第一类曲面积分

求曲线、曲面积分的方法与技巧

一.曲线积分的计算方法与技巧

计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用

格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、

利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进

行计算等方法。

例一．计算曲线积分

L

xdyydx,其中

L

是圆)0(222yxyx上从原点

)0,0(O

到

)0,2(A

的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1：

AO



的方程为















,2

,

2xxy

xx

L

由

,AO

x

由

,20

.

2

1

2

dx

xx

x

dy







分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参

变量为.x因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量

积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2：在弧

AO



上取

)1,1(B

点，

BO



的方程为















,11

,

2yx

yy

L

由,BOy

由,10.

12

dy

y

y

dx





AB



的方程为















,11

,

2yx

yy

L

由

,ABy

由

,01.

12

dy

y

y

dx





分析：解2是选用参变量为,y利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型

上与解1相同。不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示，因此原曲线积分需

分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分

的下限。

解3：

AO



的参数方程为

,sin,cos1yx

L

由

,ABO由

,0

.cos,sinddyddx

解4：

AO



的极坐标方程为

,cos2r

因此参数方程为

,cos2cos2rx,cossin2sinrdy

L

由

,ABO由

,0

2





.)sin(cos2,cossin422ddyddx

分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程

不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参

数的起始值作为定积分的下限。

解5：添加辅助线段

AO

，利用格林公式求解。因

,,xQyP

,011











y

P

x

Q

于是

而

AO

dxxdyydx0

2

,00

故得



L

xdyydx

AOL

.0

AO

分析：在利用格林公式dxdy

y

P

x

Q

dyyxQdxyxP

D

L

)(),(),(











将所求曲线积分转化

为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封

闭法”进行计算再减去补路上的积分，但QP,必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一

阶连续偏导数。L是D的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段,AO使曲线AOL为正向

封闭曲线。

解6：由于

,,xQyP

,1











y

P

x

Q

于是此积分与路径无关，故

分析：由于

QP,

在闭区域

D

上应具有一阶连续偏导数，且在

D

内,

y

P

x

Q











因此所求

积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在

L

上的积分为在

OA

上积分，注意O点

对应

L

的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。

解7：由全微分公式

),(xydxdyydx

分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。

例二．计算曲线积分

C

dzyxdyzxdxyz,)()()(其中

C

是曲线











,2

,122

zyx

yx

从z

轴正向往z轴负向看

C

的方向是顺时针的。

解1：设表示平面2zyx上以曲线L为边界的曲面，其中的正侧与L的正向

一致，即是下侧曲面，在xoy面上的投影区域

xy

D：.122yx由斯托克斯公式

解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求

得出

而平面：2zyx的法向量向下，故取},1,1,1{n,

3

1

cos





于是上式

.21)1(1

3

2

3

2

1

2

22















dxdydS

yx

分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算的。

在利用斯托克斯公式

dzRQdyPdx

RQP

zyx

dxdydzdxdydz

L

















计算时首先应验证函数

RQP,,

在曲面连同边界L上具有一阶连续的偏导数，且L的正向与的侧符合右手规则。

在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。

解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设

,cosx,siny

则

,sincos22yxz从

.02

例三．计算,)2(22dszyx



其中为曲线











)2(.0

)1(,2222

zyx

Rzyx

解1：由于当积分变量zyx,,轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的

方向无关，故有

由曲线是球面2222Rzyx上的大圆周曲线，其长为

.2R故

由于关于原点对称，由被积函数为奇函数，得.0

dsz于是

解2：利用在上，2222Rzyx，

原式



zdsdszdsRdszzzyx2)2(222222

再由对称性可得R

R

dsz2

3

2

2



（同解1），于是

上式

.

3

4

022

3

23

2

2RR

R

RR

分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，当积分

变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行

计算常常是有效的。

例四．求,

22





Lyx

xdyydx

其中L为椭圆曲线1

9

)1(

2

2





y

x

上在上半平面内从

)0,4()0,2(BA

的弧。

解：添加辅助线l为222yx的顺时针方向的上半圆周以及有向线段DBAC,，

其中



是足够小的正数，使曲线222yx包含在椭圆曲线

1

9

)1(

2

2





y

x

内。由于

222

22

2222)(

)()(

yx

yx

yx

y

y

yx

x

x























，

由格林公式，有

.0DBlACL

设

,cos,sinxy

有

再由

,0

22









AC

yx

xdyydx

.0

22









DB

yx

xdyydx

于是

分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所

考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在

)0,0(

点附近,

22yx

y

P





22yx

x

Q





无定义，于是采用在椭圆内部)0,0(附近挖去一个小圆，使被积函数在相应的区

域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小

椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。

例五．求八分之一的球面0,0,0,2222zyxRzyx的边界曲线的重心，设

曲线的密度

.1

解：设边界曲线L在三个坐标面内的弧段分别为,,,

321

LLL则L的质量为

设边界曲线L的重心为),,(zyx，则

由对称性可知

.

3

4



R

zyx

分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线L分成三个部分：

,,0,0:22

1

xRzRxyL,,0,0:22

2

xRyRxzL

.,0,0:22

3

yRzRyxL另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可zyx简

化计算。

二.曲面积分的计算方法与技巧

计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第一类曲面

积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类曲面积分转化为求

二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围区域上的三重积分等。

例六．计算曲面积分



,zdS其中为锥面22yxz在柱体xyx222内的部分。

解：在xOy平面上的投影区域为:Dxyx222，曲面的方程为

因此









D

yx

D

dxdyyxdxdyzzyxzdS.2)()(1222222

对区域D作极坐标变换











,sin

,cos





y

rx

则该变换将区域D变成),(r坐标系中的区域

,cos20,

22

:

),(











rD

r

因此

分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重

积分计算的。“一投”是指将积分曲面投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指

将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是

指将

dS

换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素，即

,)()(122dxdy

y

z

x

z

dS













或

,)()(122dzdx

z

y

x

y

dS













或

.)()(122dxdz

z

x

y

x

x

dS













上解中的投影区域在

xOy

平面上，因此用代换

,)()(122dxdy

y

z

x

z

dS













由于投影区域是

圆域，故变换成极坐标计算。

例七．设半径为R的球面的球心在定球面)0(2222aazyx上，问R为何值时，

球面在定球面内部的那部分的面积最大？

解：不妨设的球心为

),0,0(a

，那么的方程为,)(2222Razyx它

与定球面的交线为















,)(

,

2222

2222

Razyx

azyx

即

设含在定球面内部的上那部分球面

1

在xOy面上的投影区域为D，那么

,

4

)4(

:

2

222

22

a

RaR

yxD



且这部分球面的方程为

则

1

的面积为

以下只需求函数)(RS

a

Ra

R

2

2

22



在]2,0[a上的最大值。

由令,0)

2

3

2(2)(

2





a

R

RRS

得唯一驻点,

3

4a

R且.04)

3

4

(



a

S由问题的实际

意义知

)(RS

在

3

4a

R

处取得最大值。即

3

4a

R

时，

1

的面积最大，为

.

27

32

2a

分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，和确

定了含在定球面内部的上那部分球面

1

在

xOy

面上的投影区域D。在此基础上，按上题

分析中的“一投，二代，三换”的法则即可解得结果。

例八．计算曲面积分

S

zdxdydydzzx,)2(其中S为有向曲面),10(22zyxz

其法向量与z轴正向的夹角为锐角。

解1：设

xyyz

DD,分别表示S在

yoz

平面，

xoy

平面上的投影区域，则，

其中

dyydzyzdydydzyz

y

D

yz

3

2

1

0

2

1

1

1

22)1(

3

4

2



令

tysin

，,

422

1

4

3

3

4

cos

3

4

2

0

42



tdtdydzyz

yz

D

又

,

2

)(2

0

1

0

222





rdrrddxdyyx

xy

D

所以

.

224

4)2(





S

zdxdydydzzx

分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法则将各单

一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面投向单一型中已指定的坐标面。“二

代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。

“三定号”是指依曲面的定侧向量，决定二重积分前的“+”，“-”符号，当的定侧

向量指向坐标面的上（右，前）方时，二重积分前面取“+”，反之取“-”。

解2:利用

coscoscos

dxdydzdxdydz

dS化组合型为单一型.



SS

dxdyzzxzdxdydydzzx.]

cos

cos

)2[()2(





因S的法向量与z轴正向的夹角为锐角,取

},1,2,2{yxn



故有,2

cos

cos

x





于是

原式

S

dxdyzxzx])2)(2[(

因为





1

22

22

,0)(2

yx

dxdyyxx

所以

上式





1

222

22

)](4[

yx

dxdyyxx

分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式

coscoscos

dxdydzdxdydz

dS，

先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，三定号”法则将单一型化为为二重积分

求得。

解3：以

1

S

表示法向量指向z轴负向的有向平面)1(122yxz，

D

为

1

S

在

xoy

平面

上的投影区域，则

设



表示由S和

1

S

所围成的空间区域，则由高斯公式得

因此

.

2

)(

2

3

)2(





S

zdxdydydzzx

分析：利用高斯公式



















dxdydz

z

R

y

Q

x

P

dxdyRQdzdxPdydz)(，可将曲面积

分化为三重积分求得。但必需满足

RQP,,

在闭区域上有一阶连续的偏导数，是边界曲

面的外侧。本题中的曲面S不是封闭曲面，故添加了

1

S

，使

1

SS为封闭曲面，并使

1

SS

的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。

例九：计算曲面积分,4)1(2)18(2yzdxdydzdxydydzyxI



其中是由曲线















0

,31,1

x

yyz

绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于

.

2



解：设













3

,2

:

22

1y

zx

表示

3y

上与y轴正向同侧的曲面，由和

1

所围立体记为

.

由高斯公式得

因此

.4)1(2)18(

1

2yzdxdydzdxydydzyxdxdydzI



由于在

xOz

面上的投影区域为.2:22zxD注意到

1

在

xOz

面，

yOz

面上的投影不

构成区域，且在

1

上

,3y

从而,),(,31:22Dyxyzx

分析：是旋转曲面31,122yzxy且指向外侧，在上补上曲面













3

,2

:

22

1y

zx

指向与y轴正向相同，那么由高斯公式就可将原式化成三重积分和

1

上的

曲面积分进行计算。

例十．设空间区域由曲面222yxaz与平面0z围成，其中a为正常数。记表

面的外侧为,S的体积为,V证明

证明：设,),,(22yzxzyxP,),,(22zxyzyxQ),1(),,(xyzzzyxR则

由高斯公式知

由于

,0cossin

2

0



d

则



,0xyzdv因此

分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面

积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分

表示，故选用高斯公式进行证明。