约分的概念

关于约分的问题，哪种情况下可以约分？

如下式：，式中上、下两个8是否可以约分？有是少数同学始终不明

就里（旧理），甚至还有同学初三时错误地以为，这些都是对于约分

的概念或定义理解不透的问题，这些现象在我所接触的同学中普遍存

在，特别是初一、初二的同学，在初三学习分式的时候，有些老师可能

重新提及了这个问题，情况稍有好转，因此有必要提出来，在此加以纠

正，提高认识。

《大纲》对乘法意义的教学做了改革。对于乘法算式中各部分的表

述，不再区分被乘数、乘数，统一称因数。多个数连乘时，每一个乘数

都叫因数！！

首先必须要将约分的定义吃透，约分是把一个分数的分子、分母中的

公约数约去的过程或方法。这里涉及到几个问题。（基本全是小学知

识，这就是差生的问题所在！！！）

第一、什么是公约数？几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数；

那什么又叫约数呢？如果要回答这个问题，就要从头讲起。例如：

a÷b＝c（a、b、c都是整数，且b≠0）

1．除数、被除数都是整数，且除数不为0；

2．被除数除以除数，商是整数而没有余数．

同时符合这两个条件，我们就说被除数能被除数整除，如果数a能被数

b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）．倍

数和约数是相互依存的．

3、8叫24的约数（当然24的约数不止这两个），24叫做3、8的倍

数。

5、8叫40的约数（当然40的约数不止这两个），40叫做5、8的倍

数。

8就是24和40的公约数。

第二、约分究竟是怎么约的？是简单的用线划去就行了吗？当然不

是！其实它所采用的是我们熟悉的除法，比如约分后得，其实质是分

子、分母同时除以2得到可，也就是说，所谓的将分子6，分母8的公

因数2约去，实际上就是分子分母同时除以2！！！

第三、为什么要用分子分母去除以一个相同的数而不是去减去一个相

同的数，依据是什么？实际上约分是指把分数nd/md的分母与分子同除

以一个大于1的公因数d而得到分割份数变少的等值分数n/m的方法。还

可以理解为把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，

叫做约分。例如：

。

分子和分母互质的分数，叫做最简分数。通过约分，可以把一些分子和

分母都不相同的分数化简成同分母或同分子的分数，从而比较出他们的

大小。

也就是说，约分后得到的分数与约分前的分数的分数值是同样大小的。

显然在计算的时候，

要比或者要方便或容易计算，也不容易出错，而且结果是一样

的，那么它的依据是什么呢？就是除法的性质或分数的基本性质

（没有忘记分数和除法可以互相转化吧！两个自然数相除，

在不能整除的时候，就可以用分数来表示它们的商。

在分数和除法的联系里，分子相当于被除数，分母相当于除

数。不同的是分数是一种数，除法是一种运算。）

分子、分母同时乘以或初以同一个（0除外）数，分数的大小

不变！（分数的基本性质！！！）

其次，就是什么时候可以约分，什么时候不能约分？

必须先判断式子是一个求和的式子（简称为和式）还是求

积的式子（简称为积式）。比如6+9就是一个和式，而

3a就是一个积式；对于稍微复杂一点的混合运算式，有两种

方法可以帮助我们来判断。（1）最后一步算什么，就是什么

式子。比如这个算式最后一步算乘法，是一个积式。下面这

个式子最后一步算加法，是一个和式。或者

（2）如果算式里所有的加减号都在括号内部，就算是积

式，否则不算。比如中，所有的加减号都在括号内部，就算是

积式；中，有一个加号没有在括号里，不能算积式！也是一个

积式，只不过只有两个因数，一个是中括号这个整体，另一个

是小括号这个整体！！！

在积式中，只有参与了乘法运算的部分才能叫因数或因

式，中，6、7、2a、-3都没有参与乘法运算，它们都不是因

数（或因式），真正参与乘法运算的是（6+7）这个整体

和（2a-3）这个整体，它们才是这个积式的因数或因式。

（和式中不存在因数或因式，因为最后一步是加法！）

只有分子、分母都是积式的情况下，才能约分（不讨论提

公因式的情况），而且只能把分子、分母的公因数或公因式约

掉！不能把加数和因数相约！！！！！

例（1）：中2a+3b不能约掉，因为分子中有一个加号

不在括号内，不是积式！

（2）中m不能约分，因为分子中只有5a和

（m+7）这两个因数或因式，没有m这个因数，m没有参

与乘法运算！！

（3）中，28与7不能相约，因为28是加数，不是

因数！！！！

（4）中，b不能相约，因为分母的b不是因

数！！！

（5）中，3-m不能约掉，分子里3-m不是因数！！

（6）中2a+7可以约掉，因为分母可以看成一

个整体，自己是自己的因数！！！=6

（7）中，x不能约掉，因为两个x都不是因

数！！！！