二次不等式怎么解

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个性化教案

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教学

目标

掌握一元二次不等式，高次不等式和分式不等式的解法。

教学

难点

正确理解二次方程、二次不等式和二次函数三者的关系，通过二次函数函数图象研究对应不等

式解集的方法。

教学

内容

复习引入：

1.画出一次函数72xy的图象，并从图像上观察

得到：

（1）当x为何值时，y=0？(2)当x为何值时，y>0？

(3)当x为何值时，y<0？

从该题中引出以下三者之间的密切联系

2.画出二次函数62xxy的图像，函数图像与x

轴的位置关系，并从图像上观察得到：

（1）当x为何值时，y=0？(2)当x为何值时，y>0？

(3)当x为何值时，y<0？

方程的根不等式的解集函数的零

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若一般形式二次函数：)0(2acbxaxy对应不等式又如何求解呢？

000

二次函数

cbxaxy2

（0a）的图象

cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2

一元二次方程

的根0

02





a

cbxax

有两相异实根

)(,

2121

xxxx

有两相等实根

a

b

xx

221



无实根

的解集)0(

02





a

cbxax

21

xxxxx或















a

b

xx

2

R

的解集)0(

02





a

cbxax

21

xxxx



思考：不等式0)4)(2(xx的解集是；

如果二次项系数为负数时，先做等价转化，把二次项系数化为正数，再利用函数图象求解。

归纳：解一元二次不等式的基本步骤：

（1）化为一般式：，且二次项系数化为正数；（整理化正）

（2）判断对应方程是否有实根，如有实根则求出根；（判断求根）

（3）根据对应的二次函数的大致图象以及不等号的方向，写出不等式的解

集；（大于取两边，小于取中间）

（若ab，则0))((bxax<==>，0))((bxax<==>）

例：利用数形结合思想写出下列不等式的解集：

1）02632xx2）01442xx3）0322xx

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题型归纳:

题型一.解一元二次不等式

1.解下列不等式

（1）02322xx（2）0262xx（3）07422xx（4）0962xx

2.已知不等式02cbxax的解集为（2,3），求不等式02abxcx的解集

题型二.解高次不等式（方法：穿针引线法）

穿针引线法第一步：

通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证最高次数项的系数为正数）例

如：将x3-2x2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

穿针引线法第二步：

将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

穿针引线法第三步：

在数轴上从左到右按照大小依次标出各根。例如：-112

穿针引线法第四步：

画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一

下依次穿过各根，满足奇穿偶不穿。（奇穿偶不穿：即假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照两个数字穿。

如（x-1)2=0两个解都是1，那么穿的时候不要透过1）

穿针引线法第五步：

观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿

根线以内的范围。

例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。在数轴上标根得：-112

画穿根线：由右上方开始穿根。

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因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。

可以简单记为秘籍口诀：或“自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”。

例：用穿针引线法求下列不等式的解集

（1）0)6)(4(22xx（2）0)2()1()1(32xxxx（3）x（x2-12）-4x＜0

（4）(x+4)2(x-4)2(x+3)＜0（5）(x+1)4(x-3)3(x2-3)＜0（6）(x-1)(x-2)3(x2-1)≥0

题型三.解分式不等式

方法：0





bx

ax

0))((bxax

0





bx

ax

0))((bxax

注意：若是的分式不等式，分母的式子不能为零！

例：解下列不等式

（1）0

1

2







x

x

；（2）2

2

1







x

x

；（3）1

273

14

2

2







xx

xx

（4）（5）（6）

(7)(8)(9)

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【课后练习】

1.完成下列表格

判别式

△=acb42

△>0△=0△<0

二次函数

)0(2acbxaxy

的图象

一元二次方程

)0(02acbxax

的根

)0(02acbxax

的解集

)0(02acbxax

的解集

2.求下列不等式的解集

（1）x+2＞x2（2）4x2+4x＜-1（3）(x2-16)2(x2+2x+1)＞0

（4）（5）6）

（7）（8）（9）

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（10）(x+2)(x-2)3(x2-4)≥0（11）x2-9≤9x2-6x+1（12）x2+9≥6x