平行线分线段成比例定理

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[科目]数学

[年级]初二

[章节]

[关键词]平行线分线段成比例

[标题]平行线分线段成比例定理(一)

[内容]

教学目标

1.理解平行线分线段成比例定理，并能初步应用它进行简单的计算.

2.培养学生类比联想及用运动的思维方式看待问题的能力.

教学重点和难点

平行线分线段成比例定理及应用.

教学过程设计

一、类比联想、发现定理

1.复习平地线等分线段定理的内容及数学表达式，如图5-13.

∵l

1//

l

2//

l

3

，AB=BC，

∴EF=FG.

2.将上述命题改写成比例的形式.

∵l

1//

l

2//

l

3//

l

4

，AB:BC=1:1，

∴EF:FG=1:1，则有1

FG

EF

BC

AB

3.运用类比方式将比值从1推广到正实数m得出猜想.

教师启发学生思考：

在图5-13中，l

1//

l

2//

l

3//

l

4

，AB=BC=CD，1,1

BD

AB

CD

AC

，那么还有类似比例式成立吗?

学生可从图中看出

2

1

,

1

2



FH

EF

BD

AB

GH

EG

CD

AC

，猜想推广应成立.

4.举例进一步验证猜想.

教师可再举出图5-14中，ABBC等于其它更一般的实数的两个例子，来进一步验证猜想.

5.(选)用面积法证明猜想.

对于学生程度较好的班级，教师可用三角形面积公式来严格证明猜想成立，具体做法见设计

说明.

二、用运动的观点深刻认识定理的内容

1.让学生归纳以上情况，并用语言准确叙述定理内容，以及画图写出部分数学表达式.

2.教师强调“对应”的含义，并介绍结合图形形象记忆的方法，如：

右全

左全

右下

左下

右上

左上

右全

右下

左全

左下

右全

右上

左全

左上

右下

右上

右下

左上

,,,

3.用运动的观点识别定理的各种变式图形中的比例线段.(见图5-15，不断平移DF)

强调由平行线分线段成比例定理所得比例式中，四条线段与平行直线和被截

两直线的交点位置无关，尤其是图5-15(a)中的M点，图5-15(c)的N点.

三、应用举例、变式练习

例1已知：如图5-16，l

1//

l

2//

l

3

.

(1)AB=3，DE=2，EF=4，求BC；

(2)AC=8，DE=2，EF=3，求AB.

分析：

(1)根据题目中的已知和所求线段，寻找有关的比例式，注意选择合理简捷的方法.如第(2)

问，有以下两种解法：①若选

DF

DE

BC

AB

，则设AB=x,BC=8-x，可得

3

2

8



x

x

，解得x=

5

16

.

②∵l

1//

l

2//

l

3

，若选

DF

DE

AC

AB

，则列出

32

2

8



AB

，得AB=

5

16

.

(2)在列比例式求某线段的长时，尽可能将所要求的线段写成比例第一项，从而减少变形引起

的错误.

例2已知：如图5-17，l

1//

l

2//

l

3

，

321

11111

CBBAOA



，OC2

=18cm，

3

4

2

1

OA

OA

，求A

1

C

1

.

分析：设OA1=k，利用OC2=18cm及A1B1B1C1=A2B2B2C2列出关于K的方程，解得k=4cm，

A1C1=20cm.

例3已知：如图5-18，l

1//

l

2//

l

3

，

n

m

BC

AB

.求：

DF

DE

.(答：

nm

m



)

练习课本第210页1，2题.

四、师生共同小结

1.平行线分线段成比例定理的内容、条件(平行线组截两条直线)以及结论中“对应”的含义.

2.定理的形象记忆方法.

3.定理的作用：在平行条件下，换比——将一条直线上两条线段的比转移成另一直线上另两

条线段的比.

4.研究问题的方法：从特殊到一般再到特殊，类比联想，运动观点等思维方法的应用.

五、作业

课本第218页第2，3题.

补充题：如图5-19l

1//

l

2//

l

3//

l

4

.求x(答：

8

5

2)

课堂教学设计说明

1.“平行线分线段成比例定理”共4课时.第1课时讲述定理的发现及初步应用；第2课时研

究“三角形一边的平行线”以及课本第215页例6的初步应用；第3课时研究“三角形一边

平行线的判定定理”以及性质、判定定理的综合应用；第4课时进行综合练习，重点是比例

线段的作图、证明及平行线的证明.

本节教案需一课时完成.

2.本节课定理的发现过程.

采用了课本上的这个定理的引入过程，因为它反映了从特殊(平行线等分线段)到一般(平行线

分段成比便定理)，再从一般到特殊(它的各种变式图形)研究问题的过程，一符合学生由已

知到末知，由直观到抽象，由浅入深的思维认识规律，教师应启发学生运用类比推广、归纳、

猜想的思维方法以及运动的观点层层深入地自己动手动脑来探索知识.

3.教师也可采用以下引入程序(见图5-20)

(a)(b)(c)(d)

在图5-20(b)中，DE//BC，

3

2



EC

AE

DB

AD

在图5-20(c)中，DE//BC，

n

m

EC

AE

DB

AD

(m，n为整数)并用面积法证明.

在图5-20(d)中，AF//DE//BC，则

EC

EF

DB

AD

.

在图5-20(e)中，l

1//

l

2//

l

3

，则

EF

DE

BC

AB

等.

4.应用面积法证明定理

已知：如图5-21，l

1//

l

2//

l

3

，求证

EF

DE

BC

AB



证明连结AE，BF，BD，CE，则

BEF

DBE

BEC

AEB

S

S

EF

DE

S

S

BC

AB







,.(等高的三角形面

积比等于底之比)

∵l

1//

l

2//

l

3

，

∴S

△AEB

=S

△DBE

，S

△BEC

=S

△BEF

.(等底等高的三角形面积相等)

∴,

BEF

DBE

BEC

AEB

S

S

S

S







∴

EF

DE

BC

AB

