0y

二次函数cbxaxy2的图象

【教学目标】

1、会用描点法画出二次函数、

与

的图象；

2、能结合图象确定抛物线

、

、的对称轴与顶点

坐标；

3、通过比拟抛物线与同的相互关系，培养观察、

分析、总结的能力;

【教学重点】

画出形如

、

与形如的二次函数的图象，能

指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.

【教学难点】

理解函数

、、

与及其图象间的

相互关系

【知识点梳理】

知识点一、二次函数的定义：

形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadraticfuncion).

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.

知识点二、二次函数的图象及画法

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个

不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶

点的位置不同.

1.用描点法画图象

首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，

左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交

点.

2.用平移法画图象

由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图

象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函

数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物

线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).

知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：

函数

a的符

号

图象开口方向顶点坐标

对称

轴

增减性最大(小)值

y=ax

2

a>0向上(0，0)y轴

x>0时，y随x

增大而增大

x<0时，y随x增

大而减小

当x=0时，

y

最小

=0

y=ax

2

a<0向下(0，0)y轴

x>0时，y随x

增大而减小

x<0时，y随x增

大而增大

当x=0时，

y

最大

=0

2.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:

(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，

当x=0时，y

最小

=c

(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，

当x=0时，y

最大

=c

3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，

对称轴是直线

函

数

二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)

图

象

a>0a<0

性

质

(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限

延伸，顶点是它的最低点.

(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左

向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上

升.

(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限

延伸，顶点是它的最高点.

(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向

右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.

知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用

a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征

a

1.决定抛物线的开口方向；

2.决定增减性

a>0开口向上

a<0开口向下

c

决定抛物线与y轴交点的位置，

交点坐标为(0，c)

c>0交点在x轴上方

c=0抛物线过原点

c<0交点在x轴下方

决定对称轴的位

置，对称轴是直线

ab>0对称轴在y轴左侧

ab<0对称轴在y轴右侧

b2-4ac决定抛物线与x轴公共点的个数

b2-4ac>0抛物线与x轴有两个交点

b2-4ac=0顶点在x轴上

b2-4ac<0抛物线与x轴无公共点

【典型例题】

题型一：kaxy2的图象和性质

例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与2

2

1

xy相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点

〔1，1〕，求这条抛物线的函数关系式．

例2、在同一平面直角坐标系画出函数

、、

的图象.

由图象思考以下问题：

〔1〕抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

〔2〕抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

〔3〕抛物线

，

与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何

异同？

〔4〕抛物线与同有什么关系？

例3、二次函数7)1(82kxkxy，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？

写出其函数关系式．

变式训练：

1、函数2

3

1

xy，3

3

1

2xy，2

3

1

2xy．

〔1〕分别画出它们的图象；〔2〕说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

〔3〕试说出函数5

3

1

2xy的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

2、不画图象，说出函数3

4

1

2xy的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函

数2

4

1

xy通过怎样的平移得到的．

3、假设二次函数22axy的图象经过点〔-2，10〕，求a的值．这个函数有最大还是最

小值？是多少？

题型二：2)(hxay的图象和性质

例1、不画出图象，你能说明抛物线23xy与2)2(3xy之间的关系吗?

例2、函数2

2

1

xy，2)1(

2

1

xy，2)1(

2

1

xy．

〔1〕在同一直角坐标系中画出它们的图象；

〔2〕分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

〔3〕分别讨论各个函数的性质．

例3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线2

2

1

xy得到抛物

线2)1(

2

1

xy和2)1(

2

1

xy？

变式训练：

1、函数2)1(3xy，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得

最值，最值y=．

2、不画出图象，请你说明抛物线25xy与2)4(5xy之间的关系．

3、将抛物线2axy向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点〔1，

3〕，求

a

的值．

题型三：2)(hxay+k的图象和性质

例1、把抛物线cbxxy2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线

2xy，求b、c的值．

例2、把抛物线2

2

3

xy向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数

关系式为．

例3、在同一直角坐标系中，画出以下函数的图象．

23xy，2)2(3xy，1)2(32xy，并指出它们的开口方向、对称轴和

顶点坐标．

变式训练：

1、抛物线2

2

1

21xxy可由抛物线2

2

1

xy向平移个单位，再向平

移个单位而得到．

2、将抛物线522xxy先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛

物线的函数关系式．

3、将抛物线

2

3

2

1

2xxy如何平移，可得到抛物线32

2

1

2xxy？

4、抛物线cbxxy23是由抛物线132bxxy向上平移3个单位，再向左平

移2个单位得到的，求b、c的值．

题型四、cbxaxy2的图象和性质

例1、通过配方，确定抛物线6422xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点

画图．

例2、抛物线9)2(2xaxy的顶点在坐标轴上，求

a

的值．

例3、抛物线

2

5

3

2

1

2xxy，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．

例4、利用配方法，把以下函数写成2)(hxay+k的形式，并写出它们的图象的开口方

向、对称轴和顶点坐标．〔1〕162xxy〔2〕4322xxy

〔3〕nxxy2〔4〕qpxxy2

变式训练：

1、〔1〕二次函数xxy22的对称轴是．

〔2〕二次函数1222xxy的图象的顶点是，当x时，y随x的增

大而减小．

〔3〕抛物线642xaxy的顶点横坐标是-2，那么

a

=．

2、抛物线cxaxy22的顶点是)1,

3

1

(，那么a、c的值是多少？

3、622)2(kkxky是二次函数，且当0x时，y随x的增大而增大．

〔1〕求k的值；〔2〕求开口方向、顶点坐标和对称轴．

4、当0a时，求抛物线22212aaxxy的顶点所在的象限．

5、抛物线hxxy42的顶点A在直线14xy上，求抛物线的顶点坐标．

题型五、cbxaxy2的最大或最小值

例1、求以下函数的最大值或最小值：〔1〕5322xxy；〔2〕432xxy．

例2、某产品每件本钱是120元，试销阶段每件产品的销售价x〔元〕与产品的日销售量y

〔件〕之间关系如下表：

x〔元〕130150165

y〔件〕705035

假设日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定

为多少元？此时每日销售利润是多少？

例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增

加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件

衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．〔1〕假设商场平均每天要盈利1200元，

每件衬衫应降价多少元？〔2〕每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

变式训练：

1、对于二次函数mxxy22，当x=时，y有最小值．

2、二次函数bxay2)1(有最小值–1，那么a与b之间的大小关系是〔〕

A．a＜bB．a=bC．a＞bD．不能确定

3、求以下函数的最大值或最小值:〔1〕xxy22；〔2〕1222xxy．

4、二次函数mxxy62的最小值为1，求m的值．，

5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x〔单位：分〕之间满

足函数关系：)300(436.21.02xxxy．y值越大，表示接受能力越强．

〔1〕x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步

降低？

〔2〕第10分时，学生的接受能力是多少？〔3〕第几分时，学生的接受能力最强？

6、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙〔墙的最大可用长度a为10m〕，围成中间隔

有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

〔1〕求S与x的函数关系式；

〔2〕如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

〔3〕能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果

不能，请说明理由．

题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式

例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点

O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所

在的抛物线的函数关系式是什么？

例2、根据以下条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

〔1〕二次函数的图象经过点A〔0，-1〕、B〔1，0〕、C〔-1，2〕；

〔2〕抛物线的顶点为〔1，-3〕，且与y轴交于点〔0，1〕；

〔3〕抛物线与x轴交于点M〔-3，0〕、〔5，0〕，且与y轴交于点〔0，-3〕；

〔4〕抛物线的顶点为〔3，-2〕，且与x轴两交点间的距离为4．

例3、二次函数cbxxy2的图象经过点A〔-1，12〕、B〔2，-3〕，

〔1〕求该二次函数的关系式；

〔2〕用配方法把〔1〕所得的函数关系式化成khxay2)(的形式，并求出该抛物

线的顶点坐标和对称轴．

例4、二次函数的图象与一次函数84xy的图象有两个公共点P〔2，m〕、Q〔n，-8〕，

如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式．

变式训练：

1、根据以下条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

〔1〕二次函数的图象经过点〔0，2〕、〔1，1〕、〔3，5〕；

〔2〕抛物线的顶点为〔-1，2〕，且过点〔2，1〕；

〔3〕抛物线与x轴交于点M〔-1，0〕、〔2，0〕，且经过点〔1，2〕．

2、二次函数图象的对称轴是x=-1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点〔2，10〕，求此

二次函数的关系式．

3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如下图，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高

度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，

装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

4、二次函数cbxaxy2，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截

得的弦长为4，试求二次函数的关系式．

5、抛物线nmxxy22过点〔2，4〕，且其顶点在直线12xy上，求此二次函数

的关系式．

【随堂练习】

1、二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如下图，那么a0，b0，c0〔填“＞〞或

“＜〞＝．〕

2、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的

〔〕

3、在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=

x

b

的图象大致是图中的〔〕

4、如下图的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面

的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，

你能写出右面钢缆的表达式吗？

5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2＋〔a＋c〕x＋c与一次函数y=ax＋

c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的选项是〔〕

6、抛物线y=ax2＋bx＋c如下图，那么它关于y轴对称的抛物线的表达式是．

7、二次函数y=〔m－2〕x2＋〔m＋3〕x＋m＋2的图象过点〔0，5〕．

〔1〕求m的值，并写出二次函数的表达式；

〔2〕求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．

8、启明公司生产某种产品，每件产品本钱是3元，售价是4元，年销

售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年

投入的广告费是x〔万元〕时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=－

10

2x

＋

10

7

x

＋

10

7

，如果把利润看作是销售总额减去本钱费和广告费．

〔1〕试写出年利润S〔万元〕与广告费x〔万元〕的函数表达式，并计算广告费是多

少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？

〔2〕把〔1〕中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新工程，现有6个工

程可供选择，各工程每股投资金额和预计年收益如下表：

工程ABCDEF

每股〔万元〕526468

收益〔万元〕0．550．40．60．50．91

如果每个工程只能投一股，且要求所有投资工程的收益总额不得低于1．6万元，问有几种

符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的工程．

9、抛物线y=a〔x－t－1〕2＋t2〔a，t是常数，a≠0，t≠0〕的顶点是A，抛物线y=x2－

2x＋1的顶点是B〔如图〕．

〔1〕判断点A是否在抛物线y=x2－2x＋1上，为什么？

〔2〕如果抛物线y=a〔x－t－1〕2＋t2经过点B．①求a的值；②这

条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？假设能，

求出t的值；假设不能，请说明理由．

10、如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=

3

4

，

直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG于M．设HM=x，

矩形AMHN的面积为y．〔1〕求y与x之间的函数表达式，〔2〕当x为何值时，矩形AMHN

的面积最大，最大面积是多少？

11、点A〔－1，－1〕在抛物线y=〔k2－1〕x2－2〔k－2〕x＋1上．

〔1〕求抛物线的对称轴；〔2〕假设点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛

物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．

12、如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的

锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，

沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动

的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．〔1〕用含t的代数式分别表示CE和QE的长；

〔2〕求△APQ的面积S与t的函数表达式；〔3〕当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的

长是多少厘米？

13、如下图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，

点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι

按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合局部的面积为

Scm2．解答以下问题：

〔1〕当t=3秒时，求S的值；

〔2〕当t=5秒时，求S的值；

14、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子

OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各

个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高

OA距离为1米处到达距水面最大高度2．25米．

〔1〕如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池

外？

〔2〕假设水池喷出的抛物线形状如〔1〕相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致

落到池外，此时水流最大高度应达多少米？〔精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：

以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点〕

15、某玩具厂方案生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售

出．生产x只玩具熊猫的本钱为R〔元〕，每只售价为P〔元〕，且R，P与x的表达式分别

为R=500＋30x，P=170－2x．

〔1〕当日产量为多少时，每日获利为1750元？

〔2〕当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

16、阅读材料，解答问题．

当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点

坐标出将发生变化．例如y=x2－2mx＋m2＋2m－1①，有y=〔x－m〕2＋2m－1②，∴

抛物线的顶点坐标为〔m，2m－1〕，即











． ④

， ③

12my

mx

当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化．

把③代入④，得y=2x－1．⑤

可见，不管m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x－1．

解答问题：

〔1〕在上述过程中，由①到②所学的数学方法是，其中运用了公式，

由③、④到⑤所用到的数学方法是．

〔2〕根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx＋2m2－3m＋1顶点的纵坐

标y与横坐标x之间的表达式．

【家庭作业】

1．抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为，对称轴为．

2．如图，假设a＜0，b＞0，c＜0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为〔〕

3．二次函数y=

4

1

x2－

2

5

x＋6，当x=时，y

最小

=；当x时，

y随x的增大而减小．

4．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达

式为．

5．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如下图，那么ac0．〔填“＞〞、“＜〞

或“=〞＝〕。

6．点〔－1，y

1

〕、〔－3

2

1

，y

2

〕、〔

2

1

，y

3

〕在函数y=3x2＋6x＋12的图象

上，那么y

1

、y

2

、y

3

的大小关系是〔〕

A．y

1

＞y

2

＞y

3

B．y

2

＞y

1

＞y

3

C．y

2

＞y

3

＞y

1

D．y

3

＞y

1

＞y

2

7．二次函数y=－x2＋bx＋c的图象的最高点是〔－1，－3〕，那么b、c的值是〔〕

A．b=2，c=4B．b=2，c=－4C．b=－2，c=4D．b=－2，c=

－4

8．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，那么以下式子能

成立的是〔〕

A．abc＞0B．a＋b＋c＜0C．b＜a＋cD．2c＜3b

9．函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中，如下图，那么正确的选项是

〔〕

10．抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A〔4，2〕和B〔5，7〕．〔1〕求抛物线的表达式；

〔2〕用描点法画出这条抛物线．

11．如图，二次函数y=2

1

x2＋bx＋c，图象过A〔－3，6〕，并与x轴交于B〔－1，

0〕和点C，顶点为P．

〔1〕求这个二次函数表达式；

〔2〕设D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求D点坐标．

12．矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三

角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于

2

1

．设梯形的面积为S，

梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范

围．

13．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x〔单位：分〕

之间满足函数关系y=－0．1x2＋2．6x＋43〔0≤x≤30〕．y值越大，表示接受能力越强．

〔1〕x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力

逐渐降低？

〔2〕第10分时，学生的接受能力是多少？

〔3〕第几分时，学生的接受能力最强？

14．某商店经销一种销售本钱为每千克40元的水产品．据市场分析，

假设按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月

销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

〔1〕当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

〔2〕设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式〔不必写

出x的取值范围〕；

〔3〕商店想在月销售本钱不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达8000元，

销售单价应定为多少？

15．如图2-4-24，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动

〔不运动至B、C〕，DE∥CA，交AB于E．设BD=x，△ADE的面积为y．

〔1〕求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；

〔2〕△ADE的面积何时最大，最大面积是多少？

〔3〕求当tan∠ECA=4时，△ADE的面积．