矩形的性质和判定

矩形的性质与判定（1）

教学目标：

1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别和联系.

2.会初步运用矩形的概念和性质解决有关问题.

过程与方法：

1.经历探索矩形的概念和性质的过程,渗透运动联系,从量变到质变的观点.

2.通过灵活运用矩形的性质解决有关问题,渗透几何思维方法.

情感态度与价值观：

1.通过小组合作展示活动,培养学生的合作意识和树立学习的自信心.

2.通过探究学习,培养学生严谨的推理能力,体会逻辑思维推理的价值.

教学重点与难点：

【重点】矩形的性质.

【难点】矩形的性质的灵活应用.

教学准备：

【教师准备】演示活动的平行四边形框架.

【学生准备】课前预习矩形的性质,准备矩形纸片.

教学过程

新课导入：

导入一:

回答下列问题:

【问题1】什么叫做平行四边形?它具有哪些性质?

【问题2】想一想,这里面展示的物体都是一些什么形状的图形?

【师】咱们中国有句古话“不以规矩,不成方圆.”“方”指的就是我们小

学学过的长方形、正方形,“矩”就是古代画“方”的一种工具.到了初中阶段,

我们就把长方形叫做矩形,这节课我们就来研究矩形.(板书课题)

[设计意图]问题1温故而知新,为学习矩形的概念和性质做好铺垫;问题2

通过展示学生熟悉的矩形的图片,让学生感受到矩形在我们的生活中无处不在,

从而激发学生探究知识的欲望.

导入二:

复习回顾:

【问题1】平行四边形具有哪些性质?

平行四边形

边角对角线对称性

【问题2】菱形是特殊的平行四边形,它具有哪些性质?

菱形

边角对角线对称性

今天我们继续学习另一种特殊的平行四边形——矩形,先来观看平行四边形角

度变化的动画.

教师板书课题.

[设计意图]通过复习,巩固平行四边形和菱形的知识,为学习矩形做好知识

铺垫,通过图形变化,感受矩形与平行四边形的关系,进而导入矩形的性质和判定.

一、矩形的定义

教师演示活动的平行四边形框架,学生观察并思考:

(1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗?

(2)在运动过程中四边形不变的是什么?改变的是什么?

(3)在角的大小改变过程中有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形?

归纳上述问题,得出矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

[处理方式]利用四边形的不稳定性,通过教具演示,使平行四边形的内角发

生变化,学生发现在运动过程中四边形的对边仍保持相等,所以仍然是平行四边形.

但是,角度是不断变化的.当有一个内角是直角时,平行四边形就演变成了矩形,从

而自然地得到了矩形的定义需满足的两个条件:(1)是平行四边形;(2)有一个角是

直角.定义是本节的关键点,因此观察过程不能省略.

[设计意图]让学生观察从平行四边形到矩形的变化过程,事实上是在学生

已有的平行四边形相关认知的基础上让他们认识到矩形是平行四边形,但却是特

殊的平行四边形.从已有的知识出发,通过教具演示,让学生经历了矩形概念的探

究过程,自然而然地给出矩形的概念.

二、矩形的性质

思路一

1.观察试验,发现问题

教师在平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别固定在相对的两个顶点上,

作为它的对角线,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.学生观察并思

考:

(1)随着∠ABC的变化,两条对角线的长度是怎样变化的?

(2)当∠ABC是直角时,平行四边形变成了矩形,此时其他内角有何变化?两条

对角线的长度有何关系?

(注:如果教具制作有困难,可以使用几何画板软件的拖动、测量功能,会取得更

好的效果,见下图)

∠ABC＝63.5°

∠BAD＝116.5°

∠ADC＝63.5°

∠DCB＝116.5°

AC＝7.64cm

BD＝11.85cm

∠ABC＝90.0°

∠BAD＝90.0°

∠ADC＝90.0°

∠DCB＝90.0°

AC＝9.97cm

BD＝9.97cm

2.明确定理,推理证明

操作、思考、交流、归纳后,教师在学生口答的基础上,引导学生猜想矩形的

性质并板书:

矩形的性质1矩形的四个角都是直角.

矩形的性质2矩形的对角线相等.

【思考】怎样证明你的猜想?请同学们自己完成.

已知:如图所示,四边形ABCD是矩形,∠ABC＝90°,对角线AC与DB相交于点O.

求证:(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°;

(2)AC＝BD.

(多媒体课件展示两个定理的已知、求证,请两位同学分别板演证明过程)

3.动手操作,完善性质

问题1

请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,转一转,观察并思考以下问题:

(1)矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么?

(2)矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?

结论:矩形是中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点.矩形是轴对称图

形,它有两条对称轴.

问题2

请你总结一下矩形有哪些性质?

学生归纳概括矩形的性质,教师提示可以从四个方面来说:

从边来说,矩形的对边平行且相等;

从角来说,矩形的四个角都是直角;

从对角线来说,矩形的对角线相等且互相平分;

从对称性来说,矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.

[处理方式]让学生分组探索,教师可引导学生根据研究平行四边形获得的

经验,分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性,学生通过动手测量,动脑思

考,动口讨论,自主发现矩形的性质.性质定理的证明让学生上台板演,既规范了证

明的书写格式,也体现了数学的严谨性.

[设计意图]学生通过类比平行四边形的性质及观察从平行四边形到矩形

的变化过程,从边、角、对角线三方面不难发现矩形的性质.学生自己讨论得出的

结论会更让他们乐于接受,而方法也在此过程中渗透给了学生.

思路二

(1)想一想:(展示问题,引导学生讨论、解决)

①矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能举一

些这样的性质吗?

②矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?

③你认为矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流.

结论:矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.

(2)问题:矩形的边具有怎样的性质?

(学生思考、回答)

结论:对边平行且相等.(具有平行四边形的边所具有的边的性质)

(3)问题:矩形的角除了“有一个内角是直角”外,还具有哪些一般平行四边形

不具备的性质?

(学生思考、回答)

结论:矩形的四个角都是直角.

(4)让学生进行如下操作后,思考问题:(教具演示)矩形的对角线有什么性质?

在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别固定在相对的两个顶点上,

拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.

(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度分别是怎样变化的?

(2)当∠α是直角时,平行四边形变成矩形,此时两条对角线的长度有什么关

系?

(小组操作,思考、交流、归纳)

当∠α是锐角或钝角时,两条对角线的长度不相等.

当∠α是直角时,平行四边形变为矩形,这时两条对角线的长度相等.

结论:矩形的两条对角线相等.

三、直角三角形的性质定理

1.议一议:观察右图中的矩形ABCD,你能得出哪些结论?图中存在哪些特殊的

三角形?

矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,那么BO是RtΔABC中一条怎样的特殊

线段?它与AC边的长度有什么大小关系?由此你能得到怎样的结论?

生总结结论,师板书:

定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

2.做一做:你能借助矩形加以证明吗?

3.练一练:在ΔABC中,∠ABC＝90°,BD是斜边AC上的中线.

(1)若BD＝3cm,则AC＝cm;

(2)若∠C＝30°,AB＝5cm,则AC＝cm,BD＝cm.

[处理方式]在议一议中,学生小组讨论,容易得出:图中共有四个直角三角形,

四个等腰三角形,并且有OA＝OB＝OC＝OD,从而得出结论:直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半.然后在做一做中由教师引导,寻找定理证明的思路,即通过构

造矩形,把三角形问题转化为矩形问题.由一生口答,教师板书证明过程,进一步规

范证明的书写格式.练一练比较简单,由学生口答.

[设计意图]先从矩形的对角线的相关性质推出直角三角形的性质,达到“学

数学,用数学”的目的.再通过习题,让学生掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半”这一性质,达到学以致用的目的,培养了学生的应用意识.

[知识拓展]矩形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的所有性质外,还

具有以下性质:(1)矩形的四个角都是直角;(2)矩形的对角线相等;(3)矩形既是中心

对称图形,又是轴对称图形.

(教材例1)如图所示,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD＝120°,AB

＝2.5,求这个矩形对角线的长.

解:∵四边形ABCD是矩形,

∴AC＝BD(矩形的对角线相等),

OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD(矩形的对角线互相平分),

∴OA＝OD.

∵∠AOD＝120°,

∴∠ODA＝∠OAD＝(180°-120°)＝30°.

又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角),

∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.

[设计意图]这个例题主要目的是应用矩形的性质来解决问题.在学过矩形

的性质后,如何熟练、灵活的应用矩形的性质解决实际问题是关键.

四、课堂小结：

名称

特征

矩形

定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

性质

边对边平行且相等

角四个角都是直角

对角线对角线互相平分且相等

轴对称性轴对称图形,有两条对称轴

推论

直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半

五、检测反馈：

1.下列说法错误的是()

A.矩形的对角线互相平分

B.矩形的对角线相等

C.有一个角是直角的四边形是矩形

D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

解析:根据矩形定义,得有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.故选C.

2.已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线所成的角为120°,则矩形的边长

分别为.

解析:因为矩形的对角线相等且平分,且两条对角线所成的角是120°,所以矩形的

较短的边长为5cm,较长的边长为5cm.故填5cm,5cm.

3.如图所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,CD边上,BE＝DF,连接CE,AF.求证

AF＝CE.

证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴DC∥AB,DC＝AB,

∴CF∥AE.

∵DF＝BE,∴CF＝AE,

∴四边形AFCE是平行四边形,

∴AF＝CE.

六、板书设计：

第1课时

1.矩形的定义

2.矩形的性质

3.直角三角形的性质定理

例1

七、作业设计：

一、教材作业

【必做题】

教材第13页习题1.4的1,2题.

【选做题】

教材第13页习题1.4的3题.

教学反思：

成功之处

教学过程中充分利用学生手中的矩形实物:如教材、课桌等让学生通过观察、

测量和思考讨论等活动得出矩形的性质,再引导学生进行推理证明及应用,通过

探索证明开拓学生的思路,提高学生的思维能力,帮助他们在自主探索和合作交

流的过程中真正理解和掌握矩形的性质定理,体验数学学习过程中推理的严谨

性.

不足之处

由于学生之间存在很大差异,分层教学做得不够到位,一些有关矩形的证明

与计算拓展得不是很到位.

再教设计

在问题的设计上加强分层教学,促进学生全体进步,应高度重视学生的主动

参与、亲自研究、动手操作,培养学生自主学习的能力和创新意识.