西师版

西师版数学六年级上册学问要点

第一：数的相识

1、负数：0既不是正数，也不是负数。“－”号不能省略，正数和

负数可以用来表示相反意义的量。

2、以前学的：自然数，整数，小数，分数，奇数、偶数，质数、

合数，互质数。第二：数的运算和解决问题

一、分数乘法

(一)分数乘法的意义：

1、分数乘整数与整数乘法的意义一样。都是求几个一样加数的和

的简便运算。

2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

(二)、分数乘法的计算法则：

1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整

数和分母约分)

2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分

母。

3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。

留意：当带分数进展乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进

展计算。

(三)、规律：(乘法中比拟大小时)

一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。

一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。

一个数(0除外)乘1，积等于这个数。

(四)、分数混合运算的运算依次和整数的运算依次一样。

(五)、整数乘法的交换律、结合律和安排律，对于分数乘法也同

样适用。

乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

乘法安排律：(a+b)×c=a×c+b×ca×c－b×c＝（a

－b）×c；

其它：a―b―c＝a－（b＋c）；a－（b－c）＝a－b

＋c＝a＋c－b；

a÷b÷c＝a÷（b×c）；a÷b×c＝a×c÷b

二、分数乘法的解决问题

已知单位“1”的量，求单位“1”的几分之几是多少。(用乘法计

算)

1、画线段图：

(1)两个量的关系：画两条线段图;(2)局部和整体的关系：画一

条线段图。

2、找单位“1”：在分率句中分率“的”前面；或“占”、“是”、

“比”的后面

3、求一个数的几倍：一个数×几倍。求一个数的几分之几是多

少：一个数×

几

几

。

4、写数量关系式技巧：

(1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于

“＝”

(2)分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量

(3)分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×(1加或减分

率)=分率对应量

三、倒数

1、倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。

强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们相互依存，倒数

不能单独存在。

(要说清谁是谁的倒数)。

2、求倒数的方法：

(1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。

(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分

母的位置。

(3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

(4)、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。

3、1的倒数是1；0没有倒数。因为1×1=1；0乘任何数都得0，

(分母不能为0)

4、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的

倒数小于1。

四、分数除法

1、分数除法的意义：

乘法：因数×因数＝积除法：积÷一个因数＝

另一个因数

分数除法与整数除法的意义一样，表示已知两个因数的积和其中

一个因数，求另一个因数的运算。

2、分数除法的计算法则：

除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

规律(分数除法比拟大小时)：

(1)当除数大于1，商小于被除数;

(2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;

(3)当除数等于1，商等于被除数。

“[]”叫做中括号。一个算式里，假如既有小括号，又有中括号，

要先算小括号里面的，再算中括号里面的。

3、找规律填空：分析相邻数字之间的关系，用加、减、乘、除去

试一试。

五、分数除法解决问题

已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。(用除法

计算)

1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式一样：

(1)分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量

(2)分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×(1加或减分

率)=分率对应量

2、解法：(建议：最好用方程解答)

(1)方程：依据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

(2)算术(用除法)：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量

3、求一个数是另一个数的几分之几：就是一个数÷另一个数

4、求一个数比另一个数多(少)几分之几：两个数的相差量÷单

位“1”的量或：

①求多几分之几：大数÷小数—1或（大数—小数）÷

小数

②求少几分之几：1—小数÷大数或（大数—小数）÷

大数

5、工程问题：工作总量看作单位“1”，甲队独做a天完成，那么

工作效率就是

a

1

，乙队独做b天完成，那么工作效率就是

b

1

，两队合做

的天数=1÷（

a

1

＋

b

1

）。有时先独做再合做；先合做再独做，抓住根

本公式：工作时间=工作总量÷工作效率（和）

六、比和比的应用

(一)、比的意义

1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数

叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。(比值通常

用分数表示，也可以用小数或整数)

3、比可以表示两个一样量的关系，即倍数关系。也可以表示两个

不同量的比，得到一个新量。例：路程∶时间=速度。连比方：3∶4∶5

读作：3比4比5（∶不是除号）

4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形

式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，

分数，也可以是小数。

5、比和除法、分数的联络：

比前项比号“：”后项比值

一种关系

除法被除数除号“÷”除数商

一种运算

分数分子分数线“—”分母分数值

一个数

6、依据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。（除

数、分母也是）体育竞赛中出现两队得分是2∶0等，这只是一种记

分形式，不表示两个数相除的关系。

(二)、比的根本性质

1、依据比、除法、分数的关系：

商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一样的数(0除外)，

商不变。

分数的根本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一样的数时(0除

外)，分数值不变。

比的根本性质：比的前项和后项同时乘或除以一样的数(0除外)，

比值不变。

2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比

就是最简整数比。

3、依据比的根本性质，可以把比化成最简洁的整数比。

4.化简比：

(2)用求比值的方法。留意：最终结果要写成比的形式。

如：15∶10=15÷10=3/2=3∶2

5.按比例安排：把一个数量依据肯定的比来进展安排。这种方法通

常叫做按比例安排。前项+后项=总共的份数路程肯定，速度比

和时间比成反比。(如：路程一样，速度比是4∶5，时间比则为5∶4)

工作总量肯定，工作效率比和工作时间比成反比。

(如：工作总量一样，工作时间比是3∶2，工作效率比则是2∶3)

第三：图形

一、相识圆形

1、圆的定义：圆是由封闭的曲线围成的一种平面图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，

这一点叫做圆心。

一般用字母O表示。它到圆上随意一点的间隔都相等.

3、半径：连接圆心到圆上随意一点的线段叫做半径。一般用字母

r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的间隔就是圆的半径。

4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字

母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

6、在同圆或等圆内，有多数条半径，有多数条直径。全部的半径

都相等，全部的直径都相等。

7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直

径的

2

1

。

用字母表示为：d=2r或r=

2

1

d

8、轴对称图形：

假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形可以完全重合，这个

图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都

是轴对称图形。

10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、

扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是：长方形

只有3条对称轴的图形是：等边三角形

只有4条对称轴的图形是：正方形;

有多数条对称轴的图形是：圆、圆环。

二、圆的周长

1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。

2、圆周率试验：

在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，

求出圆的周长。

发觉一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。

3.圆周率：随意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，

我们把它叫做圆周率。用字母π(pai)表示。

(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固

定的数。

圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14。

(2)、在推断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。

(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

4、圆的周长公式：C=πd—→d=C÷π或C=2πr—→

r=C÷2π

5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6、区分周长的一半和半圆的周长：

周长的一半：等于圆的周长÷2计算方法：2πr÷2即

πr

(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：πr

＋2r即5.14r

三、圆的面积

1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。

2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

3、圆面积公式的推导：

(1)用渐渐靠近的转化思想：表达化圆为方，化曲为直；化新为

旧，化未知为已知，化困难为简洁，化抽象为详细。

(2)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近

长方形。

(3)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=

长方形的长

因为：长方形面积=长×宽所以：圆的面积=圆周长的一

半×圆的半径

S圆=πr×r圆的面积公式：S圆=πr——→r=S

÷π

4、圆环形的面积：

一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。(R=r+圆环的宽度.)

S环=πR-πr或圆环形的面积公式：S圆环=π(R

-r)。

5、扇形的面积计算公式：S扇=πr×

360

n

(n表示扇形圆心

角的度数)

22

2222

2

6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小一

样的倍数。

而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。

例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大

3倍，而面积扩大9倍。

7、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的

平方。

例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比

都是2∶3，而面积比是4∶9

8、随意一个圆的外接或内接正方形的面积之比都是一个固定值，

即：4∶π∶2

9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居

中，长方形面积最小。反之，面积一样时，长方形的周长最长，正方

形居中，圆周长最短。

10、确定起跑线：

(1)每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个

直道的长度。

(2)每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长确定每条跑道的总长度。

(因此起跑线不同)

(3)每相邻两个跑道相隔的间隔是：2×π×跑道的宽度

(4)当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；

当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。

11、常用各π值结果：

π=3.142π=6.283π=9.424π=12.565π

=15.7

6π=18.847π=21.988π=25.129π=28.26

16π=50.24

25π=78.536π=113.0464π=200.9696π=

301.44

四、图形的变换和确定位置

1、图形的放大或缩小：图形的形态不变，大小不同。

2、比例尺：图上间隔与实际间隔的比。即图上间隔∶实际间

隔=比例尺

比例尺分为数字比例尺（无单位）和线段比例尺（有单位）。比的

前项为“1”是缩小比例尺，比的后项为“1”是放大比例尺。

已知图上间隔和比例尺务实际间隔，实际间隔=图上间隔÷比

例尺；已知实际间隔和比例尺求图上间隔，图上间隔=实际间隔×

比例尺（画图确定物体的位置）。

3、物体位置确实定：确定观测点后，知道物体的方向和间隔就能

确定物体的位置。上北下南左西右东，以观测点画“十字”坐标确定

方向，以比例尺确定图上间隔或实际间隔。用数对确定点的位置，

如(3，5)表示：(第三列，第五行)

第四：概率

可能性：用分数来表示可能性的大小，以总数为分母，可能出现的次

数为分子。（约分）

第五：常用单位

1、长度单位：

千米（公里）1000米10分米10厘米10毫

米1000微米

kmmdmcmmm

2、面积单位：

平方千米100公顷（平方百米）10000平方米100平方分米

100平方厘米

km2hm2㎡dm2cm2

1平方米是边长为1m的正方形的面积；其它依次类推。大母指

的指甲壳的面积大约是1平方厘米。

3、体积或容积单位：

立方米1000立方分米（升）1000立方厘

米（毫升）

m3LmL

1立方米是棱长为1m的正方体的体积；其它依次类推。两本字

典或两瓶矿泉水的体积大约是1立方分米。

4、时间：年12（365或366天）月28、29、30、31天（日）24时

60分60秒

第六：常用数量关系

1、加数＋加数＝和；加数＝和－另一个加数；被减数－减数＝

差；被减数＝减数＋差；减数＝被减数－差；因数×因

数＝积；因数＝积÷另一个因数；被除数÷除数＝商；被除数＝

除数×商；除数＝被除数÷商。

2、单价×数量＝总价；总价÷单价＝数量；总价÷数量＝单

价；

速度×时间＝路程；路程÷速度＝时间；路程÷时间＝

速度；

工作效率×工作时间＝工作总量；工作总量÷工作效率＝工作

时间；

工作总量÷工作时间＝工作效率；收入－支出＝结余

现价＝原价×折数；原价＝现价÷折数；折数＝现价÷原价。