椭圆的焦距

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1

椭圆

【教学目标】（1）掌握椭圆的定义

（2）掌握椭圆的几何性质

（3）掌握求椭圆的标准方程

【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题

（2）椭圆焦点三角形面积的求法

【教学过程】

一、知识点梳理

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数

()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦

点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形。

知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

注意：

1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆

的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；

3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当

焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

知识点三：椭圆的简单几何性质

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2

椭圆的的简单几何性质

（1）对称性

对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换

成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，

且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

讲练结合：

（2）范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足

|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为

A

1

（―a，0），

A

2

（a，0），B

1

（0，―b），B

2

（0，b）。

③线段A

1

A

2

，B

1

B

2

分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A

1

A

2

|=2a，|B

1

B

2

|=2b。a和b分别叫

做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而

越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，

这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为

x2+y2=a2

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3

椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：

（1），，；

（2），，；

（3）,，；

知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系

标准方程

图形

性质

焦点

，，

焦距

范围

，，

对称性关于x轴、y轴和原点对称

顶点

，，

轴

长轴长=，短轴长=

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4

离心率

准线方程

焦半径

，，

注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间

的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的

焦点坐标也不相同。

二、考点分析

考点一：椭圆的定义

【例1】方程10222

2

2

2yxyx化简的结果是。

【例2】已知F

1

(-8，0)，F

2

(8，0)，动点P满足|PF

1

|+|PF

2

|=16，则点P的轨迹为（）

A圆B椭圆C线段D直线

【变式训练】已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点

距离为。

考点二：求椭圆的标准方程

【例3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为。

【例4】ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G

的轨迹和顶点A的轨迹．

22

169

xy

＋

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5

【例5】求以椭圆229545xy的焦点为焦点，且经过点(2,6)M的椭圆的标准方程．

【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且213a，212c的椭圆的标准方程为。

2、焦点在

x

轴上，1:2:ba，

6c

椭圆的标准方程为。

3、已知三点P（5，2）、

1

F

（－6，0）、

2

F

（6，0），求以

1

F

、

2

F

为焦点且过点P的椭圆的

标准方程；

4、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为

3

54

和

3

52

，过

P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

考点三：利用标准方程确定参数

【例6】若方程

2

5

x

k

+

2

3

y

k

=1

（1）表示圆，则实数k的取值是.

（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.

（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.

（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.

【例7】椭圆

22425100xy

的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标

是,焦点的坐标是,焦距是，

离心率等于。

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6

【变式训练】1、椭圆

22

1

4

xy

m

的焦距为2，则

m

=。

2、椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。

考点四：离心率的有关问题

一、求离心率

1、用定义（求出a,c或找到c/a）求离心率

（1）已知椭圆C:

22

22

1,(0)

xy

ab

ab

的两个焦点分别为

12

(1,0),(1,0)FF

,且椭圆C

经过点

41

(,)

33

P.则椭圆C的离心率。

（2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，

是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）

（3）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F

1

，F

2

。若

|AF

1

|，|F

1

F

2

|，|F

1

B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.

（4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为

2

，焦点到相应准线距离为1，则

该椭圆的离心率为。

2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。

2220()0

ncc

manacpcmp

maa



（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）

A.B.C.D.

（2）在平面直角坐标系

xOy

中,椭圆

C

的标准方程为)0,0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

,右焦点为

12

FF

22

22

:1(0)

xy

Eab

ab

P

3

2

a

x



21

FPF

30E

()A

1

2

()B

2

3

()C





()D





22

22

1

xy

ab



5

4

5

3

5

2

5

1

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7

F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为

1

d,F到l的距离为

2

d,

若

12

6dd,则椭圆C的离心率为_______.

（3）设椭圆的两个焦点分别为，过F

2

作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F

1

PF

2

为

等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。

二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）

1、直接根据题意建立,ac不等关系求解.

（1）椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的焦点为

1

F，

2

F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，

若

12

MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是。

（2）已知

21

,FF为椭圆01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

的焦点，B为椭圆短轴上的端点，

2

1212

1

2

BFBFFF，求椭圆离心率的取值范围。

2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立,ac不等关系求解

设

12

FF，分别是椭圆

22

22

1

xy

ab

（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使

线段

1

PF的中垂线过点

2

F，则椭圆离心率的取值范围是。

3、利用圆锥曲线相关性质建立,ac不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）

（1）椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的两个焦点为F

1

、F

2

,若P为其上一点，且|PF

1

|=2|PF

2

|,

则椭圆离心率的取值范围为。

（2）已知椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直

于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

（3）椭圆）（01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

和圆

2

22

2













c

b

yx（其中c为椭圆半焦距）有四个

不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围。

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8

考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用

【例14】已知椭圆方程01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

，长轴端点为

1

A，

2

A，焦点为

1

F，

2

F，P

是椭圆上一点，

21

PAA，

21

PFF．求：

21

PFF的面积（用a、b、表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角



的两邻边，从而利用CabSsin

2

1





求面积．

【变式训练】1、若P是椭圆1

64100

22



yx

上的一点，

1

F、

2

F是其焦点，且60

21

PFF，

求△

21

PFF的面积.

2、已知P是椭圆1

925

22



yx

上的点，

1

F、

2

F分别是椭圆的左、右焦点，若

2

1

||||

21

21





PFPF

PFPF

，则△

21

PFF的面积为（）

A.

33

B.

32

C.

3

D.

3

3

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9

课后作业：

一、选择题

1已知F

1

(-8，0)，F

2

(8，0)，动点P满足|PF

1

|+|PF

2

|=25，则点P的轨迹为()

A圆B椭圆C线段D直线

3已知方程

22

1

11

xy

kk





表示椭圆，则k的取值范围是()

A-10Ck≥0Dk>1或k<-1

17、椭圆

3

2x

＋

2

2y

=1与椭圆

2

2x

＋

3

2y

=(0)有（）

(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对

18、椭圆

1

925

2

2



y

x

与

1

259

2

2









y

x

（0

(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴

二、填空题

2、椭圆

22

1

169

xy

左右焦点为F

1

、F

2

，CD为过F

1

的弦，则CDF

1

的周长为______

4、求满足以下条件的椭圆的标准方程

(1)长轴长为10，短轴长为6

(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)

(3)经过点(5，1)，(3，2)

5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则

⊿ABC的重心G的轨迹方程为______________________

6.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的左右焦点分别是F

1

、F

2

，过点F

1

作x轴的垂线交椭圆于P

点。

若∠F

1

PF

2

=60°，则椭圆的离心率为_________

7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______

椭圆方程为___________________.

8已知椭圆的方程为

22

1

43

xy

，P点是椭圆上的点且

12

60FPF

,求

12

PFF

的面积

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10

9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F

1

，则满足△ABF

1

为等边三角形的椭圆的离心率为

10.椭圆1

36100

22



yx

上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是

11．已知椭圆)5(1

25

2

2

2

a

y

a

x

的两个焦点为

1

F、

2

F，且8

21

FF，弦AB过点

1

F，

则△

2

ABF的周长

。

13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为

4x

,那么这个椭圆的方程

为。

14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率

e

=.

15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为

18y

,椭圆上一点到两焦点的距离分别

为10和14,则椭圆方程为___________________。

16.已知P是椭圆90025922yx上的点,若P到椭圆右准线的距离为,则P到左焦点的距离

为。

19、椭圆

1

26

2

2



y

x

上一点P到左准线的距离为2，则点P到右准线的距离为。

20、点P为椭圆1

1625

22



yx

上的动点,

21

,FF为椭圆的左、右焦点,则

21

PFPF的最小值为

__________,此时点P的坐标为________________。.