找次品

教材分析：

“找次品”问题是人教版五年级下册“数学广角”的内容，“数学广角”的目的是让学生经历建

模的过程，初步感悟重要的数学思想与方法，提高学生的问题解决能力与推理能力。这

些内容往往是从一些经典的数学问题中改编而来，承载着多元的教育价值，教师对这些

内容所蕴含的重要数学思想的把握，能否在课堂上给予学生探索、发现的空间，以及是

否在学生思考困难处进行适当的点拨和引导，是上好这类课的关键。由于学生的数学能

力发展水平存在着一定的差异性，故教师的教学目标达成不易“一刀切”，教学中真实的

差异性表达是正常的，教学中应尽可能让每个学生在自己原有的水平上有所发展。

分析教材的内容及编排意图，先研究“5个零件中找1个次品的方法”让学生初步认

识“找次品”这类问题及其基本的解决手段和方法，通过学生的自主操作，感受到同一个

问题解决的方法可能是多种多样的。教参指出，优化的思想在这里可不强调，只要学生

在观察、比照、交流中对优化有所感悟即可。接着，安排例2通过让学生探索和比较找

次品的多种方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化策略解决问题的有效性。通过

总结、猜测、归纳出优化方法的过程，进而培养学生的推理抽象能力。教材给我们提供

了一个基本的教学思路，但是如何根据学生实际设计有序的教学进程，如何让学生经历

优化方法的提炼和应用过程，不仅知其然更知其所以然，是值得我们教者思考和深入尝

试的。

教学目标：

1、通过观察、猜测、操作、推理等活动，经历多样化解决问题的全过程，分析、比较、

概括出最优化的方法，发现这类问题其中蕴含的数学规律。

2、在探究活动中，培养学生的逻辑推理能力和口表达能力，提高思维的条理性。

3、逐步渗透最优化的数学思想和化繁为简解决问题的意识。

教学重难点：

借助实物操作、画图等活动理解题意，在解决问题的基础上归纳出最优的分组策略，寻

找被测物体数量与保证找到次品的最少次数之间的关系。

设计理念：

1、从小数据入手明确所要解决的问题

课始，我以微软公司的招聘问题引入，使学生初步感知“找次品”问题的特点：一是用

没有砝码的天平来称；二是要从保证找到次品的各种次数中寻找最少的次数。学生凭借

自己的第一感觉会胡乱猜测，此时，我顺势引入解决问题的程序，即波利亚所说的“从

最简单的做起。”让学生通过2、3、4、5的解决逐步明确问题的步骤：2的解决让学生

看到尽管没有砝码，但根据不平衡的一端可判断次品是誰；3的解决让学生运用想像，

口头述说天平称重时的两种情况——平衡和不平衡，进一步推理出次品所在，这里也同

时让学生感悟“不称”也是“称”，运用推理也是一种判断方法；接着让学生通过操作棋子

来探究5，发现解决问题的方法是多样的，但是根据题意应从“最坏的情况”来选择结论，

这个操作环节让学生动手又动口，把之前的判断推理方法同实物操作结合起来，是对抽

象思维的具化。

2、借助特殊数据提炼最优化解决方法

“找次品”对学生而言之所以具有相当的难度，主要与学生生活中缺乏相关的经验有关，

并且每个问题的解决都需要学生具备较高的思维水平。通过对教学难点的分解，我确定

通过8、9两个特殊数据的解决为学生构筑起思维的坡度，让学生在每个数据的解决、

分析和比较重逐渐感悟这类问题的解决方法，逐步实现方法的优化。例如8的解决过程

中，学生会出现二分法和三分法，这两种方法的结果是不同的，通过两者的比较，学生

初步感知能否在保证找到的前提下寻找到最少的次数，是同物品的分组有关，即分成几

组是很有讲究的；接着，通过9的汇报，学生发现在同样分成三组的情况下，〔4，4，

1〕和〔3，3，3〕的结果也是不同的，感悟到均分三组似乎更合理。当然，仅凭一个特

殊的数据来说明问题略显单薄，因此，我紧接着设计了25，这个数据能调动起学生在

三分法前提下的各种分法，〔12，12，1〕、〔9，9，7〕、〔8、8、9〕、〔10、10、

5〕等，通过比较分析，发现〔9，9，7〕、〔8、8、9〕都能得到正确的结果，因为它

们同“均分三组”的结果更接近，由此得出优化的方法——尽可能地将物品平均分成3份。

上述过程，问题的分析由表及里，思考逐渐深入，让学生在比较、分析和验证中经历了

问题解决的优化过程，比较符合学生的认知规律。

3、数形结合帮助理解数学的思想方法

通过以上这些数据的探究，学生一般都能发现最少需要的次数同均分成三组有关，也

能列举具体称量的过程，但是为什么这样称，学生并不知道，或者说部分优秀学生通过

实践已经有了一些感触但仍很难道明。其实，要说明为何这种方法最快，还需概率论的

知识，但这明显超出了学生已有的学习水平和能力。如何用更直观易懂的方法来帮助学

生理解这一道理呢？经过多次尝试，我设计了数形结合、图例说明的方法来阐述“三分

法”的合理性，让学生借助分圆明白三分法能把称一次后次品所在的范围缩小到最小，

因为次品的搜索范围小了自然找到次品的速度也加快了。同时，这一数形结合的说理环

节也是对问题解决过程的归纳和数学方法的概括，让本节课的学习更具数学味和深度。

当然，“找次品”这节课所能挖掘的知识点还有许多，一节课难以面面俱到。例如一些随

机数据的探索，将进一步向学生渗透区间的知识，发现这类问题的数据分组特点，这样，

各个环节的知识紧密联系、循序渐进，加深了学生对优化思想的理解。

教学过程：

第一课时

教学活动

活动1【导入】一、弄清题意，激发探究欲望

〔一〕比尔盖茨的招聘问题

微软公司在全球招聘职工时曾经出了这样一道题：

有81个铁球，其中一个是轻一点的次品，如果用没有砝码的天平来称。你最少称几次

就能保证找到次品？

学生自由猜想，预设：80次，1次……

教师小结：1次虽少，但是只是有可能，无法保证找到那个球，所以我们在思考这个问

题时不光要最少，还要以能保证找到为前提。〔课件突出：最少保证找到〕

这个问题就是数学中著名的“找次品”问题。〔板书课题〕

〔二〕从简单问题入手

提问：81个似乎太大了，我们从小数目入手研究吧。同学们想先称几个？

预设学生：2个、3个

2个——3个〔为什么只称1次就够了？〕

课件配合学生答复：称3个小球，任意取2个小球放在天平两端，可能平衡也可能不平

衡，如果平衡，那么第三个小球就是次品；如果不平衡，那么天平翘起的哪一端就是次

品。所以，不管是否平衡，我们只需称一次，就能找出那个较轻的次品。

活动2【讲授】二、简化问题，弄清基本方法

研究4个：

提问：现在数量增加，如果是4个小球，最少要称几次呢？

让学生到讲台前来操作演示，呈现〔2,2〕或〔1,1,1,1〕的方法。

引导：采用〔1,1,1,1〕称小球的时候，如果不平衡，说明翘起的那一端是次品，那我能

说一次就够了吗？

强调：这是运气好的情况，要确保找到小球必须从最坏的情况去考虑。

称完〔2,2〕或〔1,1,1,1〕后，小结：这两种方法不同，但都只需要两次就保证找到次

品。

研究5个：

自己试摆——抽生黑板上演示，板书：5〔2,2,1〕〔1,1,1,1,1〕

延伸：对于小数目的2、3、4、5，我们都已经解决，如果小球数量再多些，可以吗？

活动3【活动】关键数目，感受优化方法

探究8、9个：

自主操作：同桌合作；选择8个或9个中的一种，借用棋子在天平纸上摆一摆，帮助思

考。

汇报交流：

让学生说出分组方法以及称的过程，教师板书。

8〔4,4〕41+2=3次8个〔3,3,2〕1+1=2次

8〔3,3,2〕平2

不平3

比较：为什么同样是称8个小球，所用的次数却不一样？

引导学生初步发现：称的次数和分组有关，一个是分两组，一个是分3组。

进一步思考：将8分成〔3,3,2〕只要称2次，而分成〔4,4〕却要称三次，这多称的一

次在哪里？

小结：第一次称了3和3，接下来从最坏的情况去考虑，要从3中去找次品，只需要再

称1次；而称了4和4，,接下来就要从4中去找次品，还需要2次。

〔二〕初步提炼方法：

我们再来看看9的结果，你是怎样称的？

反馈：〔4,4,1〕3次〔3,3,3〕2次

比较：这两种称法，都是分成了3组，为什么结果不一样？

发现：一个是平均分成3份，称一次后次品是从3个当中找；一个是分成〔4,4,1〕，

次品是从4个当中找，所以次数就多了一次。

小结：怎样分，才能既保证找到次品，又能使称的次数尽可能地少呢？你有什么建议？

预设学生答复：平均分成3份。——那不能平均分成3份呢？〔教师手指8的〔3,3,2,〕。〕

小结：尽可能地平均分成3份

〔三〕操作验证方法

1、集体验证：是吗，我们一起来验证一下吧，再找个大点的数吧。〔板书：25〕

学生尝试，汇报：25〔8,8,9〕称了一次以后，不管是从8或9中找次品都还需要2次。

2、自主验证：请你自己也选择一个数来验证一下吧。

学生自己在练习纸上先尝试，然后进行交流，教师板书结果。

活动4【讲授】数形结合，直观理解算理

教师运用课件配合图例解释：看来尽可能地平均分成3份，就能用最少的次数保证找到

这个次品。这是为什么呢？〔把任意个数的一堆小球看成一个圆，平均分成2份，称一

次后，发现次品藏在哪里？这一份就是总是的1/2。

平均分成3份，不管平不平衡，次品都要在三份中的一份去找，也就是藏在总数的1/3

里。

平均分成4份，从最坏的情况去考虑，次品就藏在剩下的两份中，要在总数的几分之几

中去找呢？

〔比较一下：在总数的1/3和总数的2/4,哪个范围更小些，找起来更快些？〕

平均分成6份，次品所在的范围是总数的4/6；平均分成8分呢？

引导：你发现了什么？

小结：平均分成3份，次品所在的范围最小。〔板书：均分三等——缩小范围〕

活动5【活动】应用方法，发现数学规律

1、现在你能解决比尔盖茨的招聘问题吗？〔板书：81〔27,27,27〕27〔9,9,9〕

观察：物品个数3,9,27,81和各需要的次数，你发现了什么？

为什么小球数量依次乘3，次数只是依次加1呢？〔因为只要把这个数均分3组，就能

得到刚刚的数量，那么只需要在原来的基础上多称一次就可以了。〕

发散：接下去，称5次最多是几个？〔243〕如果最少称15次，最多能从几个小球中

找到这个次品？〔出示：3的15次方等于14348907〕你能想象这些小球能有多少？恐

怕一个教室都放不下，但是其中要找出一个次品却只需要15次，你有什么感受？〔解

决问题时，采用优化的方法，就能把复杂问题化繁为简。〕

活动6【作业】总结回忆，延伸探究热情

回忆我们这节课的学习，我们从招聘问题引发思考，从小数目着手研究，通过尝试、比

较、分析，发现并概括出了最优的分组方法，进而还继续通过大数据的检验，发现了要

称物品的数量与最少需要次数之间的数量关系，是不是特别有成就感？对于今天的学习

内容，你还有什么疑问吗？

预设学生提出：如果不是3的倍数我怎么办呢？

这个问题就留给大家回去思索，你们通过研究会发现更有趣的结论。