根概

理解概念理解学生理解教学――平方

根概念教与学的分析

2.2平方根概念的复杂性

2.2.1概念的抽象性

中学数学概念的特点之一就是数学概念中，运用大量与文

字语言不同的数学符号，来表示数学概念的抽象。而且在数学

概念中涉及到了符号语言，文字语言，图表语言之间的转换。

而高层次的数学抽象若完全脱离感性直观，常常会令人如坠入

云中雾里。与自然数、分数、负数等有理数相比较而言，由于

缺乏实际应用的经验，无理数概念要抽象得多。前者在我们日

常生活中很常见，比如计数、分配等都会接触到。而无理数源

于测量，学生既没有实际生活体验又缺乏相关的知识储备（勾

股定理未学过），因此很难接受现实中会有这类带有“”的数的

存在。于是在回答问题“6的平方根是多少？”时，产生“3”、“”

等错误答案。

2.2.2符号表示的复杂性

学生理解的困难不仅在于平方根概念的本身，更源于对“”

的极度陌生。在代数符号体系的发展中，隐含了结构性概念的

逐渐的演化，使得符号形式可以结构性地用来作为概念的一部

分。正是这种符号的发展，以及使代数概念具有抽象的结构性

特点，导致了代数概念学习的障碍。如平方根的概念：若一个

数的平方等于，那么这个数就叫作的平方根，即若，则。学生

学习这个概念时，容易产生这样几个理解障碍：

①不理解平方根前面为何要加上“±”号。学习其它运算时，

都只是用“＋、－、

×、÷、”等来表示加、减、乘、除、乘方等运算，因此误认

为开平方运算只需用根号“”来表示即可。没有注意到“加、减、

乘、除、乘方”等运算结果是唯一的。而正数的开平方运算结果

有两个。所以经常会出现“7的平方根表示为”的错误。

②不能识别符号语言的基本属性及其所表示的数学对象。

例如认为“的平方根等于±9”.

2.3学生的思维发展水平和学习方式

中学的数学概念基本呈逐步抽象的状态，数学概念中符号、

语言、关系等难度也逐步增加，而数学的抽象性决定了数学可

以培养学习者的抽象能力，也决定了学习者必须具备一定的抽

象能力。皮亚杰在研究数的概念形成时，认为一般在14、15岁

才有形式运算的能力。初一学生正处于由具体运算水平向形象

思维水平过渡的阶段。对具体形象思维的依赖性还比较强。抽

象思维能力不高，达不到数学概念的学习要求，自然会形成数

学概念学习困难。因而像，、之类的式子，对学生来说简直就

是来自外星球的符号。

研究表明，学生对自然现象的认识通常并不是个别的孤立

的概念，而大都是能形成一种结构并且在学习和实践中得到拓

宽，学生的概念框架可看作是属于他们自己的一种框架，而他

们的概念是学校所学的数学概念的替代概念。他们常常用直观

来代替定义，用一个错误的概念来代替一个正确的概念，从建

构理论角度去认识，学生是以自己的观念、结构去认识数学概

念，我们知道这种学习方式会直接阻碍科学概念的学习。除此

之外，初一学生常常试图用死记硬背或解题训练来代替数学概

念的理解学习，而没有掌握或忽视初级概念会导致更高级概念

学习的困难，从而造成数学概念学习的恶性循环。

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