的计算。

教学难点：高阶导数（微分）的计算。

教学方法：以问题教学为主，结合练习。

一.高阶导数:

定义:

注意区分符号和

以函数为例介绍高阶导数计算方法.

高阶导数的记法.

二.几个特殊函数的高阶导数:

1.多项式:多项式的高阶导数.

例1求和.

2.正弦和余弦函数:计算、、、的

公式.

3．和的高阶导数：

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--

53

4．的高阶导数：

5．的高阶导数：

6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数求

为例.

三.高阶导数的运算性质:设函数和均阶可导.则

1．

2．

3．乘积高阶导数的Leibniz公式：约定

（介绍证法.）

例2求

解

例3求

解

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--

54

例4其中二阶可导.求

例5验证函数满足微分方程

并依此求

解两端求导

即对此式两端求阶导数,利用Leibniz公式,有

可见函数满足所指方程.在上式中令得递推公式

注意到和,就有

时,

时,

四.参数方程所确定函数的高阶导数:

临沂师范学院《数学分析》教案

--

55

例6求

解

§5微分（2学时）

教学目的：

1.准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的

导数与微分。

2.弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法

则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。

3.能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。

教学要求：

1.清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发

求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微

分。

2.明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、

利用微分求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。

教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系

教学难点：运用微分的意义解决实际问题

一.微分概念:

1.微分问题的提出:从求的近似值入手,通过[1]P133例和可导函

数的情况,引出微分问题.

几个数据:,

(查表得)

2.微分的定义:

3.微分的计算和几何意义:

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--

56

Th(可微与可导的关系).

例1求和

二.微分运算法则:[1]P112法则1—4.只证2.

一阶微分形式不变性.利用微分求导数.微商.

例2求和

例3求和

三．微分的应用:

1.建立近似公式:原理:即

特别当时,有近似公式具体的近似公式如:

等.

2.作近似计算:原理:

例4求和的近似值.

例5求的近似值.

3．估计误差：

绝对误差估计：

相对误差估计：

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57

例6（[1]P138E5）设已测得一根圆轴的直径为，并知在测量中

绝对误差不超过.试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.

4.求速度:原理:

例7球半径以的速度匀速增大.求时,球体积增

大的速度.

四．高阶微分：

高阶微分的定义：

阶微分定义为阶微分的微分，即

注意区分符号的意义.

例7求

以例7为例,说明高阶微分不具有形式不变性:

在例7中,倘若以求二阶微分,然后代入,就有

倘若先把代入,再求二阶微分,得到

可见上述两种结果并不相等.这说明二阶微分已经不具有形式不变性.一

般地,高阶微分不具有形式不变性.

习题课（2学时）

临沂师范学院《数学分析》教案

--

58

一、理论概述：

二、范例讲析：

（一）.可导条件:

例1设在点的某邻域内有证明在点可导.

例2设函数在点可导,则在点

不可导.

例3设函数定义在区间内,试证明:在点

可导的充要条件是存在内的函数（仅依赖于和.使

在点连续且适合条件

并有

证设存在,定义

易验证函数在点连续,且

设又在点连续.

则有

即存在且

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--

59

（二）.求导数或求切线:

例4求和参阅[4]P92

E11.

例5求

例6求

解

设其中为的多项式.注意到对任何正

整数

则有

对有

例7抛物线方程为求下列切线:

⑴过点(该点在抛物线上)()

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--

60

⑵过点.(该点不在抛物线上)(和

)

（三）曲线的吻接:曲线的吻接及其解析表达.

例8设确定、和的值，使函数在

点可导.)

（四）.奇、偶函数和周期函数的导函数：

例9可导奇函数的导函数是偶函数.(给出用定义证和用链导公式证两

种证法)

例10设是偶函数且在点可导,则.

证

即

由存在，

简提可导周期函数的导函数为周期函数,且周期不变.

（五）.关于可导性的一些结果:

1.若是初等函数,则也是初等函数.在初等函数的定

义域内,导函数不存在的点是函数的不可导点.例如函数

的定义域是,但导函数在点没有定义,因此点

是函数的不可导点.

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--

61

2.存在仅在一点可导的函数.例如

该函数仅在点可导.

3.存在处处连续但处处不可导的函数.

第六章微分中值定理及其应用

教学目的：

1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；

2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；

3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；

4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根

据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；

5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。

教学重点、难点：

本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；

难点是用辅助函数解决问题的方法。

教学时数：14学时

§1中值定理（4学时）

教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的

理论基础。

教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证

明方法，知道三者之间的包含关系。

教学重点：中值定理。

教学难点：定理的证明。

教学难点：系统讲解法。

一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，

引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如

何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话

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--

62

说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们

要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定

理及其应用§1拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）

二、讲授新课：

（一）极值概念：

1．极值：图解，定义(区分一般极值和严格极值.)

2.可微极值点的必要条件:

Th(Fermat)(证)

函数的稳定点,稳定点的求法.

（二）微分中值定理:

中值定理:叙述为Th1.(证)定理条件的充分但不必要性.

ge中值定理:叙述为Th2.(证)图解.

用分析方法引进辅助函数,证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅

[1]P157.

Lagrange中值定理的各种形式.关于中值点的位置.

推论1函数在区间I上可导且为I上的常值函数.

(证)

推论2函数和在区间I上可导且

推论3设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.若

存在,则右导数也存在,且有(证)

但是,不存在时,却未必有不存在.例如对函数

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--

63

虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).

Th(导数极限定理)设函数在点的某邻域内连续,在内

可导.若极限存在,则也存在,且(证)

由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数

的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上

点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.

推论4(导函数的介值性)若函数在闭区间上可导,且

(证)

Th(Darboux)设函数在区间上可导且.若

为介于与之间的任一实数,则

设对辅助函数,应用系4的结果.(证)

中值定理:

Th3设函数和在闭区间上连续,在开区间内可导,

和在内不同时为零,又则在内至少存在一点使

.

证分析引出辅助函数.验证在

上满足Rolle定理的条件,

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--

64

必有,因为否则就有.这与条件“和在内不

同时为零”矛盾.

Cauchy中值定理的几何意义.

（三）中值定理的简单应用:

1.证明中值点的存在性

例1设函数在区间上连续,在内可导,则,使

得.

证在Cauchy中值定理中取.

例2设函数在区间上连续,在内可导,且有.

试证明:.

2.证明恒等式:原理.

例3证明:对,有.

例4设函数和可导且又则

.证明.

例5设对,有,其中是正常

数.则函数是常值函数.(证明).

3.证明不等式:

例6证明不等式:时,.

例7证明不等式:对，有.

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--

65

4.证明方程根的存在性:

证明方程在内有实根.

例8证明方程在内有实根.

§2柯西中值定理和不定式的极限（2学时）

教学目的：

1.掌握讨论函数单调性方法；

2.掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。

教学要求：

1.熟练掌握L’Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的

极限；

2.深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用

导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。

教学重点：利用函数的单调性，L’Hospital法则

教学难点：L’Hospital法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；。

教学方法：问题教学法，结合练习。

一.型:

Th1(Hospital法则)(证)应用技巧.

例1

例2.

例3.(作代换或利用等价无穷小代换直接计算.)

例4.(Hospital法则失效的例)

二.型:

Th2(Hospital法则)(证略)

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66

例5.

例6.

註:关于当时的阶.

例7.(Hospital法则失效的例)

三.其他待定型:.前四个是幂指型的.

例8

例9.

例10.

例11.

例12.

例13.

例14设且求

解

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67

.

§3Taylor公式（2学时）

教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。

教学要求：

1.深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor

公式及其之间的差异；

2.掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用。

3.会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代

Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限。

教学重点：Taylor公式

教学难点：Taylor定理的证明及应用。

教学方法：系统讲授法。

一.问题和任务:

用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的

精度.

二.Taylor(1685—1731)多项式:

分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式

定义Taylor多项式及Maclaurin多项式

例1求函数在点的Taylor多项式.

[1]P174.(留作阅读)

三.Taylor公式和误差估计:

称为余项.称给出的定量或定性描述的式

为函数的Taylor公式.

1.误差的定量刻画(整体性质)——Taylor中值定理:

Th1设函数满足条件:

ⅰ>在闭区间上有直到阶连续导数;

临沂师范学院《数学分析》教案

--

68

ⅱ>在开区间内有阶导数.则对使

.

证[1]P175—176.

称这种形式的余项为Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的

Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还可写为

.

时,称上述Taylor公式为Maclaurin公式,此时余项常写为

.

2.误差的定性描述(局部性质)——Peano型余项:

Th2若函数在点的某邻域内具有阶导数,且存在,则

,.

证设,.应用Hospital法则

次,并注意到存在,就有

=

临沂师范学院《数学分析》教案

--

69

.

称为Taylor公式的Peano型余项,相应的Maclaurin公

式的Peano型余项为.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具

Peano型余项的Taylor公式(或Maclaurin公式).

四.函数的Taylor公式(或Maclaurin公式)展开:

1.直接展开:

例2求的Maclaurin公式.

解.

例3求的Maclaurin公式.

解,

.

例4求函数的具Peano型余项的Maclaurin公式.

解.

.

例5把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin

公式.([1]P179E5,留为阅读.)

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--

70

2.间接展开:利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式.

例6把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公

式.

解,

.

例7把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公

式.

解,

注意,

.

例8先把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式.利

用得到的展开式,把函数在点展开成具Peano型余项的

Taylor公式.

解.

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--

71

=+

例9把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式，并与的

相应展开式进行比较.

解

;

.

而.

五.Taylor公式应用举例:

1.证明是无理数:

例10证明是无理数.

证把展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式,有

.

反设是有理数,即和为整数),就有整数+.

临沂师范学院《数学分析》教案

--

72

对也是整数.于是,整数=整数―整数=整数.

但由因而当时，不可能是整数.矛盾.

2.计算函数的近似值:

例11求精确到的近似值.

解.

注意到有.为使,

只要取.现取,即得数的精确到的近似值为

.

3.利用Taylor公式求极限:原理:

例12求极限.

解,

;

.

4.证明不等式：原理.

临沂师范学院《数学分析》教案

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73

例13证明:时,有不等式.[3]P130E33.

§4函数的极值与最大（小）值（2学时）

教学目的：会求函数的极值和最值。

教学要求：

1.会求函数的极值与最值；

2.弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握

求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值

与最值；会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条件，也

应用基本的了解。

教学重点：利用导数求极值的方法

教学难点：极值的判定

教学方法：讲授法＋演示例题

一．可微函数单调性判别法：

1．单调性判法：

Th1设函数在区间内可导.则在内↗(或↘)

在内(或).

证)

)证.

Th2设函数在区间内可导.则在内↗↗(或↘↘)

ⅰ>对有(或;

ⅱ>在内任子区间上

2.单调区间的分离:的升、降区间分别对应的非负、非正值区间.

例1分离函数的单调区间.

更一般的例可参阅[4]P147—148E13，14.

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--

74

二.可微极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值,极值是多少.

1.可微极值点的必要条件:Fermat定理(表述为Th3).

函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点,可疑点的求法.

2.极值点的充分条件:对每个可疑点,用以下充分条件进一步鉴别是否为

极值点.

Th4(充分条件Ⅰ)设函数在点连续,在邻域和

内可导.则

ⅰ>在内在内时,

为的一个极小值点;

ⅱ>在内在内时,

为的一个极大值点;

ⅲ>若在上述两个区间内同号,则不是极值点.

Th5(充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点为函数的驻点且

存在.则

ⅰ>当时,为的一个极大值点;

ⅱ>当时,为的一个极小值点.

证法一

当时,在点的某空心邻域内与异

号,……

证法二用Taylor公式展开到二阶,带Peano型余项.

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--

75

Th6(充分条件Ⅲ)设,而.

则

ⅰ>为奇数时,不是极值点;

ⅱ>为偶数时,是极值点.且对应极小;对应极大.

例2求函数的极值.[1]P190E3

例3求函数的极值.[1]P190E4

3.函数的最值:设函数在闭区间上连续且仅有有限个可疑点

.则

=;

.

函数最值的几个特例:

ⅰ>单调函数的最值:

ⅱ>如果函数在区间上可导且仅有一个驻点,则当为极大

值点时,亦为最大值点;当为极小值点时,亦为最小值点.

ⅲ>若函数在内可导且仅有一个极大(或小)值点,则该点亦为最

大(或小)值点.

ⅳ>对具有实际意义的函数,常用实际判断原则确定最大(或小)值点.

三.最值应用问题:

例4、两村距输电线（直线）分别为和（如图），长

.现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长最

小.

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76

解设如图，并设输电线总长为.则有

,

,

解得和(捨去).答：……

四.利用导数证明不等式:

我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor公式证明不等式的一些方法.其实,

利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种(参阅[3]P112—142).本段仅介

绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理.

1.利用单调性证明不等式:

原理:若↗,则对,有不等式.

例5证明:对任意实数和,成立不等式

证取在内↗

↗.于是,由,就有,即

.

2.不等式原理:[4]P169—171.

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77

不等式原理:设函数在区间上连续,在区间内可

导,且;又则时,(不等式原理的其

他形式.)

例6证明:时,.

例7证明:时,.

2.利用极值证明不等式:

例8证明:时,.

§5函数的凸性与拐点（2学时）

教学目的：掌握讨论函数的凹凸性和方法。

教学要求：弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线

的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。

教学重点：利用导数研究函数的凸性

教学难点：利用凸性证明相关命题

教学方法：系统讲授法＋演示例题

一．凸性的定义及判定：

1．凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.

定义设函数在区间上连续.若对,恒有

,或.

则称曲线在区间上是凹(或凸)的.若在上式中,当时,

有严格不等号成立,则称曲线在区间上是严格凹(或严格凸)的.

凹和凸也分别称为上凸和下凸.

凸性的几何意义:倘有切线,与切线的位置关系;与弦的位置关系;曲线的

弯曲方向.

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--

78

2．利用二阶导数判断曲线的凸向:

Th设函数在区间内存在二阶导数,则在内

⑴在内严格上凸;

⑵在内严格下凸.

该判别法也俗称为“雨水法则”.

证法一(用Taylor公式)对设,把

在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式,有

.

其中和在与之间.注意到,就有

,于是

若有上式中,即严格上凸.

若有上式中,即严格下凸.

证法二(利用Lagrange中值定理.)若则有↗↗,不

妨设,并设,分别在区间和上应用Lagrange

中值定理,有

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79

,

.

有又由，

<,，即

，严格下凸.

可类证的情况.

3．凸区间的分离:的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.

二.曲线的拐点:拐点的定义.

例1确定函数的上凸、下凸区间和拐点.[4]P154E20

解的定义域为

.令,解得

.

在区间内的符号依次

为，.拐点为:

倘若注意到本题中的是奇函数,可使解答更为简捷.

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80

三.Jenn不等式及其应用:

Jenn不等式:设在区间上恒有(或,则对

上的任意个点,有Jenn不等式:

(或,

且等号当且仅当时成立.

证令,把表为点处具二阶Lagrange型余项的

Taylor公式，仿前述定理的证明，注意即得所证.

对具体的函数套用Jenn不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.

这种证明不等式的方法称为Jenn不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还

用到所选函数的严格单调性.

例2证明:对有不等式.

例3证明均值不等式:对,有均值不等式

.

证先证不等式.

取.在内严格上凸,由Jenn不等式,有

.

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81

由↗↗.

对用上述已证结果,即得均值不等式的左半端.

例4证明:对,有不等式

.(平方根平均值)

例5设，证明.

解取,应用Jenn不等式.

Jenn不等式在初等数学中的应用举例:参阅荆昌汉文:“凸(凹)函数

定理在不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4.P39.

例6在⊿中,求证.

解考虑函数在

区间内凹,由Jenn不等式,有

.

.

例7已知.求证

.

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82

解考虑函数,在内严格上凸.由Jenn不等

式,有

.

.

例8已知求证.(留为作业)

解函数在内严格下凸.由Jenn不等式,有

.

习题、小结（2学时）

第七章实数的完备性

教学目的：

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续

函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定

理的应用。

教学时数：14学时

§1关于实数集完备性的基本定理（4学时）

教学目的：

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83

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础。

教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。

一．确界存在定理：回顾确界概念．

Th1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界.

二.单调有界原理:回顾单调和有界概念.

Th2单调有界数列必收敛.

三.Cantor闭区间套定理:

1.区间套:设是一闭区间序列.若满足条件

ⅰ>对,有,即,亦即后

一个闭区间包含在前一个闭区间中;

ⅱ>.即当时区间长度趋于零.

则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套.

简而言之,所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.

区间套还可表达为:

.

我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列和,其中递

增,递减.

例如和都是区间套.但、

和都不是.

区间套定理:

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84

Th3设是一闭区间套.则存在唯一的点,使对有

.

简言之,区间套必有唯一公共点.

四．Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件:

1.基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为

Cauchy列.

例1验证以下两数列为Cauchy列:

⑴.

⑵.

解⑴

;

对，为使，易见只要.

于是取.

⑵

.

当为偶数时,注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号,

有

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85

,

又

.

当为奇数时,

,

.

综上,对任何自然数,有

.……

Cauchy列的否定:

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86

例2.验证数列不是Cauchy列.

证对,取,有

.

因此,取,……

收敛原理:

Th4数列收敛是Cauchy列.

(要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依

据，利用Heine归并原则给出证明)

五.致密性定理:

数集的聚点

定义设是无穷点集.若在点(未必属于)的任何邻域内有的无

穷多个点,则称点为的一个聚点.

数集=有唯一聚点,但;开区间的全体聚点之集

是闭区间;设是中全体有理数所成之集,易见的聚点集是闭

区间.

1.列紧性:亦称为Weierstrass收敛子列定理.

Th5(Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列.

2.聚点原理:Weierstrass聚点原理.

Th6每一个有界无穷点集必有聚点.

六.Heine–Borel有限复盖定理:

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87

1.复盖:先介绍区间族.

定义(复盖)设是一个数集,是区间族.若对

,则称区间族复盖了,或称区间族是数集的一个复盖.记为

若每个都是开区间,则称区间族是开区间族.开区间族常记为

.

定义(开复盖)数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖,简

称为的一个复盖.

子复盖、有限复盖、有限子复盖.

例3复盖了区间,但不能复盖

;复盖,但不能复盖

.

–Borel有限复盖定理:

Th7闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.

§2实数基本定理等价性的证明（4学时）

证明若干个命题等价的一般方法.

本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明按以下三条路线进行:

Ⅰ:确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则

确界原理;

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88

Ⅱ:区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则;

Ⅲ:区间套定理Heine–Borel有限复盖定理区间套定理.

一.“Ⅰ”的证明:(“确界原理单调有界原理”已证明过).

1.用“确界原理”证明“单调有界原理”:

Th2单调有界数列必收敛.

证

2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”:

Th3设是一闭区间套.则存在唯一的点,使对有

.

证

系1若是区间套确定的公共点,则对,

当时,总有.

系2若是区间套确定的公共点,则有

↗,↘,.

3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:

Th4数列收敛是Cauchy列.

引理Cauchy列是有界列.(证)

Th4的证明:(只证充分性)教科书P217—218上的证明留作阅读.现

采用[3]P70—71例2的证明,即三等分的方法,该证法比较直观.

4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：

Th1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界.

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89

证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集.当

为有限集时,显然有上确界.下设为无限集,取不是的上界,

为的上界.对分区间,取,使不是的上界,为

的上界.依此得闭区间列.验证为Cauchy列,由Cauchy收敛

准则,收敛;同理收敛.易见↘.设↘.有↗.下

证.用反证法验证的上界性和最小性.

二.“Ⅱ”的证明:

1.用“区间套定理”证明“致密性定理”:

Th5(Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列.

证（突出子列抽取技巧）

Th6每一个有界无穷点集必有聚点.

证（用对分法）

2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：

Th4数列收敛是Cauchy列.

证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收

敛子列的极限即为的极限.

三.“Ⅲ”的证明:

1.用“区间套定理”证明“Heine–Borel有限复盖定理”:

证

2.用“Heine–Borel有限复盖定理”证明“区间套定理”:

证采用[3]P72例4的证明.

§3闭区间上连续函数性质的证明（4学时）

教学目的：能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命

题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

临沂师范学院《数学分析》教案

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90

教学重点难点：基本定理的应用。

一.有界性:

命题1,在上.

证法一(用区间套定理).反证法.

证法二(用列紧性).反证法.

证法三(用有限复盖定理).

二.最值性:

命题2,在上取得最大值和最小值.

(只证取得最大值)

证(用确界原理)参阅[1]P226[证法二]后半段.

三.介值性:证明与其等价的“零点定理”.

命题3(零点定理)

证法一(用区间套定理).

证法二(用确界原理).不妨设.

令,则非空有界,有上确界.设

,有.现证,(为此证明且).

取>且.由在点连续和,

,

.于是.由在点连续和,

.因此只能有.

证法三(用有限复盖定理).

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91

四.一致连续性:

命题4(Cantor定理)

证法一(用区间套定理).参阅[1]P229—230[证法一]

证法二(用列紧性).参阅[1]P229—230[证法二]

习题课（2学时）

一．实数基本定理互证举例：

例1用“区间套定理”证明“单调有界原理”.

证设数列递增有上界.取闭区间,使不是的上

界,是的上界.易见在闭区间内含有数列的无穷多项,

而在外仅含有的有限项.对分,取使有

的性质.…….于是得区间套,有公共点.易见在点的

任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项,

.

例2用“确界原理”证明“区间套定理”.

证为区间套.先证每个为数列的下界,而每个

为数列的上界.由确界原理,数列有上确界,数列有下

确界.设,.

易见有和.由，.

例3用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.

证(用反证法)设为有界无限点集,.反设的

每一点都不是的聚点,则对,存在开区间,使在

内仅有的有限个点.…….

临沂师范学院《数学分析》教案

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例4用“确界原理”证明“聚点原理”.

证设为有界无限点集.构造数集中大于的点有无穷多

个.易见数集非空有上界,由确界原理,有上确界.设.

则对,由不是的上界,中大于的点有无穷多个;由

是的上界,

中大于的点仅有有限个.于是,在内有的无穷

多个点,即是的一个聚点.

二.实数基本定理应用举例：

例5设是闭区间上的递增函数,但不必连续.如果

,,则,使.(山东大学研究生入学试题)

证法一(用确界技术.参阅[3]P76例10证法1)

设集合.则,不空;

,有界.由确界原理,有上确界.设,则.下

证.

ⅰ>若,有;又,得.

由递增和,有,可见.由

,.于是,只能有.

ⅱ>若,则存在内的数列,使↗,;也

存在数列,↘,.由递增,以及

,就有式对任何成立.令,得

于是有.

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证法二(用区间套技术,参阅[3]P77例10证法2)当或

时,或就是方程在上的实根.以下总设

.对分区间,设分点为.倘有,就是方

程在上的实根.(为行文简练计,以下总设不会出现这种情况).

若,取;若,取,如此得一级

区间.依此构造区间套,对,有

.由区间套定理,,使对任何,

有.现证.事实上,注意到时↗和

↘以及递增,就有

.

令,得于是有.

例6设在闭区间上函数连续,递增,且有

,.试证明:方程在区间内有实根.

（西北师大2001年硕士研究生入学试题）

证构造区间套,使.由区间套定

理,,使对,有.现证.事实上,由

在上的递增性和的构造以及↗和↘,,有

.

注意到在点连续，由Heine归并原则,有

,

临沂师范学院《数学分析》教案

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,.为方程在区间

内的实根.

例7试证明:区间上的全体实数是不可列的.

证(用区间套技术,具体用反证法)反设区间上的全体实数是

可列的,即可排成一列:

把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区

间为一级区间.把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区

间不含，记该区间为二级区间.…….依此得区间套,

其中区间不含.由区间套定理,,使对,有

.当然有.但对有而,

.矛盾.

第八章不定积分

教学要求：

1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原

函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌

握不定积分的基本积分公式。

2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：

牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函

数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函

数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，

熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达

到快而准的求出不定积分。

3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要

求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积

分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的

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不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，

从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用

分部积分公式；

教学时数：18学时

§1不定积分概念与基本公式（4学时）

教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概

念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法

则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。

教学重点：深刻理解不定积分的概念。

一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算.

二、讲授新课：

（一）不定积分的定义:

1.原函数：

例1填空:;(;

;;;

.

定义.注意是的一个原函数.

原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.

原函数的个数:

Th若是在区间上的一个原函数,则对，都是

在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有

.(证)

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96

可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为

{│Ｒ}.

原函数的存在性:连续函数必有原函数.(下章给出证明).

可见,初等函数在其定义域内有原函数;若在区间上有原函数,

则在区间上有介值性.

例2.已知为的一个原函数,=5.求.

2.不定积分——原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.

例3;.

（二）不定积分的基本性质:以下设和有原函数.

⑴.

(先积分后求导,形式不变应记牢！).

⑵.

(先求导后积分,多个常数需当心！)

⑶时，

（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可见,不定积分是线性运算,即对,有

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97

(当时,上式右端应理解为任意常数.)

例4.求.(=2).

（三）.不定积分基本公式:基本积分表.[1]P180—公式1—14.

例5.

（四）．利用初等化简计算不定积分:

例6.求.

例7.

例8.

例9.

例10⑴;⑵

例11.

例12.

三、小结

§2换元积分法与分部积分法（10学时）

教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要

求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选

取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道

求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分

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的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从

而逐步达到快而准的求出不定积分。

教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

一、新课引入：由直接积分的局限性引入

二、讲授新课：

（一）.第一类换元法——凑微分法：

由

引出凑微公式.

Th1若连续可导,则

该定理即为：若函数能分解为

就有

.

例1.

例2.

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99

例3

常见微分凑法：

凑法1

例4

例5

例6

例7

由例4—7可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.

例8⑴.⑵

.

凑法2.特别地,有

.和.

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100

例9.

例10

例11.

例12

=.

凑法3

例13⑴⑵

例14

例15.

例16

凑法4.

例17