基本不等式

基本不等式知识点总结

向量不等式：

【注意】：ab

rr

、同向或有0

r

||||||abab

urur

urur

≥||||||||abab

urur

urur

；

ab

rr

、反向或有0

r

||||||abab

urur

urur

≥||||||||abab

urur

urur

；

ab

rr

、不共线||||||||||||ababab

ururur

ururur

.(这些和实数集中类似)

代数不等式：

,ab同号或有0||||||||||||abababab≥

；

,ab异号或有0||||||||||||abababab≥

.

绝对值不等式：

123123

aaaaaa≤

双向不等式：ababab≤≤

（左边当0(0)ab≤≥

时取得等号，右边当0(0)ab≥≤

时取得等号.）

放缩不等式：

①00abam，，则

bmbbm

amaam







.

【说明】：

bbm

aam







（0,0abm，糖水的浓度问题）.

【拓展】：，则，，000nmba

b

a

nb

na

ma

mb

a

b













1.

②,,abcR，

bd

ac

，

则

bbdd

aacc







；

③nN



，

1

11

2

nnnn

n

；

④,1nNn



，

2

11111

11nnnnn





.

⑤ln1xx≤(0)x,1xex≥()xR.

函数()(0)

b

fxaxab

x

、图象及性质

(1)函数0)(ba

x

b

axxf、图象如图：

(2)函数0)(ba

x

b

axxf、性质：

①值域：

),2[]2,(abab

；

②单调递增区间：(,]

b

a

，[,)

b

a

；单调递减区间：(0,]

b

a

，[,0)

b

a

.

基本不等式知识点总结

重要不等式

1、和积不等式：,abR222abab≥

(当且仅当ab时取到“”)．

x

a

b

ab2

ab2

a

b

o

y

【变形】：①

22

2()

22

abab

ab



≤≤

（当a=b时，

22

2()

22

abab

ab



）

【注意】：(,)

2

ab

ababR



≤

，2()(,)

2

ab

ababR



≤

2、均值不等式：

两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术

平均≥几何平均≥调和平均”

*.若0x，则

1

2x

x



(当且仅当1x时取“=”）;

若0x，则

1

2x

x



(当且仅当1x时取“=”）

若0x，则

111

22-2xxx

xxx

即或

(当且仅当ba时取“=”）

*.若0ab，则

2

a

b

b

a

(当且仅当ba时取“=”）

若0ab，则

22-2

ababab

bababa

即或

(当且仅当ba时取“=”）

3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：

3333abcabc≥（

0abc等式即可成立

，

时取等或0cbacba

）；

*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0ab时，abba222同时除以ab得

2

b

a

a

b

或

b

a

a

b

11。

*,,ba均为正数，ba

b

a

2

2

八种变式：①

2

22ba

ab



；②2)

2

(

ba

ab



；③

2

)

2

(

22

2

baba





④)(222baba；⑤若b>0,则ba

b

a

2

2

；⑥a>0,b>0,则

baba



411

；⑦若a>0,b>0,则

abba

4

)

11

(2；⑧若0ab，则2

22

)

11

(

2

111

ba

ba

。

上述八个不等式中等号成立的条件都是“ba”。

最值定理

（积定和最小）

①,0,2xyxyxy≥由，若积()xyP定值，则当xy时和xy有最小值2p；

（和定积最大）

②,0,2xyxyxy≥由，若和()xyS定值，则当xy是积xy有最大值

2

1

4

s.

【推广】：已知Ryx,，则有

xyyxyx2)()(22.

（1）若积xy是定值，则当||yx最大时，||yx最大；当||yx最小时，||yx最小.

（2）若和||yx是定值，则当||yx最大时，||xy最小；当||yx最小时，||xy最大.

③已知

,,,Raxby

，若1axby，则有则的最小值为：

2

1111

()()2()

byax

axbyabababab

xyxyxy

≥

④已知，若则和的最小值为：

①.

②

应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：

⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当04x时，求函的数(82)yxx最大值.

⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知

5

4

x，求函数

1

()42

45

fxx

x





的最大值.

⑶调整分子：例3.求函数

2710

()(1)

1

xx

fxx

x







的值域；

⑷变用公式：基本不等式

2

ab

ab



有几个常用变形,

22

22

abab

，

22

2()

22

abab

不易想到，

应重视；

例4.求函数

15

2152()

22

yxxx的最大值；

⑸连用公式：例5.已知0ab，求

2

16

()

ya

bab





的最小值；

⑹对数变换：例6.已知

1

,1

2

xy，且xye，求ln(2)ytx的最大值；

⑺三角变换：例7.已知

2

0yx



≤

，且tan3tanxy，求txy的最大值；

⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0ab，且21ab，求

11

t

ab

的最小值.

“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和为定值

若

22xya（a为定值，0a），可设cos,sin,xaya，其中02≤.

①(,)sincos2sin()

4

fxyxyaaa



在

15

[0,],[,2)

44

上是增函数，在

15

[,]

44



上是减函数；

②

1

(,)sin2

2

gxyxya在

1357

[0,],[,],[,2)

4444

上是增函数，在

1357

[,],[,]

4444

上是

减函数；

③

11sincos

(,)

sincos

xy

mxy

xyxy

a







.令sincos2sin()

4

ta



，其中

[2,1)(1,1)(1,2]tUU.由212sincost，得22sincos1t，从而

2

22

(,)

1

(1)

()

t

mxy

at

at

t







在[2,1)(1,1)(1,2]UU上是减函数.

⑵和为定值

若xyb（b为定值，0b），则.ybx

①

2(,)gxyxyxbx在(,]

2

b

上是增函数，在[,)

2

b

上是减函数；

②

2

11

(,)

xyb

mxy

xyxyxbx







.当0b时，在(,0),(0,]

2

b

上是减函数，在[,),(,)

2

b

bb上

是增函数；当0b时，在(,),(,]

2

b

bb上是减函数，在[,0),(0,)

2

b

上是增函数.

③

2222(,)22nxyxyxbxb在(,]

2

b

上是减函数，在[,)

2

b

上是增函数；

⑶积为定值

若xyc（

c

为定值，0c），则.

c

y

x



①(,)

c

fxyxyx

x

.当0c时，在[,0),(0,]cc上是减函数，在(,],[,)cc上是增

函数；当0c时，在(,0),(0,)上是增函数；

②

111

(,)()

xyc

mxyx

xyxycx



.当0c时，在[,0),(0,]cc上是减函数，在

(,],[,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是减函数；

③

2

2222

2

(,)()2

cc

nxyxyxxc

xx

在(,),(0,]cc上是减函数，在(,0],[,)cc

上是增函数.

⑷倒数和为定值

若

112

xyd

（d为定值，

111

,,

xdy

），则.

c

y

x

成等差数列且均不为零，可设公差为z，其中

1

z

d

，

则

1111

,,zz

xdyd

得,.

11

dd

xy

dzdz





.

①

22

2

()

1

d

fxxy

dz





.当0d时，在

11

(,),(,0]

dd

上是减函数，在

11

[0,),(,)

dd

上是增函

数；当0d时，在

11

(,),(,0]

dd

上是增函数，在

11

[0,),(,)

dd

上减函数；

②

2

22

(,).

1

d

gxyxy

dz





.当0d时，在

11

(,),(,0]

dd

上是减函数，在

11

[0,),(,)

dd

上是增函

数；当0d时，在

11

(,),(,0]

dd

上是减函数，在

11

[0,),(,)

dd

上是增函数；

③

222

22

222

2(1)

(,).

(1)

ddz

nxyxy

dz







.令221tdz，其中1t≥且2t，从而

22

2

22

(,)

4

(2)

4

dtd

nxy

t

t

t







在[1,2)上是增函数，在(2,)上是减函数.