向量的线性运算

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平面向量的线性运算

【学习目标】

1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.

2．能结合图形进行向量的计算．

3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．

4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．

5．掌握向量共线的条件．

【要点梳理】

要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则

1.向量加法的概念及三角形法则

已知向量

,ab

rr

，在平面内任取一点A，作

,ABaBCb

uuurruuurr

，再作向量AC

uuur

，则向量AC

uuur

叫做a

r

与b

r

的和，

记作ab

rr

，即abABBCAC

rruuuruuuruuur

．如图

本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．

2．向量加法的平行四边形法则

已知两个不共线向量

,ab

rr

，作

,ABaADb

uuurruuurr

，则,,ABD三点不共线，以

,ABAD

uuuruuur

为邻边作平行

四边形ABCD，则对角线ACab

uuurrr

．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

对于零向量与任一向量a

r

，我们规定00aaa

rrrrr

．

要点诠释：

两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.

要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律

1.向量求和的多边形法则的概念

已知

n

个向量，依次把这

n

个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第

n

个向量的终点为终点的

向量叫做这

n

个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．

112231nnn

AAAAAAAA





uuuuruuuuruuuuruuuuuur

特别地，当

1

A与

n

A重合，即一个图形为封闭图形时，有

122311

0

nnn

AAAAAAAA





uuuuruuuuruuuuuuruuuurr

2．向量加法的运算律

（1）交换律：abba

rrrr

；

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（2）结合律：

()()abcabc

rrrrrr

要点三：向量的三角形不等式

由向量的三角形法则，可以得到

(1)当

,ab

rr

不共线时，

||||||abab

rruurr

；

(2)当

,ab

rr

同向且共线时，

,,abab

rrrr

同向，则

||||||abab

rruurr

；

(3)当

,ab

rr

反向且共线时，若

||||ab

uurr

，则

aba

rrr

与

同向，

||||||abab

rruurr

；若

||||ab

uurr

，则

abb

rrr

与

同向，

||||||abba

rruurr

．

要点四：向量的减法

1．向量的减法

（1）如果bxa

rrr

，则向量x

r

叫做a

r

与b

r

的差，记作ab

rr

，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此

定义是向量加法的逆运算给出的．

相反向量：与向量a

r

方向相反且等长的向量叫做a

r

的相反向量．

（2）向量a

r

加上b

r

的相反向量，叫做a

r

与b

r

的差，即

()abab

rrrr

．求两个向量差的运算，叫做向

量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．

要点诠释：

（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．

（2）对于相反向量有

()0aa

rrr

；若a

r

，b

r

互为相反向量，则

,0abab

rrrrr

．

（3）两个向量的差仍是一个向量．

2．向量减法的作图方法

（1）已知向量a

r

，b

r

，作

,OAaOBb

uuurruuurr

，则BAab

uuurrr

=OAOB

uuuruuur

,即向量BA

uuur

等于终点向量（OA

uuur

）

减去起点向量（OB

uuur

）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的

终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．

（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出ab

rr

．作

,,OAaOBbACb

uuurruuurruuurr

，

则

()OCab

uuurrr

，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．

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要点五：数乘向量

1.向量数乘的定义

实数与向量的积：实数与向量a



的积是一个向量，记作：a

r

(1)||||||aa

rr

；

(2)①当0时，a



的方向与a



的方向相同；

②当0时.a



的方向与a



的方向相反；

③当0时，0





a.

2．向量数乘的几何意义

由实数与向量积的定义知，实数与向量的积a



的几何意义是：a



可以由a

r

同向或反向伸缩得到．当

||1时，表示向量a

r

的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的||倍得到a



；

当0||1时，表示向量a

r

的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的||倍得到

a



；当1时，a



=a

r

；当1时，a



=-a

r

，与a

r

互为相反向量；当0时，a



=0

r

．实数与向

量的积得几何意义也是求作向量a



的作法．

3.向量数乘的运算律

设、为实数

结合律：()()aa

rr

；

分配律：aaa



)(，baba









)(

要点六：向量共线的条件

1．向量共线的条件

（1）当向量0a

rr

时，a

r

与任一向量b

r

共线．

（2）当向量0a

rr

时，对于向量b

r

．如果有一个实数，使ba

r

r

，那么由实数与向量的积的定义知b

r

与a

r

共线．

反之，已知向量b

r

与a

r

（0a

rr

）共线且向量b

r

的长度是向量a

r

的长度的倍，即

||||ba

r

r

，那么当b

r

与a

r

同向时，ba

r

r

；当b

r

与a

r

反向时，ba

r

r

．

2．向量共线的判定定理

a



是一个非零向量，若存在一个实数，使

ba

rr

，则向量b

r

与非零向量a



共线．

3．向量共线的性质定理

若向量b

r

与非零向量a



共线，则存在一个实数，使

ba

rr

．

要点诠释：

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（1）两个向量定理中向量a



均为非零向量，即两定理均不包括0

r

与0

r

共线的情况；

（2）0a

rr

是必要条件，否则0a

r

r

，0b

rr

时，虽然b

r

与a

r

共线但不存在使ba

rr

；

（3）有且只有一个实数，使ba

rr

．

（4）

//(0)ababb

rrrrrr

是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转

化，体现了数形结合的高度统一.

【典型例题】

类型一：向量的加法运算

例1．如图所示，已知三个向量

r

a、b

r

、

r

c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量

r

a+b

r

+

r

c．

【解析】利用三角形法则作

r

a+b

r

+

r

c，如图1所示，作

uuurr

OAa，以A为起点，作

uuurr

ABb，

再以B为起点，作

uuurr

BCc，则

uuuruuuruuuruuuruuuruuurrrr

OCOBBCOAABBCabc．

利用平行四边形法则作

r

a+b

r

+

r

c，如图2所示，作

uuurr

OAa，

uuurr

OBb，

uuurr

OCc，以OA

uuur

、

OB

uuur

为邻边作平行四边形OADB，则

uuurrr

ODab，再以OD

uuur

、OC

uuur

为邻边作平行四边形ODEC，则



uuuruuuruuurrrr

OEODOCabc．

【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向

量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．

举一反三：

【变式1】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：EFEFABDC

uuuruuuruuuruuur

．

【证明】如图所示，在四边形CDEF中，0EFFCCDDE

uuuruuuruuuruuurr

，

所以EFFCCDDECFDCED

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

．

在四边形ABFE中，0EFFBBAAE

uuuruuuruuuruuurr

，所以EFBFABEA

uuuruuuruuuruuur

．

所以

()()()EFEFCFDCEDBFABEACFBFEDEAABDC

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

．

因为E、F分别是AD、BC的中点，所以0EDEA

uuuruuurr

，0CFBF

uuuruuurr

．所以EFEFABDC

uuuruuuruuuruuur

．

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【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识．

类型二：向量的减法运算

例2．（1）在平面内任画两个非零向量

r

a、b

r

，求作

r

a－b

r

；

（2）如图，已知不共线的两个非零向量

r

a、b

r

，求作向量

r

a―b

r

，b

r

―

r

a．

【解析】（1）①当

r

a、b

r

共线时，若

r

a、b

r

同向，如下图甲．任取一点A，作

uuurr

ABa，

uuurr

BCb，

则

uuurrr

ACab．

若

r

a、b

r

反向，如上图乙．任取一点，作

uuurr

ABa，

uuurr

BCb，则()

uuurrrrr

ACabab．

②当

r

a、b

r

不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O，作

uuurr

OAa，

uuurr

OBb，则．

()

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrr

BABOOAOAOBOAOBab．

（2）作

uuurr

OAa，

uuurr

OBb，则

uuurrr

BAab，

uuurrr

ABba，如图（右）．

【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键．

（2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可

以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的

差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点．

举一反三：

【变式1】O为正六边形ABCDEF的中心，设OAa

uuur

r

,OBb

uuur

r

，则DE

uuur

等于（）．

（Ａ）ab

r

r

（Ｂ）ab

r

r

（Ｃ）ba

r

r

（Ｄ）ab

r

r

【答案】Ｂ

【高清课堂：向量的线性运算395568例2】

【变式2】化简

()()ACDBABDC

uuuruuuruuuruuur

【解析】原式=0ACABDBDCBCCB

uuuruuuruuuruuuruuuruuurr

．

类型三：与向量的模有关的问题

例3．（1）已知

r

a、b

r

、

r

c的模分别为1、2、3，求|

r

a+b

r

+

r

c|的最大值；

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（2）如图所示，已知矩形ABCD中，

||43AD

uuur

，设

uuurr

ABa，

uuurr

BCb，

uuurr

BDc，试求|

r

a+b

r

+

r

c|

的大小．

【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度．

【解析】（1）∵|

r

a+b

r

+

r

c|≤|

r

a|+|b

r

|+|

r

c|=1+2+3=6，

∴|

r

a+b

r

+

r

c|的最大值为6．

（2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示．

∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形，

∴DEAC

uuuruuur

，CEAD

uuuruuur

，

于是2

rrruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

abcABBCBDACBDDEBDBEADADAD，

∴

||2||83

rrruuur

abcAD．

【总结升华】求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形——

借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）．

举一反三：

【变式1】已知非零向量

r

a，b

r

满足

||71

r

a，||71

r

b，且|

r

a－b

r

|=4，求|

r

a+b

r

|的值．

【解析】如图，

uuurr

OAa，

uuurr

OBb，则||

uuurrr

BAab．

以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则

||||

uuurrr

OCab．

由于222(71)(71)4．

故222||||||OAOBBA

uuuruuuruuur

，

所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以YOACB是矩形．

根据矩形的对角线相等有

||||4OCBA

uuuruuur

，即|

r

a+b

r

|=4．

类型四：向量的数乘运算

例4．（2016安徽合肥月考）计算下列各式：

（1）

3(2)2(43)abab

rrrr

；

（2）

113

(43)(3)

322

ababb

rrrrr

；

（3）

2(34)3(23)abcabc

rrrrrr

．

【答案】（1）23ab

rr

；（2）

1

3

6

ab

rr

；（3）1111bc

rr

．

【解析】（1）

3(2)2(43)638623ababababab

rrrrrrrrrr

；

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（2）

11343131

(43)(3)3

32232226

ababbababbab

rrrrrrrrrrrr

；

（3）

2(34)3(23)6826391111abcabcabcabcbc

rrrrrrrrrrrrrr

．

【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，

r

a与

r

a

同向；＜0时，

r

a与

r

a反向；=0时，

r

a=0；故

r

a与

r

a一定共线．应用实数与向量的积的运算律

时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．

举一反三：

【变式1】计算：

（1）6(3

r

a―2

r

b)+9(―2

r

a+

r

b)；

（2）

127137

(32)

236276

















rrrrrrr

abababa；

（3）6(

r

a―

r

b+

r

c)―4(

r

a―2

r

b+

r

c)―2(―2

r

a+

r

c)．

【解析】（1）原式=18

r

a―12

r

b―18

r

a+9

r

b=―3

r

b．

（2）

127137

(32)

236276

















rrrrrrr

abababa

127113

32

236227









rrrrrrr

aabbaab

1773

2367









rrrr

abab

7171

0

6262

abab

rrrrr

．

（3）原式=6

r

a―6

r

b+6

r

c―4

r

a+8

r

b―4

r

c+4

r

a―2

r

c

=(6

r

a―4

r

a+4

r

a)+(8

r

b―6

r

b)+(6

r

c―4

r

c―2

r

c)

=6

r

a+2

r

b．

例5.（2015春山西运城期中）在边长为1的正△ABC中，2BCBD

uuuruuur

，3ACEC

uuuruuur

，AD与BE相交

于点F．

（1）求ADBE

uuuruuur

的值；

（2）若AFFD

uuuruuur

，求实数的值．

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【思路点拨】（1）通过题意可得AD⊥BC，设ABa

uuurr

，ACb

uuurr

，利用

2

3

AEAC

uuuruuur

，代入计算即可；

（2）通过计算可得

2

2(1)2(1)

BFBAAFABAC











uuuruuuruuuruuuruuur

，记

BFBE

uuuruuur

，通过计算可得

2

()

3

BFABAEABAC





uuuruuuruuuruuuruuur

，根据平面向量的基本定量计算即得结论．

【解析】（1）由题意，D为BC的中点，

而△ABC为正三角形，∴AD⊥BC，

设ABa

uuurr

，ACb

uuurr

，又3ACEC

uuuruuur

，

则

1

()()

2

ADBEABACAEAB

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

12

()()

23

abba

rrrr

22111

326

baab

rrrr

1

4

；

（2）根据题意：

1

BFBAAFABAD









uuuruuuruuuruuuruuur

()

2(1)

ABABAC









uuuruuuruuur

2

2(1)2(1)

ABAC











uuuruuur

记

BFBE

uuuruuur

，则

2

()

3

BFABAEABAC





uuuruuuruuuruuuruuur

，

根据平面向量的基本定理可得：

2

2(1)

2

2(1)3



































解得：=4．

【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量

外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从

同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等

向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用

三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系

的向量来求解.

举一反三：

【高清课堂：向量的线性运算395568例6】

【变式1】如图，已知ABC三边中点为DEF、、，求证：0ADBECF

uuuruuuruuur

r

.

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【解析】

ADBECF

uuuruuuruuur

=

3

()

2

AGBGCG

uuuruuuruuur

=

3

()

2

GAGBCG







uuuruuuruuur

=

3

2

2

GFCG







uuuruuur

=

3

0

2



r

=0

r

【变式2】如图，四边形OADB是以向量

uuurr

OAa，

uuurr

OBb为邻边的平行四

边形，又

1

3



uuuuruuur

BMBC，

1

3



uuuruuur

CNCD，试用向量

r

a、

r

b表示OM

uuuur

，ON

uuur

，MN

uuuur

．

【解析】∵

1111

()()

3666



uuuuruuuruuuruuuruuurrr

BMBCBAOAOBab，

∴

1115

6666



uuuuruuuruuuurrrrrr

OMOBBMbabab，

∵

11

36

CNCDOD

uuuruuuruuur

，

∴

11222

()()

26333



uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrr

ONOCCNODODODOAOBab，

21511

()

36626



uuuuruuuruuuurrrrrrr

MNONOMababab．

类型五：共线向量与三点共线问题

例6.设两非零向量

1

e

ur

和

2

e

uur

不共线，

(1)如果

121212

,28,3(),ABeeBCeeCDee

uuururuuruuururuuruuururuur

求证DBA,,三点共线.

(2)试确定实数k，使

12

kee

uruur

和

12

eke

uruur

共线.

【思路点拨】要证明DBA,,三点共线，须证存在使

12

()BDee

uuururuur

即可.而若

12

kee

uruur

和

12

eke

uruur

共线，则一定存在，使

1212

()keeeke

uruururuur

.

【解析】(1)证明

12121212

,283()5()5,ABeeBDBCCDeeeeeeAB

uuururuuruuuruuuruuururuururuururuuruuur

Q

,ABBD

uuuruuur

共线，又有公共点B，

∴DBA,,三点共线.

(2)解∵

12

kee

uruur

和

12

eke

uruur

共线，

∴存在，使

1212

()keeeke

uruururuur

，

则

12

()(1),keke

uruur

由于

1

e

ur

和

2

e

uur

不共线，

只能有











01

0

k

k





则1k.

【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即

,ab

rr

共线存在使ba

rr

(正用与逆用)

举一反三：

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【变式1】（2015秋安徽滁州月考）（1）设两个非零向量

1

e

ur

，

2

e

uur

不共线，如果

12

23ABee

uuururuur

，

12

623BCee

uuururuur

，

12

48CDee

uuururuur

，求证：A，B，D三点共线．

（2）设

1

e

ur

，

2

e

uur

是两个不共线的向量，已知

12

2ABeke

uuururuur

，

12

3CBee

uuururuur

，

12

2CDee

uuururuur

，若A，

B，D三点共线，求k的值．

【答案】（1）略；（2）－8

【解析】（1）证明：∵

1212

10155(23)5BDBCCDeeeeAB

uuuruuuruuururuururuuruuur

，

∴BD

uuur

与AB

uuur

共线，又它们有公共点B，

∴A、B、D三点共线；

（2）

121212

(2)(3)4BDCDCBeeeeee

uuuruuuruuururuururuururuur

，

∵A、B、D三点共线，

∴AB

uuur

与BD

uuur

共线，则ABBD

uuuruuur

，即

1212

2(4)ekeee

uruururuur

，

所以

2

4k















，解得k=－8．

类型六：向量的综合应用

例7．已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若0OAOBOC

uuuruuuruuur

，证明O是△ABC

的重心．

【思路点拨】要证明O是△ABC的重心，即证O是△ABC各边中线的交点，可联系重心的性质证之．

【证明】∵0OAOBOC

uuuruuuruuur

，

∴

()OAOBOC

uuuruuuruuur

，即OBOC

uuuruuur

是与OA

uuur

方向相反且长度相等的向量．

如图所示，以OB、OC为相邻两边作YOBDC，则ODOBOC

uuuruuuruuur

，

∴ODOA

uuuruuur

．

在YOBDC中，设BC与OD相交于E，则BEEC

uuuruuur

，OEED

uuuruuur

，

∴AE是△ABC的BC边上的中线，且

||2||OAOE

uuuruuur

．

根据平面几何知识，知O是△ABC的重心．

【总结升华】若ABCD

uuuruuur

且直线AB与直线CD不重合，则AB∥CD．

若ABCD

uuuruuur

且直线AB与直线CD不重合，则以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．

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【变式1】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，

求证：

1

()

2

EFABDC

uuuruuuruuur

．

证明：取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如图．

∵E是AD的中点，∴

1

2

AEAD

uuuruuur

．

∵F是BC的中点，∴

1

()

2

AFABAC

uuuruuuruuur

，

又∵ACADDC

uuuruuuruuur

，

∴

1

()

2

AFABADDC

uuuruuuruuuruuur

11

()

22

ABDCAD

uuuruuuruuur

．

∴

1111

()()

2222

EFAFAEABDCADADABDC

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

．

【总结升华】掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．

例8．2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12

km/h，水流的速度是6km/h．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度

是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎

样？

【解析】如图（1）所示，AB

uuur

为汽艇在静水中的速度，AD

uuur

为水流速度，由平行四边形法则可知，小

汽艇在实际速度为ACABAD

uuuruuuruuur

，在Rt△ADC中，

||6AD

uuur

，

||||12DCAB

uuuruuur

，

||6513.4AC

，

∠CAD≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4km/h，方向与水流速度的夹角约为63°43′．

如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为AC

uuur

，则

ACABBC

uuuruuuruuur

．在Rt△ABC中，

||12AB

uuur

，

||6BC

uuur

，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应

沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．

【总结升华】用向量加法解决简单的实际问题其步骤为：先用向量表示相关物理量（如速度等），再进

行向量运算，然后归结到实际问题去解决．

举一反三：

【变式1】在湘江的某渡口处，江水以12.5km/h的速度向北流去，渡船的速度是25km/h，现渡船

要垂直地渡过湘江，问：其航向应该怎样确定？

【解析】设AB

uuur

表示水流速度，AD

uuur

表示船的速度，AC

uuur

表示渡船实际垂直过江的速度，

现以AB为一边，以AC为对角线作YABCD，则AD就是船的速度（如图）．

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在Rt△ACD中，∠ACD=90°，

||||12.5DCAB

uuuruuur

，

||25AD

uuur

，

所以∠CAD=30°．故其航向应该调整为东偏南30°．