高中向量公式大全

平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),



为实数。（1）向量式：a∥b(b

≠0)



a=



b;（2）坐标式：a∥b(b≠0)



x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),（1）向量式：a⊥b(b≠

0)



ab=0;（2）坐标式：a⊥b



x1x2+y1y2=0;

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=cosba=x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长

度与b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则S⊿AOB＝

12212

1

yxyx

；

5.平面向量数量积的坐标表示：

（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;2

21

2

21

)()(yyxxAB;

（2）若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,22yxa



;

十、向量法

1、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：

（1）线线平行：l∥ma∥bakb

（2）线面平行：l∥

au0au

（3）面面平行：////uvukv

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.

2、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：

（1）线线垂直：lmab0ab

（2）线面垂直：la∥uaku

（3）面面垂直：

uv0uv

3、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：

（1）直线、ml所成的角(0)

2



，cos





ab

ab

（2）直线l与平面所成的角(0)

2



，sin





au

au

（3）平面与平面所成的二面角的平面角(0)，cos





uv

uv

教学过程：

二、新课讲授

1.定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量

的长度或模.

3.空间向量的加法与数乘向量的运算律．

⑴加法交换律：a



+b



=b



+a



；

⑵加法结合律：(a



+b



)+c=a



+(b



+c)；

⑶数乘分配律：λ(a



+b



)=λa



+λb



；

⑶数乘结合律：λ(ua



)=(λu)a



．

4.推广：⑴

12233411nnn

AAAAAAAAAA



；

⑵

12233411

0

nnn

AAAAAAAAAA



；

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移

到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

向量b



与非零向量a



共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b



＝λa



.称平面

向量共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行

或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a



平行于b



记作a



b



a



b



b



a



b



a



b



理解：

⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a



∥b



（a



≠0），则有b



＝

a



，其中



是

唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使b



＝a



（a



≠0），则有a



∥b



（若用此结论判断a



、b



所在直线平行，还需a



（或b



）上有一点不在b



（或a



）上）.

⑵对于确定的和a



，b



＝a



表示空间与a



平行或共线，长度为|a



|，当>0

时与a



同向，当<0时与a



反向的所有向量.

3.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a



的直线，那么对于任意一

点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式OPOAta



．

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面

内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线

向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

1.定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α

内，则称向量a平行于平面α，记作a定义：平行于同一平面的向

量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到

同一平面内．

5.得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向

量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p=xa+yb．

证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．

∵向量p与向量a、b共面

∴由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得p=xa+yb．

充分性：如图，∵xa，yb分别与a、b共线，∴xa，yb都在a、b确定的平

面内．

又∵xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向

量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴p=xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三

条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两

条直线所确定的平面内．

6.共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数

对x，y，使得MPxMAyMB，①或对于空间任意一定点O，有

OPOMxMAyMB．②

分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；⑵由OPOMxMAyMB得：

()()OPOMxOAOMyOBOM，∴(1)OPxyOMxOAyOB③

1.两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作

OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞

．当＜a、b＞＝０时，a与b同向；当＜a、b

＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝

2



时，称a与b垂直，记a⊥b．

⑵两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

②＜a,b＞(a,b)

2.两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、

b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.

说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l

上的射影A′，点B在l上的射影B′，则''AB叫做向量AB在轴l上或在e方向上

的正射影，简称射影．可以证明：

''AB

＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向

量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

3.空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，

具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜

b｜.

特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝2aaa.

⑷cos＜a,b＞＝

ab

ab





;⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.

4.空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如

下运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；⑵a·b＝b·a(交换律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)

说明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b

＋b2

3.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标

向量，则存在唯一的有序实数组

123

(,,)aaa，使a＝

1

ai＋

2

aj＋

3

ak．

空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，则AB＝OB－OA

＝

222

(,,)xyz－

111

(,,)xyz＝

212121

(,,)xxyyzz．

5.两个向量共线或垂直的判定：设a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb，则

⑴

a

112233

,,ababab()R3

12

123

a

aa

bbb



112233

0ababab

123

(,,)aaa

123

(,,)bbb｜

a｜＝222

123

aaa，｜b｜＝222

123

bbb．这两个式子我们称为向量的长度公式．

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

2.夹角公式推导：∵a·b＝|a||b|cos＜a,b＞

∴

112233

ababab＝222

123

aaa·222

123

bbb·cos＜a,b＞

由此可以得出：cos＜a,b＞＝112233

222222

123123

ababab

aaabbb





这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的

夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

3.两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公

式：

在空间直角坐标系中，已知点

111

(,,)Axyz，

222

(,,)Bxyz，则

222

211212

()()()

AB

dxxyyzz

、

，其中

AB

d

、

表示A与B两点间的距离．

5.用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．