三角函数周期

三角函数·函数的周期性

三角函数·函数的周期性

教学目标

1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角

函数的周期性．

2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．

3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论

证能力．

教学重点与难点

函数周期性的概念．

教学过程设计

师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我

们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，

x∈R的图象：

（老师把图画在黑板左上方．）

师：通过观察，同学们有什么发现？

生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断

重复出现．

师：规律是什么？

生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．

师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这

种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它

作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题）

师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书）

定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定

义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周

期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．

生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f

（x+T）=f（x）．

师：找得准！那么为什么要这样规定呢？

师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究

价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无

一例外．

师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？

生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域．

师：对．否则f（x+T）就没有意义．

师：函数周期性的定义有什么用途？

生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．

师：下面我们看例题．

（老师板书）

例1证明y=sinx是周期函数．

生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周

期．故它就是周期函数．

例2

师：要想判断T是不是函数y=f（x）的周期有什么方法？我们现有的理论

依据只有定义，如何使用定义？

对于定义域内的每一个x，都有f（x+T）=f（x），而不是有（存在着）某

一个x，使f（x+T）=f（x）成立．要想证明T不是周期，只要找到一个x0，使

得f（x0+T）≠f（x0）即可．所以乙是正确的．

师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而

不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学

习打下牢固的基础．

例3已知f（x+T）=f（x）（T≠0），求证f（x+2T）=f（x）．

师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？

生：若不等于零的常数T是f（x）的一个周期，证明2T仍是f（x）的周

期．

因为T是f（x）的周期，所以f（x+T）=f（x），f［（x+T）+T］=f（x+T），

即f（x+2T）=f（x）．

因此2T是f（x）的周期．

师：这个命题推广可得到什么结论？

生：如果T是f（x）的周期，那么2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）

的周期．

师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这

无数个周期中，我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什

么？

生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周

期．

生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长

度为最小正周期的范围内对函数进行研究．

师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，

还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个

定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如

果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑

给我们研究周期函数的性质带来方便．

（老师在函数的周期性定义下板书）

如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．

例4证明f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是2π．

师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例

是2π．要想证明这个命题，只要证明什么？

生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．

师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2

π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？

生：反证法．假设存在T∈（0，2π）使得y=sinx对于任意的x∈R都成立．推

出矛盾即可．

师：你能具体的给予证明吗？

生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期

函数的定义，当x为任意值时都有

sin（x+T）=sinx．

即cosT=1

．

这与T∈（0，2π）时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了y=sinx，x∈R的

最小正周期是2π．

师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．

师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx（x∈R）

和余弦函数y=cosx（x∈R）都是周期函数，2πk（k∈Z且k≠0）都是它的周期，

最小正周期是2π．

例5求y=3cosx的周期．

师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期

生：因为y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．

师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上

去．你能再具体的证明吗？

生：可以从数和形两个角度来证明．

解（一）因为对一切x∈R，3cos（x+2π）=3cosx，所以y=3cosx的周

期是2π．

解（二）因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，

纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x（x∈R）增加到x+2π且必须增加到x+2π

时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx

的周期是2π．

师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的

叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？

生：y=Asinx，y=Acosx（A≠0，是常数）的周期都是2π，也就是说函数周

期的变化与系数A无关．

例6求y=sin2x的周期．

（请不同解法的三位同学在黑板上板演）

生甲：

解因为y=sin（2x＋2π）=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x

的周期是2π．

生乙：

解因为y＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π）＝sin2x，所以y＝sin2x的

周期是π．

生丁：

解设2x＝u，因为y＝sinu的周期是2π，所以

y＝sin（u＋2π）=sinu，

即sin（2x+2π）＝sin2（x+π）＝sin2x，

所以y=sin2x的周期是π．

师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期

函数定义中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是

周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin

（2x+T）．解法（二），（三）是正确的．区别在于解法（三）经过换元，把

要研究的新问题y＝sin2x的周期转化为已有的旧知识y＝sinu的周期．这种转

换的意识、换元的思想是很重要的．

师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y＝sinx

的图象得到y＝sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标

当自变量每增加2π且必须增加2π时，函数值重复出现，现在就是当

sin2x的周期是π．

师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎

样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．

例7

y＝2sin（u＋2π）=2sinu，

师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自

变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．

例8求y=Asin（ωx+）的周期．（其中A，ω，为常数，且A≠0，

ω＞0，x∈R）

解设u＝ωx＋．因为y＝sinu的周期是2π，所以

sin（u＋2π）=sinu，

师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数

（老师板书）

师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的

周期．

师：（总结）通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．

（一）研究函数周期的意义是什么？

周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的

最小正周期T，那么只要在以T为氏度的区间内．就可以研究函数的图象与性质，

然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．

（二）对于函数周期的定义应注意：

1．f（x＋T）=f（x）是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T（T

≠0），如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立，

我们就断言y=f（x）不是周期函数．对于某个确定的常救T≠0．如果在函数定

义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立．我们能断言T不是函

数y=f（x）的周期，但不能说明y＝f（x）不是周期函数．

2．定义中的“每一个值”是关键词．

此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f（x＋T）=f（x）对函数定义域（-

∞，+∞）中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=-T时，等式不

成立．因此函数f（x）不是周期函数．

（三）周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．

1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果

存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．

如：f（x）=c（常数），任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等

于零的最小正实数，所以f（x）=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是

只有三角函数才具有周期性．

2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．

例如，2π是y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，

但不是最小正周期．

作业：课本P178第6题，P132第4题．

课堂教学设计说明

此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而

设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指

引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．

函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项

重要内容，不能因其易而轻视．也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学

生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就

十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，

让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入．