sin二倍角公式

创作时间：二零二一年六月三十日

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三角函数倍角公式之马矢奏春创作

创作时间：二零二一年六月三十日

复习重点:二倍角公式

二倍角的正弦公式：

sin2A＝2sinAcosA

二倍角的余弦公式：

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A

二倍角的正切公式：

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

对公式的再认识：

(1)适用范围：二倍角的正切公式有限制条件：

A≠kπ＋2



且A≠

k

2



＋4



(k∈Z)；

(2)公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之

特例；二倍角关系是相对的.

(3)公式的灵活运用：正用、逆用、变形用.

复习难点:倍角公式的应用复习内容:

小结：

倍角公式：

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sin2A＝2sinAcosA

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A

tan2A＝2

2tanA

1tanA－

化“1”公式（升幂公式）

1＋sin2A＝(sinA＋cosA)2,

1－sin2A＝(sinA－cosA)2

1＋cos2A＝2cos2A

1－cos2A＝2sin2A

降幂公式

cos2A＝

1cos2A

2

＋

sin2A＝

1cos2A

2

－

二倍角公式是两角和公式的特殊情况,即:

由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决

三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式,采纳哪

种形式应根据题目具体而定.

倍角和半角相对而言,两倍角余弦公式的变形可引出半角公

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式.推导过程中可获得一组降次公式,即,

进一步获得半角公式:

降次公式在三角变换中应用得十分广泛,“降次”可以作为三

角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选

取,而是正是负取决于α的正弦、余弦暗示,

即:也可暗示sinα,cosα,tanα,即:

,,这组公式叫

做“万能”公式.

教材中只要求记忆两倍角公式,其它公式并没有给出,需要

时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.

例1．推导三倍角的正弦、余弦公式解:sin3α=sin(2α+α)

cos3α=cos(2α+α)

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:∵

sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°

∵cos18°≠0∴2sin18°=4cos218°-3∴2sin18°=4-

4sin218°-3

∴4sin218°+2sin18°-1=0

∴.本题还可根据二倍角公式推出

cos36°.

即.

例3．化简求值:(1)csc10°-c10°(2)

tan20°+cot20°-2c50°解:(1)csc10°-c10°

(2)tan20°+cot20°-2c50°

例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

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解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ:∵

,

∴,即,

即,∴

cos4θ+sin4θ:c

os36°·cos72°

例

7．求::

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上述两题求解方法一致,都是连续应用二倍角的正弦公式.而

能采纳这种方法求值的题目要求也是严格的,要满足（1）余弦相

乘,（2）后一个角是前一个角的两倍,（3）最年夜角的两倍与

最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采纳这种方法.

例8．已知:2cosθ=1+sinθ,求.

方法一:∵2cosθ=1+sinθ,∴

∴或,∴,

∴,∴或=2.

方法二:∵2cosθ=1+sinθ,∴,

∴,

∴或,∴或

=2.

例9．已知:,求:tanα:∵

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,∴,

∵0≤α≤π,∴,∴

(1)那时,,

则有,∴,∴

,∴,

∴.

(2)当,则有

,

∴,∴,∴.

注意:1与sinα在一起时,1往往被看作,而1

与cosα在一起时,往往应用二倍角余弦公式把1去失落.

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例10．已知:sinθ,sinα,cosθ为等差数列;sinθ,sinβ,

cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.证明:∵

,∴∴4sin2α=1+2sin2β

∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴2cos2α=cos2β.课后练习:

1．若,

则（）.

A、PQB、PQC、P=QD、P∩Q=

2．若A为ΔABC的内角,,则cos2A=（）.

A、B、C、D、

3．若,则sin2θ=（）.

A、B、C、D、

4．若,则sinθ=（）.

A、B、C、D、-

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5．若,则=（）.

A、B、C、1D、-1

6．若,则cosα=________.7.若θ为

第二象限角,且,则=_____.8．已知

sinA+cosA=2sinB.求证:cos2B=cos2.

参考谜底

1.C2.B3.C4.C5.B6.7.6

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